1、二项分布、随机变量的均值和方差【教学目标】1会求在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率；2理解n次独立重复试验的模型及二项分布的意义，会求其分布列，并能解决一些简单的实际问题；3理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念；4会根据离散型随机变量的分布列求出期望（均值）和方差，并能解决一些实际问题一、知识梳理1独立重复试验一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ，每次试验中P(A)0，这样的试验称为独立重复试验，也称为伯努利试验2独立重复试验的概率计算公式：如果某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式
2、：Pn(k)= pk(1p)nk，k=0，1，2，n3二项分布：若随机变量X的分布列为Pn（X = k）= pk qnk，其中 0 p1，p +q =1， k = 0，1，2，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X B(n，p)4若离散型随机变量X，当X= xi的概率为P(X = xi ) = pi (i=1，2，n)，则称E(X) = x1p1 +x2p2 + +xnpn (其中pi ，i =1，2，n，p1 +p2 +pn = )为随机变量X的均值或数学期望均值也可用表示，它反映了X的 5离散型随机变量的期望的性质：E(aX +b) = 6超几何分布的均值(数学期望)的计算公式：当
3、X H (n，M，N)时，E(X) = 7二项分布的均值(数学期望)的计算公式：当 X B(n，p)时，E(X) = np8离散型随机变量的方差：若离散型随机变量X，当X= xi的概率为P(X = xi) =pi (i= 1，2，n)，则称V(X) = (x1 )2p1 +(x2 )2p2 + +(xn)2pn 为随机变量X的方差，其中pi 0，i =1，2，n，p1 +p2 +pn =1方差也可记为29离散型随机变量的标准差： = 称为X的标准差方差和标准差均反映了随机变量的取值偏离于均值的平均水平 10离散型随机变量的方差的计算公式：V(X) = pi 211离散型随机变量的方差的性质：V
4、(a X +b）=a2V(X) 12超几何分布的方差计算公式：当 XH(n，M，N)时，V(X)= 13二项分布的方差计算公式：当 XB(n，p)时，V(X) = np(1 p)特别地，当n =1时，即为01分布或两点分布14随机变量的期望与方差间的关系：V(X) = E(X2) (E(X)2二、基础训练1一射手对同一目标独立地射击4次，已知每次命中目标的概率为，则恰好命中目标1次的概率是 2掷3颗均匀的骰子，则恰好出现两个6点的概率是 3甲、乙两队进行排球比赛，采用五局三胜制已知每局比赛中甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为，则在甲队以2：0领先的情况下，乙队获胜的概率为 4一射手对同一目标
5、独立地射击四次，已知该射手命中率大于 ，且四次中恰有两次命中的概率为，则此人四次射击中至少命中一次的概率是 5随机变量 B(6，0.5)，那么 P( = 2) = 6设随机变量X的数学期望E(X) =2，方差V(X) = 4，则E(X 2) = 7设15000件中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为 8一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中取出2个球，则其中含有红球个数的数学期望是 9如果是离散型随机变量，若 = 3 +2，那么E() = ，V() = 10一次英语单元测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确的答案每题选择
6、正确得5分，不作出选择或选择错误不得分，满分为100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测验中对每个题都从中随机地选择1个，则学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩的期望分别是 、 三、例题选讲例1某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： 5次预报中恰有4次准确的概率； 5次预报中至少有4次准确的概率例2设一射手平均每射击10次中靶4次，求在5次射击中：（1）恰好击中1次的概率； （2）第二次击中的概率； （3）恰好击中2次的概率；（4）第二、三次击中的概率； （5）至少击中1次的概率例3实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局中谁先赢3局就算
7、胜出，并停止比赛） 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；求按比赛规则，甲获胜的概率例4春节期间，某鲜花店某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为5元若在春节期间没有售完，则节后以每束1.5元处理据以前资料统计，春节期间这种鲜花的需求量X服从以下分布X200300400500p0.200.350.300.15 若以期望收益为标准，该花店今年春节前应进该鲜花多少束为宜？例5甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为 ， 求乙至多击中目标2次的概率； 记甲击中目标的次数为Z，求Z的概率分布及数学期望和标准差例6如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：
8、在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目（I）求的均值；（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率附表： 例7一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。若袋中共有10个球；求白球的个数；从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。 第4课时 二项分布、随机
9、变量的均值和方差课后作业1将一枚硬币边掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现 k +1次正面的概率，则k的值是 2 某人对一目标进行射击，每次的命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少要射击 次3企业正常用水（24小时用水不超过一定量）的概率为 ，在5天内，恰有4天用水正常的概率是 4位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 。5一个盒子中有5个黑球，3个白球，从中有放回地取3次球，记X是这3次取球中取到白球的次数，则X的分布列为 6设随机变量的概率分布如下表，则的
10、数学期望E()的最大值是 012P1 ppp7已知随机变量 B(n，p)，且E() =7，V()= 6，则p= ，n = 8随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若则的值是 9随机地抛掷一枚骰子，则所得的点数的数学期望是 1020件产品中有5件次品，从中不放回逐一抽取8件，取出的次品件数的方差是 11某学生骑自行车上学，从家中到学校的途中有2个交通岗，假如他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，计算：（1）两次都遇到红灯的概率；（2）至少遇到一次红灯的概率 12甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球单循环赛，其中甲选手在与乙、丙、丁三位选手的比赛中获胜的概率分别为、，求：甲在本
11、小组中胜一场的概率；甲在本小组中全胜的概率；甲在本小组中都不胜的概率13一幢楼房共11层，从第二层到第十层中，假设电梯在每一层停与不停是等可能的求：电梯从第二层到第十层中停止次数不少于3次的概率；停多少次的概率最大？ 14在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖1张，可获价值50元的奖品，有二等奖3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张无奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：该顾客中奖的概率；该顾客获得奖品总价值元的概率分布列和期望E()15某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率
