1、第24章 圆一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1下列说法正确的是（）A三点确定一个圆B一个三角形只有一个外接圆C和半径垂直的直线是圆的切线D三角形的内心到三角形三个顶点距离相等2如图，O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，AOC=84，则E等于（）A42B28C21D203已知如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，CD=6，AE=1，则O的直径为（）A6B8C10D124如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DMCD交AB于点M，CNCD交AB于点NAB=10，CD=6则四边形DMNC的面积（）A等于24B最小为24C等于48D最大为485如图，在半径为5的O中，弦A
2、B=6，OPAB，垂足为点P，则OP的长为（）A3B2.5C4D3.56如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）A4cmB3cmC2cmD1cm7图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A甲先到B点B乙先到B点C甲、乙同时到BD无法确定8在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD10
3、0cm9如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm，则O的周长为（）A5cmB6cmC9cmD8cm10如图，AB是O的弦，点C在圆上，已知OBA=40，则C=（）A40B50C60D80二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD=12如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是13如图，已知BOA=30，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作M点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，M
4、与直线OA的位置关系是14如图，正方形ABCD内接于O，其边长为4，则O的内接正三角形EFG的边长为15已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120，则此扇形的弧长为cm16如图，半圆O的直径AB=2，弦CDAB，COD=90，则图中阴影部分的面积为三、解答题（共8题，共72分）17圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长18在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离19如图，AB和CD分别是O上的两条弦，过点O分别作ONCD于点N，OMAB于点M，
5、若ON=AB，证明：OM=CD20如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成O点为所在O的圆心，点O又恰好在AB为水面处若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE弦CD于点F ）EF为2米求所在O的半径DO21ABC是O的内接三角形，BC=如图，若AC是O的直径，BAC=60，延长BA到点D，使得DA=BA，过点D作直线lBD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和O的位置关系并说明理由22如图直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），点M在线段AB上（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且M的半径为4，试判断直线OB与M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，M与x轴、y轴都相切，切点分
6、别是点E、F，试求出点M的坐标23已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足为F，过点F作FGAB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与O的位置关系并证明；（2）求FG的长24如图，等边ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EFAC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据E与平行四边形EF
7、PC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围第24章 圆参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1下列说法正确的是（）A三点确定一个圆B一个三角形只有一个外接圆C和半径垂直的直线是圆的切线D三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】圆的认识【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误故选B【点评
8、】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了确定圆的条件和切线的判定2如图，O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，AOC=84，则E等于（）A42B28C21D20【考点】圆的认识；等腰三角形的性质【专题】计算题【分析】利用半径相等得到DO=DE，则E=DOE，根据三角形外角性质得1=DOE+E，所以1=2E，同理得到AOC=C+E=3E，然后利用E=AOC进行计算即可【解答】解：连结OD，如图，OB=DE，OB=OD，DO=DE，E=DOE，1=DOE+E，1=2E，而OC=OD，C=1，C=2E，AOC=C+E=3E，
9、E=AOC=84=28故选B【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了等腰三角形的性质3已知如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，CD=6，AE=1，则O的直径为（）A6B8C10D12【考点】垂径定理；勾股定理【分析】连接OC，根据题意OE=OC1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度【解答】解：连接OC，弦CDAB于E，CD=6，AE=1，OE=OC1，CE=3，OC2=（OC1）2+32，OC=5，AB=10故选C【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根
10、据勾股定理求半径OC的长度4如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DMCD交AB于点M，CNCD交AB于点NAB=10，CD=6则四边形DMNC的面积（）A等于24B最小为24C等于48D最大为48【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理【分析】过圆心O作OECD于点E，则OE平分CD，在直角ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OECD即可求得【解答】解：过圆心O作OECD于点E，连接OD则DE=CD=6=3在直角ODE中，OD=AB=10=5，OE=4则S四边形DMNC=OECD=46=24故选A【点评】本题考查了梯形的中位线以及垂径定理，正确作
11、出辅助线是关键5如图，在半径为5的O中，弦AB=6，OPAB，垂足为点P，则OP的长为（）A3B2.5C4D3.5【考点】垂径定理；勾股定理【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案【解答】解：连接OA，ABOP，AP=3，APO=90，又OA=5，OP=4，故选C【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键6如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）A4cmB3cmC2cmD1cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】根据题意可得出AO=5cm，AC=4c
12、m，进而得出CO的长，即可得出答案【解答】解：如图所示：输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，水的最大深度为CD，DOAB，AO=5cm，AC=4cm，CO=3（cm），水的最大深度CD为：2cm故选：C【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据构造出直角三角形是解答此题的关键7图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A甲先到B点B乙先到B点C甲、乙同时到BD无法确定【考点】圆的认识【专题】应用题【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应
13、该是（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点【解答】解：（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点故选C【点评】本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式8在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD100cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进
14、而可得出ME的长【解答】解：连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，直径为200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，OM=60cm，ME=OEOM=10060=40cm故选：A【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm，则O的周长为（）A5cmB6cmC9cmD8cm【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质【分析】如图，连接OD、OC根据圆心角、弧、弦的关系证得AOD是等边三角形，则O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算
