1、2016年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1若集合A=x|x+20，B=x|4x3，则集合AB为（）Ax|x3Bx|4x2Cx|4x2Dx|2x32已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）ABCD i3已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立4设sin=，（，），则tan的值为（）ABCD5已知向量|=4，|=3，且（+2）（）=4，则向量与向量的夹角的值为（）ABCD6若实数x，y满足，则z=x+2y
2、的最小值是（）A0BC5D17已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A9B9+C12D128已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A1B2C2D9已知直线l：kx+y2=0（kR）是圆C：x2+y26x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（）A2B2C3D210已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，ABC是边长为的正三角形，若三棱锥SABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B18C20D2411设函数f（x）的定义域为R，f（x）=且对任意的xR都有f（x+1）=f（x1），若在区间1，3上函数g（x）
3、=f（x）mxm恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（）A0，B0，）C（0，D（0，12若函数f（x）=lnx在x=x0处取得最大值，则下列结论正确的是（）Af（x0）x0Bf（x0）=x0Cf（x0）x0Df（x0）=x0二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分13不等式2x2+x+10的解集为_（用区间表示）14已知ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为_15已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6，且离心率e=，则该双曲线的焦距长为_16函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0），点P（x1，4
4、）和Q（x2，4）是函数f（x）图象上相邻的两个最高点，且|x1x2|=，x=是函数f（x）的一个零点，则使函数f（x）取得最大值的最小正数x0的值是_三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知等差数列an的公差d=2，其前项和为Sn，且等比数列bn满足b1=a1，b2=a4，b3=a13（）求数列an的通项公式和数列bn的前项和Bn；（）记数列的前项和为Tn，求Tn18如图1已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边AD、AB的中点，将ABE沿BE折起，使平面ABE平面BCDE，如图2，点G为AC的中点（）求证：DG平面ABE；（）求椎体GABE的体积1
5、9某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1：20进行分层抽样，随机抽取了 20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150总计频数b频率a0.25（）求表中 a，b 的值及成绩在90，110）范围内的个体数，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在90，150内为及格）；（）设茎叶图中成绩在100，120）范围内的样本的中位数为m，若从成绩在100，120）范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是
6、数字m的概率20如图，已知椭圆 C： +=1（ab0）左顶点为A1，右焦点为F2，过点 F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线 A1M的斜率为（）求椭圆C的离心率；（）若椭圆C的长轴长为4，点P（1，1），则在椭圆C上是否存在不重合两点D，E，使=（+）（O是坐标原点），若存在，求出直线DE的方程，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=axlnx有极小值1+ln2（）求实数a的值；（）设g（x）=3x3lnx1f（x），讨论g（x）单调性；（）若0x1x2，求证：2x2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，四边
7、形ABCD为正方形，以AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP（）证明：CP是圆E的切线；（）求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上已知曲线C1上的点对应的参数为，曲线C2过点（）求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；（）若点P在曲线上C1，求P，C2两点间的距离|PC2|的最大值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=ax+3|2x1|（）若a=1，解不等式f
8、（x）2；（）若函数有最大值，求a的取值范围2016年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1若集合A=x|x+20，B=x|4x3，则集合AB为（）Ax|x3Bx|4x2Cx|4x2Dx|2x3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：x2，即A=x|x2，B=x|4x3，AB=x|4x2，故选：B2已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）ABCD i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】首先进行复数的乘法运
