1、北京市通州区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合 A=x|-1x3 ， B=x|00 ”的否定为（ ） A.xR ， x2-2x+30B.xR ， x2-2x+30C.xR ， x2-2x+30D.xR ， x2-2x+303.在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（ ） A.B.C.D.4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A.r2r4r3r1B.r2r4r1r3C.r4r2r1r3D.r4r2r3r15.A ， B，C，D，E五个人站成一排，A和C分别站在B的两边（可以
2、与B相邻，也可以与B不相邻）的不同站法共有（ ） A.12种B.16种C.28种D.40种6.在 (x-1x2)6 的展开式中，常数项为（ ） A.15B.-15C.30D.-30 7.学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是 34 ，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是 14 ，若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是 34 ，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是（ ） A.38B.58C.716D.9168.“ |x|y| ”是“ lnxa. 若集合 x|x0,f(x)=f(-x) 恰有2个元素，则 a 的取值范围是（ ） A.(-,0)B.0
3、,2)C.0,4)D.2,4)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.函数f（x）=lnx+ 1-x 的定义域为_ 12.已知变量 x 和变量 y 的一组随机观测数据 (2,30) ， (4,40) ， (5,60) ， (6,50) ， (8,70) .如果 y 关于 x 的经验回归方程是 y=6.5x+17.5 ，那么当 x=5 时，残差等于_. 13.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,2) ，若 P(X0)=0.2 ，则 P(X0 ， y0 ， x24+y2=1 ，则 22x+2y 的最大值是_. 三、解答题（本大题共85分）16.已知函数 y=f(x) 是图象经过
4、点 (2,4) 的幂函数，函数 y=g(x) 是定义域为 R 的奇函数，且当 x0,+) 时， g(x)=f(x)-2x . （）求函数 y=f(x) 的解析式；（）求当 x(-,0) 时函数 y=g(x) 的解析式，并在给定的坐标系中画出 y=g(x) （ xR ）的图象（）写出函数 y=g(x) （ xR ）的单调区间.17.已知函数 f(x)=x2+ax-2 ， aR . （1）当 a=1 时，求不等式 f(x)0 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f(x)(2a-1)x-6 在 (0,2 上恒成立，求 a 的最大值. 18.已知函数 f(x)=3x ， g(x)=|x+a|-2 （
5、 aR ）. （）若函数 y=f(g(x) 是偶函数，求 a ；（）若函数 y=g(f(x) 存在两个零点，求 a 的取值范围.19.某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销量y吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图. xyti=110xi2i=110ti2i=110xiyii=110tiyi0.331030.16410068350表中t=1x .（）根据散点图判断，y=bx+a与y=cx-1+d哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；（）若生产1吨该产品的成本为0
6、.25万元，依据（）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？（经验回归方程y=bx+a中，b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx）20.为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，同学甲调查丁某中学高三年级所有学生，整理得到列联表1，同学乙从该校高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表2. 表1单位：人性别身高合计170cm170cm女811697男2875103合计10991200表2单位：人性别身高合计2f(x),xI . （
7、1）若 I=R ， f(x)=3x ，求证： f(x)M ； （2）若 I=(0,1 ， g(x)=a+log2x ，若 g(x)M ，求实数 a 的取值范围； （3）设 I=-1,1 ， h(x)=-x2+ax+a-5 ， aR .讨论函数 h(x) 与集合 M 的关系. 答案解析一、单选题1.已知集合 A=x|-1x3 ， B=x|0x4 ，则 AB= （ ） A.(0,3)B.(-1,4)C.(0,4D.(-1,4【答案】 D 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】因为集合 A=x|-1x3 ， B=x|00 ”的否定为（ ） A.xR ， x2-2x+30B.xR ， x2-2x+30
