1、12. 直线与圆锥曲线的位置关系1.设F1、F2为椭圆的左右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当=_时,四边形PF1QF2的面积最大2. 以双曲线12x24y2=3的焦点为焦点,过直线l:y=x+3上一点P,且长轴最短的椭圆方程是_3. 已知椭圆1(ab0)的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1k2的值为_4. 设点F1、F2分别为椭圆1(ab0)的左、右两焦点,直线l为右准线若在椭圆上存在点M,使MF1,MF2,点M到直线l的距离d成等比数列,则此椭圆离心率e的取值范围是_5. 已知双曲线=1的右焦点
2、是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,=6-4,BAF=150.(1)求双曲线的方程;(2)设Q是双曲线上的点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若+2=0,求直线l的斜率.6. 已知均在椭圆上,直线、分别过椭圆的左右焦点、,当时,有.()求椭圆的方程;()设是椭圆上的任一点,为圆的任一条直径,求的最大值.7. 已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.(1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程;(2)在x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【回顾反思】12直线与圆锥曲线的位置关系1. -22. 3. 设A
3、(x0,y0),B(x0,y0),则1,再设M(x1,y1),则1,所以k1k21e21.4. 因为MFMF1d,且e,所以MF1eMF2.设M(x0,y0),则有aex0e(aex0),解得x0.又因为ax0a,所以1eee2,所以1e1.5. (1)由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)=(-a, b)(c-a,0)=a(a-c)=6-4cosBAF=-=cos150=-.a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.a=,b2=c2-a2=2,故双曲线的方程为.(2)点F的坐标为(2,0).可设直线l的方程为y=k(x-2),令x=0,得y=-2k,即M(0,-2k)设Q(m,n
4、),则由+2=0得(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).即(4-m,2k-n)=(0,0).即,.=1,得k2=,k=.6. 解:(1)因为,所以有所以为直角三角形;则有所以,又,在中有即,解得所求椭圆方程为 (2)从而将求的最大值转化为求的最大值.是椭圆上的任一点,设,则有即又,所以.而,所以当时,取最大值故的最大值为. 7. (1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=,适合.所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使为常数.()当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知x1+x2=-,x1x2=. 所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.将代入,整理得=+m2=+m2=m2+2m-.注意到是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-,此时=.()当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为、,当m=-时,亦有=.综上,在x轴上存在定点M,使为常数.