1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2复数的四则运算学习目标1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算知识链接1复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项2若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?答不能，如2ii0，但2i与i不能比较大小3复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1.4z与|z|2和|2有什么关系？答z|z|2|2.预习导引1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z
2、1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数的乘法法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.3复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z34.共轭复数：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数zabi的共轭复数记作，即abi.5复数的除法法则：设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.要点一复数加
3、减法的运算例1计算：(1)(56i)(2i)(34i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(523)(614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.规律方法复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪演练1计算：(1)(24i)(34i)；(2)(34i)(2i)(15i)解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.要点二复数乘除法的运算例2计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解
4、(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25.(3)(1i)212ii22i.规律方法复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪演练2计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5.(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.例3计算：(1)(12i)(34i)；(2)()6.解(1)(12i)(34i)i.(2)原式6i61i.规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同
5、时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)跟踪演练3计算：(1)；(2).解(1)1i.(2)13i.要点三共轭复数及其应用例4已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i，或i.规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪演练4已知复数z满足：z2iz86i，求复数z的实部与虚部的和解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i
6、(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1复数z12i，z22i，则z1z2_.答案i解析z1z2(2)(2)ii.2若z32i4i，则z_.答案13i解析z4i(32i)13i.3复数z_.答案i解析i.4已知复数z1ai(aR，i是虚数单位)，i，则a_.答案2解析由题意可知：ii，因此，化简得5a253a23，a24，则a2，由可知a0，仅有a2满足，故a2.1.复数的四则运算：(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母
7、都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想：复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化一、基础达标1已知复数z满足(34i)z25，则z_.答案34i解析方法一由(34i)z25，得z34i.方法二设zabi(a，bR)，则(34i)(abi)25，即3a4b(4a3b)i25，所以解得故z34i.2已知z是纯虚数，是实数，那么z_.答案2i解析设zbi(bR，b0)，则i是实数，所以b20，b2，所以z2i.3.的值等于_答案23i486i的平方根是_
8、答案(3i)解析方法一设86i的平方根是xyi(x，yR)，则(xyi)286i，即x2y22xyi86i.由复数相等，得或方法二86i96ii2(3i)2，86i的平方根是(3i)5若复数z1z234i，z1z252i，则z1_.答案4i解析两式相加得2z182i，z14i.6计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)(i)(2i)(i)；(3).解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(i)(2i)(i)i2ii(2)(1)i1i.(3)291511.7设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范
9、围解z1(m15)i，z22m(m3)i，z1z2(2)(m15)m(m3)i(m22m15)i.z1z2为虚数，m22m150且m2，解得m5，m3且m2(mR)二、能力提升8复数的虚部是_答案解析原式i，虚部为.9设复数z满足(z2i)(2i)5，则z_.答案23i解析由(z2i)(2i)5，得z2i2i2i2i23i.10已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2_.答案34i解析由题意知ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)234i.11已知z1i，a，bR，若1i，求a，b的值解z1i，z22i，a2(ab)i1i，12已知复数z满足z2512i，求.解设zxyi(x，yR)，则z2x2y22xyi.又z2512i，所以x2y22xyi512i.所以解得或所以z32i或z32i.所以i或i.所以i或i.三、探究与拓展13已知1i是方程x2bxc0的一个根(b，c为实数)(1)求b，c的值；(2)试说明1i也是方程的根吗？解(1)1i是方程x2bxc0的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.得b，c的值为b2，c2.(2)由(1)得方程为x22x20.把1i代入方程左边得(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i也是方程的一个根.- 8 - 版权所有高考资源网
