1、课时跟踪检测(十六)导数与函数的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1(2015兰州双基测试)定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2x，当x1时，f(1)2，f(x)2x1，f(1)3，所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)当4x1时，h(x)0；当1x3时，h(x)0；当3x4时，h(x)0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值
2、在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，实数m的取值范围为.2(2016贵阳监测改编)已知函数f(x)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)10
3、，解得ae2，所以此时e2a0.故实数a的取值范围为(e2,0)3一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203，k，则总费用f(x)(kx3400)aa(0x100)由f(x)0，得x20.当0x20时，f(x)0，f(x)单调递减；当20x100时，f(x)0，f(x)单调递增当x20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20 km/h
4、时，总费用最少4(2016沈阳质量监测)已知函数f(x)aln x(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，f(2)2，a4.(2)证明：令g(x)a，则g(x)a.令g(x)0，得x1，g(x)0，得0x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)由题意可知eex，化简得ln x，又x(1，e)，a.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0
5、，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)h(e)e1.ae1.故实数a的取值范围为e1，)二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2015陕西省质量监测)设函数f(x)exax1.(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0；(3)求证：对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n1.解：(1)由题意知f(x)exa0对xR恒成立，且ex0，故a的取值范围为(，0(2)证明：由a0，及f(x)exa可得，函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln
6、a)eln aaln a1aaln a1，则g(a)ln a，故当a(0,1)时，g(a)0，当a(1，)时，g(a)0，从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且g(1)0，故g(a)0.(3)证明：由(2)可知，当a1时，总有f(x)exx10，当且仅当x0时等号成立即当x0时，总有exx1.于是，可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1，即x可得n1en；令x1，即x可得n1e(n1)；令x1，即x可得n1e(n2)；令x1，即x可得n1e1.对以上各式求和可得：n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n1.