1、提升考能、阶段验收专练卷(四)立体几何(时间：70 分钟 满分：104 分).小题提速练(限时 45 分钟)(一)选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分)1(2016浙江五校联考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选 D 依题意，结合三视图知识知 D 项符合2(2016辽宁葫芦岛模拟)设 x，y，z 表示直线(彼此不同)或平面(不重合)，则“xz，yzxy”成立的一个充分条件是()Ax，y，z 都是平面 Bx，y，z 都是直线Cx 是直线，y，z 是平面Dx，y 是平面，z 是直线解析：选 D 依题意，注意到由定理“垂直于同一直线的两个平面相互平
2、行”得知 D选项正确3(2016成都检测)已知 m，n 是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，n，则 mnD若 m 与 相交，n 与 相交，则 m，n 一定不相交解析：选 C A 中的 m，n 还可能异面、相交，所以 A 不正确；B 中的 m，n 应该平行，所以 B 不正确；D 中的 m，n 异面、平行、相交均可能，所以 D 不正确4(2016杭州质检)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A两条相交直线B两条平行直线C两个点D一条直线和直线外一点解析：选 C 如图，在正方体 ABCD-EFGH 中，M，N 分别为BF，D
3、H 的中点，连接 MN，DE，CF，EG.当异面直线为 EG，MN 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面直线为 DE，GF 所在直线时，它们在底面 ABCD内的射影分别为 AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为 DE，BF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD 和点 B，是一条直线和一个点5.(2015山西质监)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为()A.152B6 3C.323 3D4 3解析：选 A 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为 3，宽为 2，面积为 326.等腰三角形
4、的底边为 3，高为 3，其面积为12 3 332，所以侧视图的面积为 632152.6(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 3B2 3C12 2D2 2解析：选 B 根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面 ABD底面 BCD，另两个侧面 ABC，ACD 为等边三角形，则有 S 表面积212212 34(2)22 3.7(2015四川成都押题)对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析：选 B 中，三
5、条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面中，三条直线共点最多可确定 3 个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面中，条件一定能推出三条直线共面故只有是空间中三条不同的直线共面的充分条件8已知矩形 ABCD，AB1，BC 2.将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三对直线“AC 与
6、 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直解析：选 B 最简单的方法是取一长方形纸动手按照其要求进行翻折，观察翻折过程，即可知选项 B 是正确的9某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是()A2 B.92C.32D3解析：选 D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示则体积 V13122 2x3，解得 x3.10在三棱锥 A-BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ADB 的面积分别为 22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为()A2 B6C4 6 D24解析：选 B 设两两垂直的三条侧棱分别为 a，b，c，可以
7、得到12ab 22，12bc 32，12ac 62，解得 a 2，b1，c 3.所以 2R a2b2c2 6，所以球的表面积为 S4R26.11如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，点 P 是棱 AD上一点，且 APa3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ()A.2 23 aB.23 aC.2 33 aD.33 a解析：选 A 平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而平面 B1D1P平面 ABCDPQ，平面 B1D1P平面 A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，BDPQ.设 PQABM，ABCD，APMD
8、PQ，PQPMPDAP2，即 PQ2PM.又知APMADB，PMBDAPAD13，PM13BD，又 BD 2a，PQ2 23 a.12.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱BC，CC1 的中点，P 是侧面 BCC1B1 内一点，若 A1P平面 AEF，则线段A1P 长度的取值范围是()A.1，52B.3 24，52C.52，2D.2，3解析：选 B 取 B1C1 的中点 M，BB1 的中点 N，连接 A1M，A1N，MN，可以证明平面 A1MN平面 AEF，所以点 P 位于线段 MN 上，把A1MN 置于平面上，则有 A1MA1N1122 52，M