8、C.xR ， x2-2x+30 ” 则该题命题的否定是： xR ， x2-2x+30 故答案为：D 【分析】 运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定.3.在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】两个变量的线性相关 【解析】【解答】解：由图可知，中的点集中在一条直线的附近，所以图中的两个变量具有线性相关关系， 故答案为：C 【分析】 由图可知，中的点集中在一条直线的附近，所以图中的两个变量具有线性相关关系，可得答案。4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A.r2r4r3
9、r1B.r2r4r1r3C.r4r2r1r3D.r4r2r30,r30,r20,r4r30,r2r40 ，即 r2r4r3r1 ，故答案为：A 【分析】 根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小.5.A ， B，C，D，E五个人站成一排，A和C分别站在B的两边（可以与B相邻，也可以与B不相邻）的不同站法共有（ ） A.12种B.16种C.28种D.40种【答案】 D 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】按A和C中间人数分以下三种情况： （1）A和C中间1人，必是B，则A和C排法 A22 ，三人捆绑，与其他2人全排 A33 ，故总共有
10、A22A33=12 种；（2）A和C中间2人，一人是B，B选位置 C21 ，再选一人放中间 C21 ，A和 C 排法 A22 ，最后一人放在最左或最右，2种，故共有 C21C21A222=16 种；（3）A和C中间3人，则A和C排法 A22 ，其他三人在中间全排 A33 ，故故总共有 A22A33=12 种.综上，不同站法有 12+16+12=40 种.故答案为：D. 【分析】 只考虑A、B、C三个人的排列情况即可，求出ABC站成一排以及A和C站在B的两边的情况，计算可得答案。6.在 (x-1x2)6 的展开式中，常数项为（ ） A.15B.-15C.30D.-30 【答案】 A 【考点】二项
11、式定理，二项式系数的性质 【解析】【解答】 Tr+1=C6rx6-r(-1x2)r=C6r(-1)rx6-3r ， 令 6-3r=0 ，得 r=2 ，所以常数项是 T3=C62(-1)2=15 .故答案为：A 【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，再由已知条件令 6-3r=0 ，得 r=2 ， 代入数值计算出结果即可。7.学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是 34 ，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是 14 ，若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是 34 ，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是（ ） A.38B.58C.716D.9
12、16【答案】 B 【考点】条件概率与独立事件 【解析】【解答】设 A1 表示早餐去A餐厅用餐， B1 表示早餐去B餐厅用餐， A2 表示午餐去A餐厅用餐，且 P(A1)+P(B1)=1 ，根据题意得 P(A1)=34,P(B1)=14,P(A2|A1)=34,P(A2|B1)=14 , 由全概率公式可得 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)P(A2)=3434+1414=58 ，故答案为：B. 【分析】设 A1 表示早餐去A餐厅用餐， B1 表示早餐去B餐厅用餐， A2 表示午餐去A餐厅用餐，且 P(A1)+P(B1)=1 ， 根据条件概率即可求出答案。8.“ |
13、x|y| ”是“ lnxlny ”成立的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】由题意，利用对数函数性质可知： lnxlny0xy|x|y| ，故必要性成立，而 |x|y|ln|x|ln|y| ，但不能确定 x,y 是否小于0，小于0时函数无意义，故 |x|y| 不能推出 lnxlny ，故充分性不成立，所以“ |x|y| ”是“ lnxa. 若集合 x|x0,f(x)=f(-x) 恰有2个元素，则 a 的取值范围是（ ） A.(-,0)B.0,2)C.0,4)D.2,4)【答案
14、】 B 【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】解：当 aa. 有一段部分为 y=x2,xa ，而 y=x2 本身具有偶数的性质，所以集合 x|x0,f(x)=f(-x) 中不止有两个元素，矛盾， 当 a=0 时， f(x)=(12)x,x0x2,x0 ，则 f(-x)=2x ，由 2x=x2 得 x=2 或 x=4 ，恰好有两个解，所以 a=0 符合，当 a0 时，当 0xa 时， f(x)=(12)x ，则 -x0a 时， f(x)=x2 ， -x-a00,f(x)=f(-x) 恰有2个元素，所以 0a2 ，综上， 0a0，分类写出f(x),f(-x),由f(x)=f(-x)有两解，画图可
15、得正数a的取值范围.二、填空题11.函数f（x）=lnx+ 1-x 的定义域为_ 【答案】x0x1 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】【解答】解：函数f（x）=lnx+ 1-x ， x01-x0 ，解得0x1；函数f（x）的定义域为x|0x1故答案为：x|0x1【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域12.已知变量 x 和变量 y 的一组随机观测数据 (2,30) ， (4,40) ， (5,60) ， (6,50) ， (8,70) .如果 y 关于 x 的经验回归方程是 y=6.5x+17.5 ，那么当 x=5 时，残差等于_. 【答案】