9、算，得到复数的代数形式的标准形式，即可得到复数z=的虚部【解答】解：z=+，故复数z=的虚部是，故选：B3已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则p：a0，有ea1成立，故选：C4设sin=，（，），则tan的值为（）ABCD【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据角的范围，求出cos，再求tan【解答】解：sin=，cos=，tan=故选B5已知向量|=4，|=3，且（+2）（）=4，则向量与向量的夹
10、角的值为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】通过向量的数量积运算与平面向量夹角的定义，即可求出夹角的大小【解答】解：向量|=4，|=3，且（+2）（）=4，2+=4，即1629+43cos=4，解得cos=；又0，=；即向量与向量的夹角的值为故选：B6若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是（）A0BC5D1【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最小值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z=x+2y，得要使z最小，则直线的截距最小，由图看出，当直线过可行域内的点O（0，0）
11、时直线在y轴上的截距最小，z=x+2y的最小值是z=0+20=0故选：A7已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A9B9+C12D12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积【解答】解：应用可知三棱锥的高为：，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：，解得a=2侧棱长为： =2，正三棱锥是正四面体，该三棱锥的表面积为：4=12故选：D8已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A1B2C2D【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，观察规律可知a的取值周期为3，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i
12、=21时满足条件i20，退出循环，输出a的值为1【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1a=，i=2不满足条件i20，a=1，i=3不满足条件i20，a=2，i=4不满足条件i20，a=，i=5观察规律可知a的取值周期为3，由20=36+2，可得不满足条件i20，a=，i=20不满足条件i20，a=1，i=21满足条件i20，退出循环，输出a的值为1故选：A9已知直线l：kx+y2=0（kR）是圆C：x2+y26x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（）A2B2C3D2【考点】圆的切线方程【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直
13、线l：kx+y2=0经过圆C的圆心（3，1），求得k的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得AB的值【解答】解：由圆C：x2+y26x+2y+9=0得，（x3）2+（y+1）2=1，表示以C（3，1）为圆心、半径等于1的圆由题意可得，直线l：kx+y2=0经过圆C的圆心（3，1），故有3k12=0，得k=1，则点A（0，1），即|AC|=则线段AB=故选：D10已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，ABC是边长为的正三角形，若三棱锥SABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B18C20D24【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r
14、利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题【解答】解：根据题意作出图形设球心为O，球的半径r过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=1，OO1=，高SD=2OO1=2，ABC是边长为的正三角形，SABC=，V三棱锥SABC=2=，r=则球O的表面积为20故选：C11设函数f（x）的定义域为R，f（x）=且对任意的xR都有f（x+1）=f（x1），若在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（）A0，B0，）C（
15、0，D（0，【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围【解答】解：由题意，f（x+2）=f（1+x）+1=f（1+x）1=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（1，0）函数f（x）=在区间1，3上的图象如图所示由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，故选D12若函数f（x）=lnx在x=x0处取得最大值，则下列结论正确的是（）Af（x0）
16、x0Bf（x0）=x0Cf（x0）x0Df（x0）=x0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义【分析】求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值最值的关系确定f（x0）的值，进行判断即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），f（x）=（）lnx，函数的导数f（x）=（）lnx=lnx=，设h（x）=lnxx1，则h（x）=1=，则当x0时，h（x）0，即h（x）在（0，+）上为减函数，h（1）11=20，当x0时，h（x）0，在（0，1）内函数h（x）有唯一的零点x0，即h（x0）=lnx0x01=0，即lnx0=1x0，当0xx0，f（x）0，当xx0，