9、N122122 22，所以当点 P 位于 M，N 时，A1P 最大，当 P 位于线段MN 的中点 O 时，A1P 最小，此时 A1O5222423 24，所以 A1OA1PA1M，即3 24 A1P 52，所以线段 A1P 长度的取值范围是3 24，52.(二)填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)13如图，点 M，N 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1B1，A1D1的中点，用过 A，M，N 和 D，N，C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为_解析：由正投影可知三视图的形状答案：14(2016浙江瑞安四校联考)给定下列
10、四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是_解析：由面面平行的判定定理可知不正确；由面面垂直的判定定理可知正确；垂直于同一直线的两条直线可能相互平行、相交，也可能异面，所以不正确；由面面垂直的性质定理可知正确答案：15在正四面体 ABCD 中，AO平面 BCD，垂足为 O，设 M 是线段 AO 上一点，且BMC90，则AMMO的值为_解析：如图，连接 OB，设正四面体的棱长为 a，
11、则 OB 33 a，MB 22a，故 OM 66 a12AO，则AMMO1.答案：116.如图，在ABC 中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面 ABC，PC4，M 是 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为_解析：作 CHAB 于 H，连接 PH.PC平面 ABC，PHAB，PH 为 PM 的最小值，则 CH2 3，PC4，PH2 7.答案：2 7.大题规范练(限时 20 分钟)17.（本小题满分 12 分）(2016西安八校联考)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若 G 为 FC 的中点，证明：AF平面
12、 BDG；(2)求平面 ABF 与平面 BCF 夹角的余弦值解：(1)证明：连接 AC 交 BD 于 O 点，则 O 为 AC 的中点，连接 OG，因为点 G 为 FC的中点，所以 OGAF.因为 AF平面 BDG，OG平面 BDG，所以 AF平面 BDG.(2)取 AD 的中点 M，BC 的中点 Q，连接 MQ，则 MQABEF，所以 M，Q，F，E 四点共面作 FPMQ 于 P，ENMQ 于 N，则 ENFP 且 ENFP.连接 EM，FQ，因为 AEDEBFCF，ADBC，所以 ADE 和 BCF 全等，所以 EMFQ，所以 ENM 和 FPQ 全等，所以 MNPQ1，因为 BFCF，Q
13、 为 BC 中点，所以 BCFQ，又 BCMQ，FQMQQ，所以 BC平面 MQFE，所以 PFBC，所以 PF平面 ABCD.以 P 为原点，PM 为 x 轴，PF 为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 A(3,1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)，设 F(0,0，h)，则 AF(3，1，h)，CF(1,1，h)因为 AFCF，所以 AF CF 0，解得 h2.设平面 ABF 的法向量 n1(x1，y1，z1)，AF(3，1,2)，BF(1，1,2)，由n1 AF 0，n1 BF 0，得3x1y12z10，x1y12z10，令 z11，得 x10，y12，即 n1(0,2,1)是
14、平面 ABF 的一个法向量同理得平面 BCF 的一个法向量为 n2(2,0,1)，所以 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|15 515，所以平面 ABF 与平面 BCF 夹角的余弦值为15.18（本小题满分 12 分）(2016河北五校联考)如图，已知四棱锥P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，BAD120，PAb.(1)求证：平面 PBD平面 PAC；(2)设 AC 与 BD 交于点 O，M 为 OC 中点，若二面角 O-PM-D 的正切值为 2 6，求ab的值解：(1)证明：因为 PA平面 ABCD，所以 PABD.又底面 ABCD 为菱形，所以
15、 ACBD，因为 PAACA，所以 BD平面 PAC，从而平面 PBD平面 PAC.(2)法一：如图，过 O 作 OHPM 交 PM 于 H，连接 HD.由 DO平面 PAC，可以推出 DHPM，所以OHD 为二面角 O-PM-D 的平面角又 OD 32 a，OMa4，AM3a4，且OHOMAPPM，从而 OHbb2 916a2a4ab16b29a2，tanOHDODOH 316b29a22b2 6，所以 9a216b2，即 ab43.故ab的值为43.法二：如图，以 A 为原点，AD，AP 所在直线分别为 y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则 P(0,0，b)，D(0，a,0)，M3 38 a
16、，38a，0，O34 a，14a，0.从而 PD(0，a，b)，PM 3 38 a，38a，b，OD 34 a，34a，0.因为 BD平面 PAC，所以平面 PMO 的一个法向量为OD 34 a，34a，0.设平面 PMD 的法向量为 n(x，y，z)，由 PD n，PM n得 PD naybz0，PM n3 38 ax38aybz0，令 yb，得 x 53 3b，za，即 n53 3b，b，a.设OD 与 n 的夹角为，则二面角 O-PM-D 的大小与 相等，由 tan 2 6，得 cos 15，cos OD n|OD|n|512ab34aba4 125227b2a215，化简得 4b3a，
17、即ab43.附加卷：立体几何(教师备选)(时间：65 分钟 满分：104 分).小题提速练(限时 45 分钟)(一)选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分)1.(2016吉林质监)已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则它的俯视图可能是()解析：选 C 根据三视图原则，可以将其中两个视图结合起来，看另一视图是否符合，依次判断即可，易知只有选项 C 符合2(2015绵阳二诊)已知 l，m，n 是三条不同的直线，是不同的平面，则下列条件中能推出 的是()Al，m，且 lmBl，m，n，且 lm，lnCm，n，mn，且 lmDl，lm，且 m解析：选 D 注意到由 A，B，C 均不能得知.对于
