1、文科数学试题(附中版)(这是边文，请据需要手工删加)炎德英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数学(文科)命题人：洪利民王朝霞钱华本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A48i B82i C2i D4i【解析】复数65i对应的点为A(6，5)，复数23i对应的点为B(2，3)利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2，1)，故点C对应
2、的复数为2i，选C.2设命题p：6m6，命题q：函数f(x)x2mx9(mR)没有零点，则p是q的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】函数f(x)x2mx9(mR)没有零点，则m2360，即6m6，显然，q可以推出p，而p不能推出q，故选B.3点P(a，3)到直线4x3y10的距离等于4，且在2xy30时，f(x)x，则在(2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性相同的是(C)Ayx21 By|x1| Cye|x| Dy【解析】由已知得f(x)在(2，0)上单调递减，所以答案为C.5如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D)A5724
3、B5715C4815 D4824【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积515；圆锥底面圆，Sr29；直四棱柱侧面积，34448，总面积为4824.6已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均与圆C：x2y26x50相切，则该双曲线离心率等于(A)A. B.C. D.【解析】圆C：x2y26x50圆心为C(3，0)，半径为2，由已知C到直线yx的距离为2，可得9a25c2，可得e.故选A.7将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从00
4、1到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A18，12，10 B20，12，8 C17，13，10 D18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为10，被抽到号码l10k3，kN.由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知18110k3295，kN，可得18k29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10.8已知ABC中，A30，AB、BC分别是，的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于(D)A. B. C.或
5、 D.或【解析】由条件AB，BC1，由，得sin C.C60或120，B90或30，SABCABBCsin Bsin B或.故选D.9右图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x16，x29，p8.5时，x3等于(C)A11B10C8D7【解析】x16，x29，|x1x2|32不成立，即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3x1|x3x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离，所以当x37.5时，|x3x1|7.5，不合题意；当x37.5时，|x3x1|7.5，符合题意，故选C.10A(a，1)，
6、B(2，b)，C(4，5)为坐标平面内三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a，b满足的关系式为(A)A4a5b3 B5a4b3C4a5b14 D5a4b14【解析】由与在方向上的投影相同可知：4a585b4a5b3.故选A.11已知直线ymx与函数f(x)的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围为(B)A(，4) B(，) C(，5) D(，2)【解析】做出f(x)的图象，可知m0时，直线ymx与f(x)只有一个交点，不符题意；当m0时ymx与y2(x0)总有一个交点，故ymx与yx21(x0)必有两个交点，即方程x21mx(x0)必有两不等正实根，即方程x22mx20必有解
7、得m(，)，选B.12已知方程x3ax2bxc0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a2b2的取值范围是(D)A(，) B，) C5，) D(5，)【解析】设f(x)3x22axb，由抛物线的离心率为1，知f(1)1abc0故c1ab，所以f(x)(x1)x2(1a)xab1另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g(x)x2(1a)xab1有两个分别属于(0，1)和(1，)的零点故有g(0)0且g(1)0且2ab30，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是_4m2_【解析】因为(x2y)4428，所以m22m8，解得4m2.15如图，在矩形ABCD中
8、，AB3，过点A向BAD所在区域等可能任作一条射线AP，已知事件“射线AP与线段BC有公共点”发生的概率为，则BC边的长为_【解析】因为P，BAD90，则BAC30，所以tan 30.因为AB3，则BC.16函数yf(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是kA，kB，规定(A，B)叫做曲线yf(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”设曲线yexx上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，则(A，B)的取值范围是_【解析】yexx的导数为yex1，kAex11，kBex21，(A，B)，x1x21，可得x1x2，ex1ex2，可令tex1ex2，可