16、 10 【考点】线性回归方程 【解析】【解答】由已知条件可知：当 x=5 时，观测值为 60 ， 将 x=5 代入回归方程 y=6.5x+17.5 可得 y=6.55+17.5=50 ，所以残差等于 60-50=10 ，故答案为：10. 【分析】根据回归直线方程经过样本数据中心点求解即可。13.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,2) ，若 P(X0)=0.2 ，则 P(X2)= _. 【答案】 0.8 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】因为随机变量 X 服从正态分布 N(1,2) ， P(X0)=0.2所以 P(0X1)=0.5-0.2=0.3 ，所以 P(1
17、X2)=P(0X1)=0.3 ，所以 P(X0 ， y0 ， x24+y2=1 ，则 22x+2y 的最大值是_. 【答案】 2 【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】【解答】由柯西不等式得 (x24+y2)(12+12)(x21+y1)2=(x2+y)2所以 12(x2+y)2 ，当 x2=y , 即 x=2,y=22 时等号成立.所以 x2+y2 ，即 22x+2y 的最大值是2 【分析】由柯西不等式得 (x24+y2)(12+12)(x21+y1)2=(x2+y)2 ， 即可求出 22x+2y的最大值 。三、解答题16.已知函数 y=f(x) 是图象经过点 (2,4) 的幂函数，函数 y
18、=g(x) 是定义域为 R 的奇函数，且当 x0,+) 时， g(x)=f(x)-2x . （）求函数 y=f(x) 的解析式；（）求当 x(-,0) 时函数 y=g(x) 的解析式，并在给定的坐标系中画出 y=g(x) （ xR ）的图象（）写出函数 y=g(x) （ xR ）的单调区间.【答案】 （）设 y=f(x)=x ， 则 4=2,=2,f(x)=x2.（） f(x)=x2 ， 当 x0 时 g(x)=x2-2x设 x0 ，y=g(x) 是 R 上的奇函数g(x)=-g(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x.即当 x0 时， g(x)=-x2-2x.图象如下图所示：（）由
19、y=g(x) 在 R 上的图象可知：y=g(x) 的单调递增区间为 (-,-1) 和 (1,+) ，递减区间为 (-1,1)【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的单调性及单调区间，函数的图象 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,设 设y=f(x)=x ,代入点(2,4)，解指数方程即可得a值; (2)利用偶函数的定义，设x0,f(x)=f(-x),再代入已知解析式即可得x0时，函数y=g(x)的解析式，最后利用对称性画出函数图象即可; (3)先画出函数y=lg(x)|的图象,即将函数y=g(x)的图象x轴下面的部分翻到上面，再根据图象写出此函数的单调减区间即可。17.已知函数 f(x)
20、=x2+ax-2 ， aR . （1）当 a=1 时，求不等式 f(x)0 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f(x)(2a-1)x-6 在 (0,2 上恒成立，求 a 的最大值. 【答案】 （1）解：当 a=1 时，由 f(x)0 得， x2+x-20 ，即 (x-1)(x+2)0 ，解得 -2x1 ，所以不等式的解集为 (-2,1)（2）由 f(x)(2a-1)x-6 ，得 x2+(1-a)x+40 ， 所以问题转化为 x2+(1-a)x+40 在 (0,2 上恒成立，即 ax+4x+1 在 (0,2 上恒成立，因为 x(0,2 ，所以 x+4x+12x4x+1=5 ，当且仅当 x=4
21、x ，即 x=2 时取等号，所以 x+4x+1 的最小值为5，所以 a5 ，所以 a 的最大值为5【考点】函数恒成立问题，一元二次不等式的解法，基本不等式 【解析】【分析】（1） 当a=1时，由f(x)0得，x2+x-20，解一元二次不等式可得不等式f(x)0的解集；（2） 问题转化为x2+(1-a)x+40在(0,2上恒成立，即ax+4x+1在(0,2上恒成立，再根据基本不等式即可求出 a的最大值 。18.已知函数 f(x)=3x ， g(x)=|x+a|-2 （ aR ）. （）若函数 y=f(g(x) 是偶函数，求 a ；（）若函数 y=g(f(x) 存在两个零点，求 a 的取值范围.【
22、答案】 （） y=f(g(x)=3|x+a|-2 为偶函数， 则 f(g(-x)=3|-x+a|-2=f(g(x) ，即 3|-x+a|-2=3|x+a|-2 ，可得 |x+a|=|-x+a| ，所以 (x+a)2=(-x+a)2可得 2ax=0 对于 xR 恒成立，所以 a=0 ，（） g(f(x)=|f(x)+a|-2=|3x+a|-2 ，若 a0 时， g(f(x)=3x+a-2 在 R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当 a0 时， g(f(x)=|3x+a|-2=3x+a-2,xlog3(-a)-3x-a-2,xlog3(-a) ，则 g(f(x) 在 (-,log3(-a)
23、 单调递减，在 (log3(-a),+) 单调递增，所以 g(f(x)min=3log3(-a)+a-2=-a+a-2=-20 ，当 xlog3(-a) 时， -3x-a0 ，可得 a-2【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质 【解析】【分析】 （）写出函数 y=f(g(x) 的解析式，利用偶函数定义求解即可；（）由方程 g(f(x)=0 有两个根，分析求出a 的范围而得解。19.某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销量y吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图. xyti=110xi2i=110ti2i=110xiyii=110tiyi0.