18、 D，由 lm，m 得 l，又 l，因此有，综上所述，故选 D.3(2016陕西渭南期末质检)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2 的正方形，俯视图是一个直径为 2 的圆，则这个几何体的表面积为()A2 B4C6 D8解析：选 C 依题意，题中的几何体是一个圆柱，其中底面半径是 1，高是 2，因此其表面积等于 2122126.4已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P-ABCD 的四个侧面中面积最大的值是()A3 B2 5C6 D8解析：选 C 四棱锥如图所示，PM3，PN 5，SPDC124 52 5，SPBCSPAD12233，SPAB12436.所以四个侧
19、面中面积最大的是 6.5.(2016邢台摸底)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形，如图所示，则该几何体的体积为()A.16B.13C.23D.56解析：选 D 依题意得，题中的几何体是从棱长为 1 的正方体ABCD-ABCD中截去三棱锥 A-ABD 后剩余的部分，因此该几何体的体积等于 13131212 156.6(2016潍坊模拟)已知，表示平面，m，n 表示直线，m，给出下列四个结论：n，n；n，mn；n，mn；n，mn.则上述结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选 B n，只有当 n 与，的交线垂直时，才有 n，所以错误；由 m，n，得 mn，正确；由 m
20、，得 m 或 m，所以n，m，n可能平行、相交或异面，错误；n，mn，正确，所以正确结论的个数是 2.7(2016湖北七市联考)某个几何体的三视图如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为2 的半圆，则该几何体的表面积为()A9224 B8224C9214 D8214解析：选 C 依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是 4,5,4，圆柱的底面半径是 2，高是 5，因此该几何体的表面积等于 3(45)2(44)2212(22)59214.8(2015杭州质检)设 l 是一条直线，是不同的平面，则在下列命题中，假命题是()A如果，那么 内一定存在直线平行于
21、 B如果 不垂直于，那么 内一定不存在直线垂直于 C如果，l，那么 lD如果，l 与，都相交，则 l 与，所成的角互余解析：选 D 如果，那么 内一定存在直线平行于，即命题 A 正确；如果 不垂直于，那么 内一定不存在直线垂直于，即命题 B 正确；如果，l，那么 l，即命题 C 正确；如果，l 与，都相交，那么 l 与，所成的角不一定互余，即命题 D 不正确9已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE与 CD1 所成角的余弦值为()A.1010B.15C.3 1010D.35解析：选 C 取 DD1 的中点 F，连接 CF，D1CF 即
22、为异面直线 BE 与 CD1所成的角或其补角，取 AB1，cosD1CF 5212 5 23 1010.故直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为3 1010.10已知两个不同的平面，和两条不重合的直线 m，n，则下列命题不正确的是()A若 mn，m，则 nB若 m，m，则 C若 m，mn，n，则 D若 m，n，则 mn解析：选 D 如图所示，对于选项 A，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1BB1，AA1平面 ABCD，且 BB1平面ABCD，分别将 AA1，BB1 当作直线 m，n，平面 ABCD 视为平面，可知 A 选项正确；对于选项 B，AA1平面 ABCD，AA1平面 A
23、1B1C1D1，且有平面 ABCD平面 A1B1C1D1，把直线 AA1 当作直线 m，平面 ABCD 与平面 A1B1C1D1 分别当作平面，可知 B 选项正确；对于选项 C，AA1平面 ABCD，AA1BB1，BB1平面 BB1C1C，且平面 ABCD平面 BB1C1C，分别把 AA1，BB1 当作直线 m，n，平面 ABCD 与平面 BB1C1C 当作平面，可知 C 选项正确；AB平面 A1B1C1D1，平面 A1B1C1D1平面 AA1D1DA1D1，但直线 AB 与 A1D1 异面，分别把直线 AB，A1D1 当作直线 m，n，把平面 A1B1C1D1，平面 AA1D1D 分别当作平
24、面，可知选项 D 错误11.如图所示，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BAC90，BC1AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在()A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上DABC 内部解析：选 A BAC90，ABAC.又 ACBC1，BC1ABB，AC平面 ABC1，又 AC平面 ABC，平面 ABC平面 ABC1.平面 ABC1平面 ABCAB，点 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上12(2016昆明质检)已知球 O 的半径为 5，球面上有 A，B，C 三点，如果 ABAC2，BC2 2，则三棱锥 O-ABC 的体积为()A.33B.6
25、3C1 D.2 33解析：选 D 如图所示，由 ABAC2，BC2 2，可知ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边，取 BC 边中点 O1，则 OO1 52 3，此三棱锥 O-ABC 的体积为V131222 32 33.(二)填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)13假设平面 平面 EF，AB，CD，垂足分别为 B，D，如果增加一个条件，就能推出 BDEF，现有下面四个条件：AC；AC 与，所成的角相等；AC 与 BD 在 内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果 AB 与 CD 在一个平面内，可以推出 EF 垂直于该平面，又