17、f（x）0，即函数f（x）在x=x0处取得最大值，即f（x0）=（）lnx0=（）（1x0）=x0，故选：B二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分13不等式2x2+x+10的解集为（，1）（用区间表示）【考点】一元二次不等式的解法【分析】：2x2+x+10，即2x2x10化为（2x+1）（x1）0，即可解得【解答】解：2x2+x+10，即2x2x10化为（2x+1）（x1）0，解得x1，不等式2x2+x+10的解集为为（，1）故答案为：（，1）14已知ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1【考点】正弦定理【分析】由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC=+
18、1以及BC+AC=AB，两式相减，可得AB的值【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1故答案为：115已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6，且离心率e=，则该双曲线的焦距长为10【考点】双曲线的简单性质【分析】通过双曲线的定义求出a，利用离心率求出c，即可得到结果【解答】解：双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6，可得a=3，离心率e=，可得c=5，则该双曲线的焦距长为：10故答案为：1016函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）
19、，点P（x1，4）和Q（x2，4）是函数f（x）图象上相邻的两个最高点，且|x1x2|=，x=是函数f（x）的一个零点，则使函数f（x）取得最大值的最小正数x0的值是【考点】三角函数的最值【分析】由最大值求得A，由周期求得，由函数的零点求得，可得函数的解析式，从而求得使函数f（x）取得最大值的最小正数x0的值【解答】解：由题意可得A=4， =，=2，f（x）=4sin（2x+）由f（）=4sin（+）=0，可得sin（+）=0，=，f（x）=4sin（2x+）再根据sin（2x0+）=1，可得最小正数x0=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17已
20、知等差数列an的公差d=2，其前项和为Sn，且等比数列bn满足b1=a1，b2=a4，b3=a13（）求数列an的通项公式和数列bn的前项和Bn；（）记数列的前项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（I）由题意可得：an=a1+2（n1），=b1b3， =a1（a1+24），解得a1，可得an设等比数列bn的公比为q，则q=可得数列bn的前项和Bn（）由（I）可得：Sn=n2+2n因此=利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（I）由题意可得：an=a1+2（n1），=b1b3， =a1（a1+24），解得a1=3an=3+2（n1）=2n+1设等比数
21、列bn的公比为q，则q=3数列bn的前项和Bn=（）由（I）可得：Sn=n2+2n=数列的前项和为Tn=+=18如图1已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边AD、AB的中点，将ABE沿BE折起，使平面ABE平面BCDE，如图2，点G为AC的中点（）求证：DG平面ABE；（）求椎体GABE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（I）连结EF，FG，则可证四边形EFGD是平行四边形，故GDEF，从而GD平面ABE；（II）利用等面积法求出RtABE斜边上的高h，则h为三棱锥ABDE的高，于是VGABE=VDABE=VABDE【解答】证明：（I）连结EF，FG，F，
22、G分别是AB，AC的中点，FGBC，FG=，又在图1中，四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，DEBC，DE=BC，四边形DEFG是平行四边形，DGEF，又DG平面ABE，EF平面ABE，DG平面ABE解：（II）DG平面ABE，VGABE=VDABE=VABDEAB=2，AE=1，BE=，RtABE的斜边BE上的高h=平面ABE平面BCDE，A到平面BCDE的距离d=h=VABDE=19某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1：20进行分层抽样，随机抽取了 20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段（分）50，
23、70）70，90）90，110）110，130）130，150总计频数b频率a0.25（）求表中 a，b 的值及成绩在90，110）范围内的个体数，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在90，150内为及格）；（）设茎叶图中成绩在100，120）范围内的样本的中位数为m，若从成绩在100，120）范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字m的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图【分析】（）由茎叶图知成绩在50，70）范围内的有2人，在110，130）范围内的有3人，由此能估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（）由茎叶图得m=106
24、，列出一切可能的结果组成的基本事件空间，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，求出A包含的基本事件个数，由此能求出取出两个样本中恰好一个是数字m的概率【解答】解：（）由茎叶图知成绩在50，70）范围内的有2人，在110，130）范围内的有3人，a=，b=3，成绩在90，110）范围内的频率为10.10.250.25=0.4，成绩在90，110）范围内的样本数为200.4=8，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：p=10.10.25=0.65（）由茎叶图得m=106，一切可能的结果组成的基本事件空间为=，共21个基本事件组成，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，