24、331030.16410068350表中t=1x .（）根据散点图判断，y=bx+a与y=cx-1+d哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；（）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？（经验回归方程y=bx+a中，b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx）【答案】 （）根据散点图可知， y=cx-1+d 更适合作为 y 关于 x 的经验回归方程； （
25、）令 t=1x ，则 y=ct+d ，所以 c=i=1ntiyi-10tyi=1nti2-10t2=350-10310100-1032=5 ，所以 d=y-ct=10-53=-5 ，所以 y=cx-1+d=5x-5 ，故 y 关于 x 的经验回归方程为 y=5x-5 ，（）一天的利润为 W=y(x-0.25)=(5x-5)(x-0.25)=6.25-5(x+0.25x)6.25-52x0.25x=6.25-520.5=1.25 ，当且仅当 x=0.25x 即 x=0.5 时等号成立，所以预计每吨定价为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元.【考点】基本不等式，散点图，线
26、性回归方程 【解析】【分析】 (1)直接由散点图的形状进行判断即可； (2)令t=1x ， 则y=ct+d ,先利用公式求出c和d的值，从而得到y关于x的回归方程； (3)利用基本不等式求出一天利润的最大值，确定取等号的条件，即可得到月利润的最大值.20.为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，同学甲调查丁某中学高三年级所有学生，整理得到列联表1，同学乙从该校高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表2. 表1单位：人性别身高合计170cm170cm女811697男2875103合计10991200表2单位：人性别身高合计170cm170cm女1
27、5621男91019合计241640（1）利用表1，通过比较不低于170cm的学生在女生和男生中的比率，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果有关联，请解释它们之间如何相互影响；（2）利用表2，依据=0.05的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义：（3）以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原因是什么？（2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，x0.05=3.841）【答案】 （1）女学生身高低于 170cm ,不低于 170cm 的频率分别为 81970.835,16970.
28、165男学生身高低于 170cm ,不低于 170cm 的频率分别为 281030.272,751030.728通过比较发现,如果从女生、男生中各随机选取一名学生,女生中身高低于 170cm 的概率大于男生中身高低于 170cm 的概率，故高三年级学生的性别和身高有关联.又 0.8350.2723.07 ,故女生中身高低于 170cm 的频率是男生中身高低于 170cm 的频率的3倍以上 女生身高更容易低于 170cm .（2）2=40(1510-96)2211924162.412f(x),xI . （1）若 I=R ， f(x)=3x ，求证： f(x)M ； （2）若 I=(0,1 ， g
29、(x)=a+log2x ，若 g(x)M ，求实数 a 的取值范围； （3）设 I=-1,1 ， h(x)=-x2+ax+a-5 ， aR .讨论函数 h(x) 与集合 M 的关系. 【答案】 （1）证明：因为 f(x)=3x ，所以 f(x+1)-2f(x)=3x+1-23x=3x0 ，即 f(x+1)2f(x) 对于 xR 恒成立，所以 f(x)M ；（2）因为 g(x)=a+log2x ， x(0 ， 1 ，且 g(x)M ， 所以 当 x(0 ， 1 时， g(x+1)2g (x) 恒成立，即 a+log2(x+1)2a+2log2x 恒成立，所以 alog2(x+1)-2log2x=
30、log2(1x+1x2) 恒成立因为函数 y=log2(1x+1x2) 在区间 (0 ， 1 上单调递减，所以当 x=1 时， ymin=1 所以 a2h(x) 恒成立，即-(x+1)2+a(x+1)+a-5-2x2+2ax+2a-10 恒成立，所以 x2-(a+2)x+40 恒成立，记 H(x)=x2-(a+1)x+4 ， x-1 ， 1 ，当 a+22-1 ，即 a-4 ， H(x)min=H(-1)=a+70 ，即 a-7 ，又 a-4 ，所以 -7a-4 ；当 -1a+221 ，即 -4a0 恒成立，所以 -4a0 ，即 a3 ，又 a0 ，所以 0a3 综上所述，当 -7a0 ,验证即可； (2)通过g(x)M ， 得到 a2h(x)恒成立， 即 x2-(a+2)x+40恒成立，记H(x)=x2-(a+1)x+4 ， x-1 ， 1 ， 通过a-4时，-4a0时，a0时，求出函数的最值求解即可.
