1、滚动检测试题(五)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号函数与导数、不等式14、18平面向量、三角函数及解三角形1、3、15等差、等比数列4立体几何5、17直线与圆2、6、12、16圆锥曲线的定义、方程、几何性质7、9圆锥曲线的综合问题8、10、11直线与圆锥曲线13、19、20一、选择题(每小题5分,共50分)1.函数y=2cos2(x-)-1的最小正周期是(A)(A)(B)2(C)(D)解析:y=2cos2(x-)-1=cos(2x-)=sin 2x,T=,故选A.2.已知直线x+my+1=0与直线m2x-2y-1=0互相垂直,则实数m的值为(B)(A)(B)0或
2、2(C)2(D)0或解析:由直线垂直得m2-2m=0,所以m=0或2.故选B.3.已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,则|b|等于(C)(A)(B)(C)5(D)25解析:由50=|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=5+20+|b|2,得|b|=5,故选C.4.设等差数列an的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:由ak是a1与a2k的等比中项,得=a1a2k,即a1+(k-1)d2=a1a1+(2k-1)d,代入a1=9d,得(k+8)d2=9d(2k+8)d,能得k=4或k=-2(舍去).故选B.
3、5.(2013年高考新课标全国卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A)(A)16+8(B)8+8(C)16+16(D)8+16解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2,母线长为4,故几何体的体积为224+224=16+8.故选A.6.(2013昆明一中模拟)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是(B)(A)x+2y-3=0(B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0(D)2x-y=0解析:由题意知直线PQ与中点和圆心的连线垂直,所以kPQ=-,故直线
4、PQ方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.故选B.7.(2013山东日照一模)已知双曲线-=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为(D)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由已知圆心坐标为(5,0),即c=5,又=,a2=5,b2=20,双曲线的标准方程为-=1.故选D.8.抛物线y2=12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形面积等于(D)(A)(B)2(C)2(D)3解析:抛物线的准线方程为x=-3,双曲线的渐近线方程为y=x,所以交点坐标为(-3,),故面积为S=32=3.故选D.9.两个正数a
5、、b的等差中项是5,等比中项是4,若ab,则椭圆+=1的离心率e为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知a+b=10,ab=16,又ab,所以a=8,b=2,故椭圆方程为+=1,所以离心率为e=.故选A.10.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x的不等式-Bx-AB的解集叫A的B邻域.已知a+b-2的a+b邻域为区间(-2,8),其中a、b分别为椭圆+=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则椭圆的方程为(B)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:由题意可知-(a+b)x-(a+b-2)0),则由圆与直线3x+4y+4=0相切,圆的
6、半径为2可得=2,所以a=2或a=-(舍去),所以圆的方程为(x-2)2+y2=4.答案:(x-2)2+y2=413.(2013揭阳一模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A,B两点,则cos AFB的值为.解析:联立直线与抛物线方程,消元得x2-2x-8=0,解得x1=-2,x2=4,不妨设A在y轴左侧,则A(-2,1),B(4,4).法一由抛物线定义可得|AF|=2,|BF|=5,|AB|=3,据余弦定理可得cos AFB=-.法二由抛物线定义得|AF|=2,|BF|=5,|AB|=3,又=(-2,0),=(4,3),故cos AFB=-.答案:-14.函数y
7、=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n0,则+的最小值等于.解析:由题意定点A的坐标为(-2,-1),根据点A在直线mx+ny+1=0上,有2m+n=1,于是+=(2m+n)(+)=4+8,当且仅当=,即m=,n=时等号成立,+的最小值是8.答案:8三、解答题(共80分)15.(本小题满分12分)(2013浙江嘉兴高三测试)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=c+bcos C.(1)求角B的大小;(2)若SABC=,求b的最小值.解:(1)由正弦定理可得sin A=sin C+sin Bcos C,又因为A=-
8、(B+C),所以sin A=sin(B+C),可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C,又sin C0,即cos B=,所以B=.(2)因为SABC=,所以acsin=,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.所以b24,即b2,所以b的最小值为2.16.(本小题满分13分)已知圆C:x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹方程.解:(1)当直线l