25、则A=，共由个基本事件组成，P（A）=20如图，已知椭圆 C： +=1（ab0）左顶点为A1，右焦点为F2，过点 F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线 A1M的斜率为（）求椭圆C的离心率；（）若椭圆C的长轴长为4，点P（1，1），则在椭圆C上是否存在不重合两点D，E，使=（+）（O是坐标原点），若存在，求出直线DE的方程，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义【分析】（）推导出M（c，），A1（a，0），从而=，由此能求出椭圆C的离心率（）由e=，2a=4，求出椭圆C的标准方程为=1，假设椭圆C：上存在不重合的两点D（x1，y1），E（x2，y2）满足=
26、（+），则P（1，1）是线段DE的中点，由此利用点差法能求出在椭圆C上存在不重合两点D，E，使=（+，并能求出直线DE的方程【解答】解：（）椭圆 C： +=1（ab0）左顶点为A1，右焦点为F2，过点 F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线 A1M的斜率为，M（c，），A1（a，0），=，解得a=2c，椭圆C的离心率e=（）由（）得e=，又2a=4，解得a=2，c=1，b2=41=3，椭圆C的标准方程为=1，假设椭圆C：上存在不重合的两点D（x1，y1），E（x2，y2）满足=（+），则P（1，1）是线段DE的中点，即，两式相减，得+=0，直线DE的方程为3x+4y7=0，在椭圆C上
27、存在不重合两点D，E，使=（+），此时直线DE的方程为3x+4y7=021已知函数f（x）=axlnx有极小值1+ln2（）求实数a的值；（）设g（x）=3x3lnx1f（x），讨论g（x）单调性；（）若0x1x2，求证：2x2【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求导数，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调性，利用函数f（x）=axlnx有极小值1+ln2求实数a的值；（）设g（x）=3x3lnx1f（x），利用导数的正负可得函数的单调性；（）由（II）可知g（x）在（0，1）内单调递减，g（x）g（1）=0恒成立，由此证明：2x2【解答】（）解：f（
28、x）=a，当a0时，f（x）0，f（x）单调递减区间为（0，e），无极值；当a0时，f（x）=a=0，x=，f（x）单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+），x=时，函数取得极小值1+ln2=1ln，a=2；（）解：g（x）=3x3lnx1f（x）=x2lnx1，定义域为（0，+），g（x）=，g（x）单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+）；（）证明：由（II）可知g（x）在（0，1）内单调递减，g（x）g（1）=0恒成立，即x2lnx10，x12lnx0x1x2，01，化为12ln=2（lnx1lnx2），lnx1lnx2，2x2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，
29、如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP（）证明：CP是圆E的切线；（）求的值【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】（）证明：CP是圆E的切线，只需证明CPPE即可；（）证明FD=FP，利用勾股定理，即可求的值【解答】（）证明：连接PB，PE，则EB=EP，EPB=EBPCP=CB，CPB=CBP，CPB+EPB=CBP+EBP=90，CPPE，PE是圆E的半径，CP是圆E的切线；（）解：由题意，PFCP，EPCP，E，P，F三点共线，FD
30、为圆的切线，FD=FPPE=EB，RtEAF中，AF2+AE2=EF2，（ADPF）2+（）2=（PF+）2，AD=3PF，AF=2PF，=2选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上已知曲线C1上的点对应的参数为，曲线C2过点（）求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；（）若点P在曲线上C1，求P，C2两点间的距离|PC2|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）点对应的参数为，代入曲线C1可得，解得b，
31、a即可得出曲线C1的直角坐标方程曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上可得极坐标方程为=2Rsin，把点代入即可得出曲线C2的直角坐标方程（II）不妨设P（6cos，2sin），C2（0，2），则=+，再利用三角函数与二次函数的单调性即可得出【解答】解：（I）点对应的参数为，代入曲线C1可得，解得b=2，a=6曲线C1的直角坐标方程为=1曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上极坐标方程为=2Rsin，曲线C2过点，2=2Rsin，解得R=2圆心为（0，2），可得曲线C2的直角坐标方程为：x2+（y2）2=4（II）不妨设P（6cos，2sin），
32、C2（0，2），则=36cos2+（2sin2）2=+，P，C2两点间的距离|PC2|的最大值为选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=ax+3|2x1|（）若a=1，解不等式f（x）2；（）若函数有最大值，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最大值的充要条件，即可求得【解答】解：（）由题意得x时，不等式化为x+33x+12，解得：x2，x时，不等式化为x+3+2x12，解得：x0，综上，不等式的解集是（，02，+）；（）由题意得f（x）=，函数有最大值的充要条件是a+20且a20，即2a22016年10月4日
