1、专题五综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内1椭圆1的离心率为()A.B.C. D.解析由题意e.答案D2已知点A(1，2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是()A2 B7C3 D1解析由已知条件可知线段AB的中点在直线x2y20上，代入直线方程解得m3.答案C3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0解析将方程分离参数a可得a(x1)
2、(xy1)0，方程表示过两直线的交点的直线，由得C点为(1,2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案C4若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析在双曲线中离心率e ，可得，故所求的双曲线的渐近线方程是yx.答案B5已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D32解析由题意知，抛物线的焦点坐标为(4,0)，作AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知|AA|AF|，所以在AAK中，|AK|AA|，故KAA45
3、，此时直线AK的倾斜角为45，则直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x中，得y216(y4)，即y216y640，解得y8，所以点A的坐标为(4,8)故AFK的面积为8832.答案D6设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线答案A7焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，
4、若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)解析设AF的中点为C(xc,0)，由题意xca，即a，解得e3.答案D8已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A4 B3C2 D.解析圆C的方程可化为x2(y1)21，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kxy40的距离为，即，解得k2，又k0，所以k2.答案C9直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则
5、弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2C. D4解析直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24.故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.答案C10在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9，则p()A2 B4C6 D8解析依题意得，OFM的外接圆半径为3，OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线x上，圆心到准线x的距离等于3，即有3，由此解得p4，选B.答案B11设斜率为的
6、直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析设椭圆的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，两个交点分别为M，N，如图所示，由题意知M，N，kMN，又直线的斜率为，即2b2ac，(a2c2)ac，e2e0，解得e或.又0e1，e.答案D12已知P为抛物线x24y上一个动点，Q是圆(x4)2y21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是()A5 B8C.1 D.2解析由抛物线定义知，点P到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距
7、离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为1，即1.答案C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上13双曲线1的离心率为，则m等于_解析由双曲线的几何性质得a216，b2m，e，则a4，b，e，故m9.答案914已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则F1AB的周长为_解析由已知可得F1AB的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8.答案815(2014湖南卷)如图，正方形ABCD和正方
8、形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.解析由题可得C，F，则1.答案116(2014洛阳统考)设e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且满足|PO|OF2|，则_.解析由|PO|OF2|OF1|，可知PF1F2为直角三角形，所以|PF1|2|PF2|24c2.又即得aa2c2.又e1，e2，所以.答案三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题10分)已知圆O：x2y24和点M(1，a)(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若
9、a，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|BD|的最大值解(1)由条件知点M在圆O上，所以1a24，解得a.当a时，点M为(1，)，KOM，k切线，此时切线方程为y(x1)，即xy40.当a时，点M为(1，)，KOM，k切线.此时切线方程为y(x1)，即xy40.所以所求的切线方程为xy40或xy40.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d20)则dd|OM|23.于是|AC|2，|BD|2.所以|AC|BD|22.则(|AC|BD|)24(4d4d2)4524(52)因为2d1d2dd3，所以dd，当且仅当d1d2时取等号所以 .所以(|AC|BD|)2440.
10、所以|AC|BD|2.即|AC|BD|的最大值为2.18(本小题12分)设直线l：xym0与抛物线C：y24x交于不同两点A，B，F为抛物线的焦点(1)求ABF的重心G的轨迹方程；(2)如果m2，求ABF的外接圆的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，y24y4m0，0m1且x)(2)若m2，则y24y80，设AB中点为(x0，y0)，y02，x0y0m2m4，那么AB的中垂线方程为xy60，令ABF的外接圆圆心为C(a,6a)，又|AB| |y1y2|4，C到AB的距离为d，|CA|CF|(2)22(a1)2(6a)2a，C点的坐标为，|CF|22
11、2，所求的圆的方程为22.19(2014北京卷)(本小题12分)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x，圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB
12、与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d.又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切20(2014浙江卷)(本小题12分)如图，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.解(1)设直线l的方程为ykxm(k0.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)
13、(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)22(本小题12分)如图，椭圆1(ab0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60.(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2，求的取值范围解(1)依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0，b)时，其倾斜角为60.设F(c,0)，则tan60.将bc代入a2b2c2，解得a2c.所以椭圆的离心率为e.(2)由(1)，椭圆的方程可设为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为yk(xc)，将其代入3x24y212c2，整理得(4k23)x28ck2x4k2c212c20.则x1x2，y1y2k(x1x22c)，G.因为GDAB，所以k1，xD.因为GFDOED，所以99.所以的取值范围是(9，)