9、设f(t)，t0，f(t)，当0t时，f(t)0，f(t)递增；当t时，f(t)0，f(t)递减则当t处f(t)取得极大值，且为最大值.则(A，B).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数x654321正常值y556372809099(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x(精确到0.01)；(3)根据经验，观测值为正常值的0.851.06为正常，若1.061.12为轻度焦虑，1.121.2
10、0为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中91，.【解析】(1)4分(2)(654321)3.5，(556372809099)76.5， 267.75，8.83，76.58.833.5107.41，所以线性回归方程为y8.83x107.418分(3)x2时，y8.832107.4189.74，1.110)(1)证明：EF平面PBC；(2)是否存在实数，使得异面直线EF与CD所成角为60？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由【解析】(1)作EHAD交PA于点H，连接HF，EHA
11、D，.1分又，FHPB.2分又EHAD，FHHEH，平面EFH平面PBC.4分EF平面EFH，EF平面PBC.6分(2)存在实数，使得异面直线EF与CD所成角为60.7分其理由如下：假设存在实数，使得异面直线EF与CD所成角为60，ABCD，AFE为异面直线EF与CD所成角，AFE60.8分过点E作EQAD交AD于点Q，连接FQ，PAAD，ABAD，设AD1，又，AFDE，AQ，EQ，10分FQ2AF2AQ2，EF2EQ2FQ2，RtFAE中，cosAFEcos 60，.存在实数，使得异面直线EF与CD所成角为60.12分19(本题满分12分)在等差数列中，a3a4a584，a973.(1)求
12、数列的通项公式；(2)对任意mN*，将数列中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列的前m项和Sm.【解析】(1)因为是一个等差数列，a3a4a584，所以a3a4a53a484，即a428，设数列的公差为d，则5da9a4732845，故d9.2分由a4a13d，得28a139，即a11.4分所以ana1(n1)d19(n1)9n8，nN*.6分(2)对mN*，若9man92m，则9m89nb0)的左、右焦点是F1、F2，左右顶点是A1、A2，离心率是，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且F1PQ的周长是4，直线A1P与A2Q交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)
13、()求证直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l上；()N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值【解析】(1)设椭圆的焦距是2c，据题意有：a，c1，则b1，所以椭圆的方程是y21.3分(2)()由(1)知A1(，0)，A2(，0)，F2(1，0)，设直线PQ的方程是xmy1，代入椭圆方程得：(m22)y22my10，易知4m24(m22)8m280，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，则y2y1，5分直线A1P的方程是：y(x)，直线A2Q的方程是：y(x)，7分设M(x，y)，既满足也满足，则x2，故直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l：x2上.10分()设N(2，
14、t)，P(x1，y1)，x1(2，2)，则|PN|2x1，.12分21(本题满分12分)已知函数f(x)x2aln xx(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点(x1k.【解析】(1)f2x1，1分当a时，2x2xa0恒成立，即f0恒成立，故函数f的单增区间为，无单减区间.2分当a02x2xa0，解得：x或x0，函数f的单增区间为，单减区间为.4分当a0时，由f0解得：x或x0，而此时0，函数f的单增区间为，单减区间为.6分(2)证明：f2x1，f1，由题，k1，则fk，8分注意到0，故欲证fk，只须证明.因为a0
15、，故即证ln ln 0，故g在上单调递增所以gg0，即ln t，即：ln k.12分请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22(本题满分10分)选修44：极坐标与参数方程已知曲线C的极坐标方程是24cos10.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|3，求直线的倾斜角的值【解析】(1)由24cos10，得圆C的方程为(x1)2(y)25.4分(2)将代入圆的方程得(tcos 1)2(tsin )25，5分化简得t22tcos 40.6分设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则7分所以|AB|t1t2|3，8分所以4cos 22，cos ，或.10分23(本题满分10分)选修45：不等式选讲(1)设函数f(x)|xa|(a0)证明：f(x)2；(2)若实数x，y，z满足x24y2z23，求证：3【解析】(1)由a0，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.5分(2)x24y2z23，由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2，(当且仅当即xz，y时取“”号)整理得：(x2yz)29，即3.10分
