1、第二节空间几何体的表面积与体积【最新考纲】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.空间几何体的表面积与体积公式1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)球的体积之比等于半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是
2、一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.B.C.D.解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2rl，l2r，则圆锥的表面积S表r22r2a，r2，直径2r.答案：C3(2015新课标全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛 C36斛 D66斛解析：设米堆的底面半径为r尺，则r8，所
3、以r.所以米堆的体积为Vr255(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)答案：B4已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为_解析：设球的半径为R，则R3.R，又2Ra，得a.答案：5(2016邯郸质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S20.又棱柱的高为10，所以体积VSh2010200.答案：200一种思想转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法两种方法割
4、补法与等积法1割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决2等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值两个注意点求空间几何体的表面积应注意两点1求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理2底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错A级基础巩固一、选择题1(2014课标全国卷)正三棱柱ABCA1B1
5、C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3B.C1D.解析：因为B1C1BD，所以BD平面AB1C1，点B和D到面AB1C1的距离相等所以VAB1DC1VDAB1C1VBAB1C1VC1ABB12()21.答案：C2(2014湖北卷)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为
6、()A. B. C. D.解析：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长L2r，所以圆锥底面圆的半径r，则圆锥的体积为VShr2hhL2h.又VL2h，所以L2hL2h，解得.答案：B3某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A2 B. C. D3解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底(12)23.Vx33，解得x3.答案：D4正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.解析：如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r.该球的表面积为4r24.答案
7、：A5(2016石家庄调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B C. D2解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的两个半球所以几何体的体积VV柱2V半球212213.答案：A6(2015北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D5解析：作出三棱锥的示意图如图，在ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥SABC中，SC底面ABC，SC1，底面三角形ABC是等腰三角形，ACBC，AB边上的高CD2，ADBD1，斜高SD，ACBC.S表SABCSSACSSBCSSAB222(1)222.答案：C二、填空题7(2015
8、江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析：设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，r27，r.答案：8(2015天津卷)几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积是_m3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2.几何体的体积V1212122.答案：9(2015课标全国卷)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面
9、的面积为，则球O的表面积为_解析：如图，设球O的半径为R，则由AHHB12得HA2RR，OH.截面面积为(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R.S球4R24.答案：三、解答题10(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，
10、EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确)B级能力提升1(2015课标全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256解析：如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面A
11、OB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，则R6.球O的表面积S4R2144.答案：C2(2015四川卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_解析：由三视图易知几何体ABCA1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VPA1MNVA1PMNVAPMN.又SPMNMNNP1，A到平面PMN的距离h，VAPMNSPMNh.答案：3(2016郑州质检)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形(1)解：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形
