1、2.1.2 一一映射教学目的使学生了解一一映射的概念；会判断一些简单对应是否是一一映射.重点难点重点：一一映射的概念；难点：判断所给对应是否是一一映射.教学设想 1.教法：直观演示、引导发现法；2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；3.课时：1课时.教学过程 一、复习引入 复习从集合A到集合B的映射的概念.然后指出以下两点：映射是特殊的对应，它的特点是：在集合A中的任一元素在集合B中有唯一的元素与它对应；对集合B中的元素，在集合A中可以有几个元素和它对应，即对集合B中的元素，在集合A中的原象没有提出个数上的限定.问题引入：如果f是集合A到B的映射，B中任一元素在A中原象的个数可能有几种情况
2、，举例说明.答：有三种情况：集合B中的某一元素在A中没有原象（如图1）；集合B中的任何一个元素在A中都有一个原象（如图2）；集合B中的某一元素在A中有两个或两个以上的原象（如图3）.141-12-24561231232465 f：乘以2 f：加3 f：乘方 g：除以2 g：减3 g：开方 图1 图2 图3进一步提问：在对应法则f下，可以由A中的元素a求出a在B中的对应元素b，就上述三例，如果要由B中的元素b，在A中求出它在f下的原象，应怎样求？答：就是找出由b求a的对应法则.易知它们的对应法则分别是：“除以2”，“减3”和“开方”.我们记BA的对应法则为g.再问：g：BA是不是从B到A的映射，
3、为什么？答：图2中的g：BA是映射；图1、图3中的g：BA不是映射.小结：对任一个f：AB的映射来说，由B到A的对应g都存在，但对应g 有的是映射，有的不是映射.可见要使对应g成为映射，必须对原来的f提出更多的条件.引导学生分析图1、图3两种情况：图1中，g不是映射的原因是因为B中存在元素“5”，它在A中没有原象.图3中，g不是映射的原因是因为B中的元素“1”和“4”，它们在A中有两个原象.从而得出结论：如果f：AB是映射，要使g：BA成为映射，必须排除这两种情况，而对映射提出更多的条件.为了排除这两种情况，映射f还应满足什么条件呢？B中任何一个元素在A中都有原象；B中任何一个元素在A中都有唯
4、一的原象，换句话说，A中的不同元素在B中有不同的象.我们把满足上述两个条件的映射f：AB叫做一一映射.二、学习、讲解新课 一一映射的概念设A，B是两个集合，f：AB是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f：AB是一一映射，那么g：BA是映射. 一一映射的判断有限集合例1 集合A的元素是a，集合B的元素是b，判断下面的映射是不是从A到B的一一映射，为什么？a234b567a0030060012001500b01/2/2/21/2 解：是从A到B的
5、一一映射，因它符合定义；不是，因为它不满足定义中的“对于集合A中的不同元素在B中有不同的象”这一条.问：如何作最小的改动，使上述中的一一映射变为非一一映射？答：只要将B的元素改成有两个相同，或再加进一个元素，就可使中的一一映射变为非一一映射.无限集合例2 设M=，-3，-2，-1，0，1，2，3，N=0，1，2，3，f是从M到N的对应：xy=|x|.这个对应是不是映射？是不是一一映射？为什么？答：这个对应是映射，因它满足映射的定义；但它不是一一映射，因为M中不同的元素在N中有相同的象.例3 f：RCR(R-)，xy=x2是不是一一映射，为什么？在对应法则不变的情况下，怎样改动一下，就可以使它成
6、为一一映射？解：f：RCR(R-)，xy=x2是映射，但不是一一映射，因为R中的不同元素（如2，-2）在集合CR(R-)中有不同的象（如4）.如果将原象集合R改为CR(R-)，则f：CR(R-)CR(R-)，xy=x2是从CR(R-)到 CR(R-)的一一映射.生活中的例子例4 A=苍梧一中的学生，B=苍梧一中学生的年龄，f：AB，aa的年龄，是不是从A到B的一一映射，为什么？解：不是一一映射，因为不同的学生年龄会相同. 目标检测课本P49练习：3. 已知A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,写出一个A到B上的一一映射.已知A=1,2,3,4,B=1,3,5,7,9,则对应f：AB，xy=2
7、x+1,xA,yB是否是A到B上的一一映射，为什么？若不是，在不改变对应法则的前提下，把它改写成一个A到B上的一一映射.解：图2-1、都是集合A到集合B的映射，其中是A到B上的一一映射. f：AB，xy=2x,xA,yB就是A到B上的一个一一映射. f：AB，xy=2x+1,xA,yB是A到B上的映射，但不是一一映射；只要将集合B中的元素1去掉，其他条件不变，则它就是一个A到B上的一一映射.三、小 结1.一一映射是一种特殊的映射.若一个映射同时满足：A中的不同元素在B中有不同的象；B中任何一个元素在A中都有原象，则这个映射就是一一映射.2. 在映射f：AB中，若象集合CB，则此映射不是一一映射
8、，也就是说，C=B是一一映射的必要条件.3. 如果f：AB是一一映射，那么g：BA是映射.四、布置作业(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念.(二)书面：课本P50习题2.1：3；练习册P24 B组：2.答案：课本P50习题2.1：3：是映射.因为对于左边集合的每一个元素，右边集合都有唯一的元素和它对应；但不是一一映射,因为集合A中不同元素a1，a4有相同的象b1，B中的元素b2在A中没有原象.是映射，理由同第题；是一一映射，因为对于左边集合的不同元素，在右边集合中有不同的象，而且右边集合中每一元素都有原象.不是映射.因为对于左边集合的元素a2，右边集合有两个元素b1，b3和它对应（不唯一）.
9、是映射，理由同第题；但不是一一映射，因为对于集合B的元素b5，在集合A中没有原象.练习册P24 B组2：已知A=R，B=y|yR，且y1,xA，对应法则f：xy=x2-2x+2.问：f：AB是A到B的映射吗？是一一映射吗？若不是，如何改动集合A（集合B和对应法则不变），使之成为一一映射.解：是映射，但不是一一映射，因为y=(x-1)2+1的对称轴是x=1，所以，若将集合A改为x|x1，xR(或x|x1,xR)时，A到B的对应f：xy=x2-2x+2就是一一映射了.(三)思考题：练习册P24 B组3：设A=1,2,3,m,B=4,7,n4,n2+3n,m,nN,aA,bB,“f：ab=pa+q”是从A到B的一一映射，又1的象是4，7的原象是2，试求p,q,m,n的值.解：由14，27得，4=p+q，7=2p+q，解得p=3，q=1；又由f是一一映射，得3n4且mn2+3n，或3n2+3n且mn4,即n4=3p+q=10且n2+3n=mp+q=3m+1，或n2+3n=3p+q=10且n4= mp+q=3m+1，亦即n4=10且n2+3n=3m+1-，或n2+3n=10且n4=3m+1-，m,nN, 无解；解得m=5，n=2.p=3，q=1, m=5，n=2.(四)预习：课本P50-53 2.2函数.