9、垂直于x轴时,方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),其距离为2,满足题意.若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d,则2=2,得d=1.所以1=,k=,故所求直线方程为3x-4y+5=0,综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1.(2)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y),则N点坐标是(0,y0),因为=+,所以(x,y)=(x0,2y0),即x0=x,y0=,又因为+=4,所以x2+=4,由已知,直线m平行于x轴,所以y0,所以Q点的轨迹方程是+=1(y0).17. (本小题满分13分)(2
10、013山东日照一模)如图,已知AB平面ACD,DEAB,ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.(1)求证:AF平面BCE;(2)求证:平面BCE平面CDE.证明:(1)取CE中点P,连接FP、BP,F为CD的中点,FPDE,且FP=DE.又ABDE,且AB=DE.ABFP,且AB=FP,四边形ABPF为平行四边形,AFBP.又AF平面BCE,BP平面BCE,AF平面BCE.(2)ACD为正三角形,AFCD,AB平面ACD,DEAB,DE平面ACD,又AF平面ACD,DEAF.又AFCD,CDDE=D,AF平面DCE.又BPAF,BP平面DCE.又BP平面BCE,平面BCE平面
11、CDE.18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x0,且x1时,f(x).(1)解:f(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).故解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=+,所以f(x)-=(2ln x-).令函数h(x)=2ln x-(x0),则h(x)=-=-.所以当x1时,h(x)0,可得h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.从而当x0,且x1时,f(x)-0,即f(x).19.(本小题满分14分)(2013广东韶关第一次调研)椭圆C:+=1
12、(ab0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,点M是椭圆C上一点,F1F2M的周长为16,设线段MO(O为坐标原点)与圆C:x2+y2=r2交于点N,且线段MN长度的最小值为.(1)求椭圆C以及圆O的方程;(2)当点M(x0,y0)(x00)在椭圆C上运动时,判断直线l:x0x+y0y=1与圆O的位置关系.解:(1)设椭圆C的半焦距为c,则=,即c=a,又|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=16,联立,解得a=5,c=3,所以b2=a2-c2=16.所以椭圆C的方程为+=1.而椭圆C上点M(x0,y0)与椭圆中心O的距离为|MO|=4,等号在x0=0时成立.而|MN|=|MO|-
13、r,则|MN|的最小值为4-r=,从而r=,所以圆O的方程为x2+y2=.(2)因为点M(x0,y0)在椭圆C上运动,所以+=1.即=16-.圆心O到直线l:x0x+y0y=1的距离d=.当x0=0时,d=,则直线l与圆相切.当x00时,db0)的右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点F重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF|=.(1)求椭圆C1的方程;(2)若过点A(-1,0)的直线与椭圆C1相交于M,N两点,求使+=成立的动点R的轨迹方程;(3)若点R满足条件(2),点T是圆(x-1)2+y2=1上的动点,求|RT|的最大值.解:(1)法一抛物线C2:y2=4x的焦点F的坐标
14、为(1,0),准线为x=-1,设点P的坐标为(x0,y0),依据抛物线的定义,由|PF|=,得1+x0=,解得x0=.点P在抛物线C2上,且在第一象限,=4x0=4,解得y0=.点P的坐标为(,).点P在椭圆C1:+=1上,+=1.又c=1,且a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,椭圆C1的方程为+=1.法二抛物线C2:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),设点P的坐标为(x0,y0),x00,y00.|PF|=,(x0-1)2+=. 点P在抛物线C2:y2=4x上,=4x0.解得x0=,y0=.点P的坐标为(,).点P在椭圆C1:+=1上,+=1.又c=1,且a2=b2+c2=
15、b2+1,解得a2=4,b2=3.椭圆C1的方程为+=1.(2)法一设点M(x1,y1),N(x2,y2),R(x,y),则=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x-1,y).+=(x1+x2-2,y1+y2).+=,x1+x2-2=x-1,y1+y2=y. M,N在椭圆C1上,+=1,+=1.上面两式相减得+=0. 把式代入式得+=0.当x1x2时,得=-. 设FR的中点为Q,则Q的坐标为(,).M,N,Q,A四点共线,kMN=kAQ,即=.把式代入式,得=-,化简得4y2+3(x2+4x+3)=0.当x1=x2时,可得点R的坐标为(-3,0),经检验,点R(-3,0)在曲线4y2
16、+3(x2+4x+3)=0上.动点R的轨迹方程为4y2+3(x2+4x+3)=0.法二当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x+1),由消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.设点M(x1,y1),N(x2,y2),R(x,y),则x1+x2=-,y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2+2)=.=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x-1,y).+=(x1+x2-2,y1+y2).+=,x1+x2-2=x-1,y1+y2=y.x+1=x1+x2=-,y=.得k=-,把代入化简得4y2+3(x2+4x+3)=0.当直线MN的斜率不存在时,设直线MN的方程为x=-1,依题意,可得点R的坐标为(-3,0),经检验,点R(-3,0)在曲线4y2+3(x2+4x+3)=0上.动点R的轨迹方程为4y2+3(x2+4x+3)=0.(3)由(2)知点R(x,y)的坐标满足4y2+3(x2+4x+3)=0,即4y2=-3(x2+4x+3),由y20,得-3(x2+4x+3)0,解得-3x-1.圆(x-1)2+y2=1的圆心为F(1,0),半径r=1.|RF|=.当x=-3时,|RF|max=4,此时,|RT|max=4+1=5.
