1、15.3定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念2理解定积分的几何意义(难点)3掌握定积分的基本性质(重点)学法指导通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义. 1定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x) dx，即f(x)dx f(i)，其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做
2、积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质(1)(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dx)f(x)dx)f(x)dx(其中acb)1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)定积分f(x)dx是一个常数()(2)定积分f(x)dx的值等于由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积()(3)(x22x)dxx2dx2xdx.()
3、答案：(1)(2)(3)2直线x1，x2，y0与曲线y围成曲边梯形的面积用定积分表示为()A.2dx B0dxCdx Ddx答案：D3关于定积分a (2)dx的叙述正确的是()A被积函数为y2，a6B被积函数为y2，a6C被积函数为y2，a6D被积函数为y2，a6答案：C4计算定积分 (2x)dx_.答案：4利用定义计算定积分利用定积分的定义，计算x3dx的值(链接教材P47例1)解令f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，则x3dxSn()x()33n2(n1)
4、2(1)2.(3)取极限x3dxSn (1)2.方法归纳用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的左端点或右端点，求和时要注意一些求和公式的灵活运用1用定积分的定义证明kdxk(ba)证明：令f(x)k，用分点ax0x1x2xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)作和式f(i)xkk(ba)，当x0(亦即n)时，k(ba)k(ba)，kdxk(ba)利用定积分的几何意义求定积分利用几何意义计算下列定积分：(1) dx；(2)
5、 (3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示： (3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， (3x1)dx(3)(331)(1)216.方法归纳(1)利用几何意义求定积分，关键是准确理解被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积注意分割点的准确性(2)一般地，如果图形的面积是直线段或圆弧围成时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要考虑函数的正负，
6、是否具有对称性2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) xdx；(2) cos xdx；(3) |x|dx.解：(1)如图(1)，xdxA1A10.(2)如图(2)，cos xdxA1A2A30.(3)如图(3)，A1A2，|x|dx2A121.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)利用定积分的性质求定积分已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求下列各式的值：(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)(3x3)dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12.(2)(6x2)dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126.(3)(3x22
7、x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx32.方法归纳定积分与函数的奇偶性若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在a，a上连续，则：(1)若函数f(x)为奇函数，则f(x)dx0；(2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.3已知f(x)g(x)dx12，g(x)dx6.求3f(x)dx.解：f(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx，f(x)dx1266，3f(x)dx3f(x)dx3618.名师解题巧用定积分的几何意义求面积善于思考的小明发现：半径为a，圆心在原点的圆，如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到原来的b倍，就得到一种新的图形椭
8、圆他受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，他求得的结果为_教你审题解析由1(ab0)，得y (axa)于是椭圆在第一象限的部分与坐标轴围成的平面图形的面积为S1 dxdx，令g(0xa)，得x2g2a2(0xa，g0)，依题意，得dx，S1dx.由对称性得椭圆1(ab0)的面积为S4S1ab.答案ab名师点评本题利用定积分的几何意义求出椭圆面积，体现了“以直代曲”“无限逼近”的数学思想 学业水平训练1若f(x)dx1，g(x)dx3，则2f(x)g(x)dx()A2 B3C1 D4解析：选C2f(x)g(x)dx2f(x)dx
9、g(x)dx2131.2定积分(3)dx等于()A6 B6C3 D3解析：选A.(3)dx(3) ()6.3已知xdx2，则xdx等于()A0 B2C1 D2解析：选Df(x)x在t，t上是奇函数，xdx0.而xdxxdxxdx，又xdx2，xdx2.故选D4图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.2xdx B.(2x1)dxC(2x1)dx D(12x)dx解析：选B.根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.5设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间a，a上的积分f(x)dx等于()A0 B2f(x)dxC f(x)dx Df(x)dx解析：选B. f(x)d
10、xf(x)dxf(x)dx.f(x)是偶函数，根据定积分的几何意义知f(x)dxf(x)dx，f(x)dx2f(x)dx.6不用计算，直接利用定积分的几何意义比较下面两个积分值的大小xdx_x2dx.答案：7设f(x)是连续函数，若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.解析：因为f(x)dxf(x)dxf(x)dx，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2.答案：28(2014天津高二检测)曲线y与直线yx，x2所围成的图形面积用定积分可表示为_解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为xdxdx(x)dx.答案：(x)dx9用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：解：(1)
11、sin xdx.(2) x2dx.(3)xdxxdx.10用定积分表示曲线y与直线yx3所围成的图形的面积解：解方程组得到交点横坐标为x1和x2.如图所示曲边梯形面积为dx，梯形面积为(x3)dx，所以阴影面积为(x3)dxdx(x3)dx.高考水平训练1下列式子中不成立的是()Asin xdxcos xdxBsin xdxcos xdxCsin xdxcos xdxD|sin x|dx|cos x|dx解析：选C分析被积函数f(x)sin x和g(x)cos x在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立，故选C2将 ()表示为定积分为_解析：由定积分的定义 ()()()dx.答
12、案：dx3用定积分的意义求下列各式的值：(1)(2x1)dx；(2)dx.解：(1)在平面上，f(x)2x1为一条直线，(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(1)(2)由y可知，x2y21(y0)图象如图(2)，(2)由定积分的几何意义知dx等于圆心角为的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形1211sin ，S矩形|AB|BC|2，dx.4已知f(x)求f(x)在区间0,5上的定积分解：由定积分的几何意义知xdx222，(4x)dx(12)1，()dx211，所以f(x)dxxdx(4x)dx()dx21.