26、BD 在该平面内，所以 BDEF.故要证 BDEF，只需 AB，CD 在一个平面内即可，只有能保证这一条件答案：14.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 MN 与 AC 所成的角为 60.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)解析：由题图可知 AM 与 CC1 是异面直线，AM 与 BN 是异面直线，BN 与 MB1 为异面直线因为 D1CMN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 A
27、C 所成的角，且为 60.答案：15在三棱锥 P-ABC 中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是_解析：三棱锥中两条相对的棱所在的直线是异面直线，共有 3 对，从 6 条棱中任取两条，利用列举法可知有 15 种取法，取到两条棱异面的概率是 31515.答案：1516一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为_解析：该几何体是棱长为 1 的正八面体，其表面积为 81211sin 602 3，其外接球的半径为 22，故外接球表面积为 42222，所以所求比值为 3.答案：3.大题规范练(限时 20 分钟)17（本小题满分 12 分）(2016潍坊模拟)如图，在几何体
28、ABC-A1B1C1 中，点 A1，B1，C1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A，B，C，且 ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E 为 AB1 的中点(1)求证：CE平面 A1B1C1；(2)求二面角 B1-AC1-C 的大小解：(1)证明：由题知 AA1平面 ABC，BB1平面 ABC，CC1平面 ABC，AA1BB1CC1.取 A1B1 的中点 F，连接 EF，FC1，E 为 AB1 的中点，EF 綊12A1A.AA14，CC12，CC1 綊12A1A，EF 綊 CC1，四边形 EFC1C 为平行四边形，CEC1F.CE平面 A1B1C1，C1F平面 A1B1C1，CE平面
29、A1B1C1.(2)由题知，ABBC，又BB1平面 ABC，BB1AB，BB1BC，故以 B 为原点，分别以 BA，BC，BB1 所在直线为 x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，AC(2,2,0)，1CC(0,0,2)，1AB(2,0,4)，11B C(0,2，2)设平面 ACC1 的法向量 m(x1，y1，z1)，则 m AC 0，m1CC 0，2x12y10，2z10，令 x11，得 m(1,1,0)，设平面 AB1C1 的法向量为 n(x2，y2，z2)，则 n1AB 0，n11B C 0，2x2
30、4z20，2y22z20，令 z21，n(2,1,1)cosm，n mn|m|n|32.由图知，二面角 B1-AC1-C 是钝角，二面角 B1-AC1-C 的大小为 150.18（本小题满分 12 分）(2015广东高考)如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角 P-AD-C 的正切值；(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值解：法一：(1)证明：在PCD 中，E 为 CD 的中点，且 PCPD，PEC
31、D.又平面 PCD平面 ABCD，且平面 PCD平面 ABCDCD，PE平面 PCD，PE平面 ABCD.又FG平面 ABCD，PEFG.(2)由(1)知 PE平面 ABCD，且 AD平面 ABCD，PEAD.又四边形 ABCD 是长方形，ADCD.又PECDE，AD平面 PCD，ADPD，PDE 为二面角 P-AD-C 的平面角ABCD6，DE3.在 RtPED 中，PE PD2DE24232 7，tanPDEPEDE 73，所求二面角 P-AD-C 的正切值为 73.(3)如图，连接 AC，在ABC 中，AF2FB，CG2GB，FGAC.由异面直线所成角的定义，知直线 PA 与直线 FG
32、所成角的大小等于PAC 的大小在 RtPDA 中，PA PD2AD2 42325，AC AB2BC2 62323 5，PC4，在PAC 中，由余弦定理知，cosPACPA2AC2PC22PAAC254516253 59 525，直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 525.法二：在PCD 中，E 为 CD 的中点，且 PCPD，PECD.又平面 PCD平面 ABCD，且平面 PCD平面 ABCDCD，PE平面 PCD，PE平面 ABCD.取 AB 的中点 H，连接 EH.四边形 ABCD 是长方形，EHCD.如图，以 E 为原点，EH，EC，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴
33、建立空间直角坐标系，PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，E(0,0,0)，P(0,0，7)，F(3,1,0)，G(2,3,0)，A(3，3，0)，D(0，3,0)(1)证明：EP(0,0，7)，FG(1,2,0)，且 EP FG(0,0，7)(1,2,0)0，EP FG，即 EPFG.(2)PE平面 ABCD，平面 ABCD 的法向量为 EP(0,0，7)设平面 ADP 的一个法向量为 n(x1，y1，z1)，AP(3,3，7)，DP(0,3，7)，由于 AP n0，DP n0，即3x13y1 7z10，3y1 7z10，令 z13，则 x10，y1 7，n(0，7，3)由图可知二面角 P-AD-C 是锐角，设为，则cos n EP|n|EP|3 74 734.sin 74，tan 73.二面角 P-AD-C 的正切值为 73.(3)AP(3,3，7)，FG(1,2,0)，设直线 PA 与直线 FG 所成角为，则 cos AP FG|AP|FG|36997 59 525.直线 PA 与 FG 所成角的余弦值为9 525.
