1、3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时过关能力提升一、基础巩固1.(6-2i)-(3i+1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i解析:(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i,故选B.答案:B2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则|z1+z2|=()A.2B.3C.22 D.33解析:z1=-2-i,z2=i,z1+z2=-2.故|z1+z2|=2.故选A.答案:A3.若z1=2+i,z2=3+ai(aR),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析:z1+z2=2+i+3+ai=
2、(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.z1+z2所对应的点在实轴上,1+a=0.a=-1.答案:D4.若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2,z3,且|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则点P为ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析:由|z-z0|的几何意义可知,动点P到三角形三顶点的距离相等,故P为ABC的外心.答案:B5.已知复数z1=cos +i,z2=sin -i,则|z1-z2|的最大值为()A.5B.5C.6D.6解析:z1-z2=(cos -sin )+2i,所以|z1-z2|=(cos-sin)2+4=5-sin2,因此当sin 2=-1时,|z1
3、-z2|取最大值6,故选D.答案:D6. 如图,在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+a2i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,a,bR,则a-b的值为.解析:由复数加法的几何意义,知OB=OA+OC,-2a+3i=2+a2i+(-b+ai)=(2-b)+32ai.根据复数相等的充要条件,得-2a=2-b,3=32a.解得a=2,b=6.a-b=-4.答案:-47.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(mR),若z1-z2=0,则m=.解析:z1-z2=(m2-3m+m2i)-4+(5m+6)i=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0,m
4、2-3m-4=0,m2-5m-6=0,m=-1. 答案:-18.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析:设z=a+bi(a,bR),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,a=0,b+30.又|z|=3,b=3,z=3i.答案:3i9.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(3x+y)-(4y-2x)+(y-4x)+(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i,又因为z=13-2i,且x
5、,yR,所以5x-3y=13,x+4y=-2,解得x=2,y=-1,所以z1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i,z2=4(-1)-22-52+3(-1)i=-8-7i.10.已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2+i,z2=-cos2+icos 2,其中(0,),设AB对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上,求的值.解:(1)点A,B对应的复数分别是z1=sin2+i,z2=-cos2+icos 2,点A,B的坐标分别是A(sin2,1),B(-cos2,cos 2),AB=(-cos2,cos 2)-(sin2,1)=(-cos2-s
6、in2,cos 2-1)=(-1,-2sin2).AB对应的复数z=-1+(-2sin2)i.(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2),将其代入y=12x,得-2sin2=-12,即sin2=14,sin =12.又(0,),sin =12,=6或56.二、能力提升1.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限解析:|z-1|=|z+1|,点Z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等,点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上.答案:B2.已知z=cos 4+isin 4,i为虚数单位,则平面内到点C(1,
7、2)的距离等于|z|的点的轨迹是()A.以点(0,0)为圆心,1为半径的圆B.以点C为圆心,1为半径的圆C.满足方程x2+y2=1的曲线D.满足(x-1)2+(y-2)2=12的曲线解析:|z|=cos24+sin24=1,平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.答案:B3.若复数z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.42D.16解析:由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=
8、3,2x+4y=2x+22y22x+2y=223=42,当且仅当x=2y=32时,2x+4y取得最小值42.答案:C4.设实数x,y,满足以下关系:x+yi=(3+5cos )+(-4+5sin )i,则x2+y2的最大值是.解析:x+yi=(3+5cos )+(-4+5sin )i,x2+y2=(3+5cos )2+(-4+5sin )2=50+30cos -40sin =50+50cos(+),其中sin =45,cos =35.(x2+y2)max=50+50=100.答案:1005.已知|z|=2,则|z+3-4i|的最大值是.解析:由|z|=2知复数z对应的点在圆x2+y2=4上,圆
9、心为O(0,0),半径r=2.而|z+3-4i|=|z-(-3+4i)|表示复数z对应的点与M(-3,4)之间的距离,由于|OM|=5,所以|z+3-4i|的最大值为|OM|+r=5+2=7.答案:76.已知z=a+bi(a,bR),4(a+bi)+2(a-bi)=33+i.若=sin -icos ,则|z-|的取值范围是.解析:4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,6a+2bi=33+i,6a=33,2b=1,a=32,b=12,即z=32+12i.z-=32+12i-(sin -icos )=32-sin+12+cosi,|z-|=32-sin2+12+cos2=2-3sin+cos=
10、2-232sin-12cos=2-2sin-6.-1sin-61,02-2sin-64,0|z-|2.答案:0,27.已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的垂直平分线的方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.解:(1)因为|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=34,所以A,B两点间的距离为34.(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.设z=x+yi(x,yR),将其代入上式,得|(x-1
11、)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.所以线段AB的垂直平分线的方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设复数z=cos A+isin A,且满足|z+1|=1.(1)求复数z;(2)求b-cacos(60+C)的值.分析:第(1)问,把复数z+1的模转化为它对应的复数的模,从而求出角A,进而求出复数z;第(2)问,利用正弦定理把边转化为角,再进行三
12、角恒等变换即可求解.解:(1)z=cos A+isin A,z+1=1+cos A+isin A.|z+1|=(1+cosA)2+sin2A=2+2cosA.|z+1|=1,2+2cos A=1.cos A=-12.角A是ABC的一个内角,A=120.sin A=32.复数z=-12+32i.(2)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(其中R为ABC外接圆的半径),原式=sinB-sinCsinAcos(60+C).B=180-A-C=60-C,原式=sin(60-C)-sinCsin120cos(60+C)=32cosC-32sinC32cos(60+C)=cosC-3sinCcos(60+C)=2cos(60+C)cos(60+C)=2,即b-cacos(60+C)的值为2.