15、【解答】解：如图，连接OD、OCAB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm，=，AOD=DOC=BOC=60又OA=OD，AOD是等边三角形，OA=AD=4cm，O的周长=24=8（cm）故选：D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得AOD是等边三角形10如图，AB是O的弦，点C在圆上，已知OBA=40，则C=（）A40B50C60D80【考点】圆周角定理【分析】首先根据等边对等角即可求得OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解【解答】解：OA=OB，OA
16、B=OBA=40，AOB=1804040=100C=AOB=100=50故选B【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理是关键二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD=80【考点】圆周角定理；平行线的性质【分析】根据平行线的性质由ABCD得到C=ABC=40，然后根据圆周角定理求解【解答】解：ABCD，C=ABC=40，BOD=2C=80故答案为80【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半也考查了平行线的性质12如图，在矩形AB
17、CD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3r5【考点】点与圆的位置关系【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆内【解答】解：在直角ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD=5由图可知3r5故答案为：3r5【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系13如图，已知BOA=30，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作M点M在射线
18、OB上运动，当OM=5cm时，M与直线OA的位置关系是相离【考点】直线与圆的位置关系【专题】常规题型【分析】作MHOA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=，则MH大于M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解【解答】解：作MHOA于H，如图，在RtOMH中，HOM=30，MH=OM=，M的半径为2，MH2，M与直线OA的位置关系是相离故答案为相离【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相离dr14如图，正方形ABCD内接于O，其边长为4，则O的内接正三角形EFG的边长为
19、2【考点】正多边形和圆【分析】连接AC、OE、OF，作OMEF于M，先求出圆的半径，在RTOEM中利用30度角的性质即可解决问题【解答】解；连接AC、OE、OF，作OMEF于M，四边形ABCD是正方形，AB=BC=4，ABC=90，AC是直径，AC=4，OE=OF=2，OMEF，EM=MF，EFG是等边三角形，GEF=60，在RTOME中，OE=2，OEM=GEF=30，OM=，EM=OM=，EF=2故答案为2【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型15已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120，则此扇
20、形的弧长为4cm【考点】弧长的计算【分析】在半径是R的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2R，所以n圆心角所对的弧长为l=nR180【解答】解：扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120，扇形的弧长为： =4cm；故答案为：4【点评】本题考查了弧长的计算解答该题需熟记弧长的公式l=16如图，半圆O的直径AB=2，弦CDAB，COD=90，则图中阴影部分的面积为【考点】扇形面积的计算【分析】由CDAB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出SACD=SOCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论【解答】解：弦CDAB，SACD
21、=SOCD，S阴影=S扇形COD=故答案为：【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键三、解答题（共8题，共72分）17圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长【考点】圆锥的计算【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长依此列出方程即可【解答】解：设母线长为x，根据题意得2x2=23，解得x=6故圆锥的母线长为6m【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点18在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将
22、瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离【考点】圆柱的计算【专题】计算题【分析】设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据水的体积不变和圆柱的条件公式得到（）2x=（）218，解得x=12.5，然后把12.5与10进行大小比较即可判断能否完全装下【解答】解：设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据题意得（）2x=（）218，解得x=12.5，12.510，不能完全装下【点评】本题考查了圆柱：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的
23、宽，圆柱的底面周长等于矩形的长；圆柱的侧面积=底面圆的周长高；圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积；圆柱的体积=底面积高19如图，AB和CD分别是O上的两条弦，过点O分别作ONCD于点N，OMAB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角CON中，CN=，ONCD，CD=2CN=2，OMAB，AM=AB=x，在AO
24、M中，OM=，OM=CD【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解20如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成O点为所在O的圆心，点O又恰好在AB为水面处若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE弦CD于点F ）EF为2米求所在O的半径DO【考点】垂径定理的应用；矩形的性质【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论【解答】解：OE弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO2，在RtDFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2
25、=（DO2）2+42，解得：DO=5；答：所在O的半径DO为5m【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握21ABC是O的内接三角形，BC=如图，若AC是O的直径，BAC=60，延长BA到点D，使得DA=BA，过点D作直线lBD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和O的位置关系并说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】作OFl于F，CEl于E，设AD=a，则AB=2AD=2a，只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题【解答】解：图形如图所示，直线l与O相切理由：作OFl于F，CEl于E，AC是直
26、径，ABC=90，lBD，BDE=90，OFl，CEl，ADOFCE，AO=OC，DF=FE，OF=（AD+CE），设AD=a，则AB=2AD=2a，ABC=BDE=CED=90，四边形BDEC是矩形，CE=BD=3a，OF=2a，在RtABC中，ABC=90，ACB=30，AB=2a，AC=4a，OF=OA=2a，直线l是O切线【点评】本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，要证明切线的方法有两种，一是连半径，证垂直，二是作垂直，正半径，此题则是运用第二种方法22如图直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），点M在线段AB上（1）如图1，如果点M是线段
27、AB的中点，且M的半径为4，试判断直线OB与M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6，设M（a，a），把x=a，y=a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可【解答】解：（1）直线OB与M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，点M是线段AB的中点，所以MDAO，MD=4AOB=MDB=90，MDOB，点D在M上，又点D在直线OB上
28、，直线OB与M相切；，（2）解：连接ME，MF，如图2，A（8，0），B（0，6），设直线AB的解析式是y=kx+b，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，M与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，a）（8a0），把x=a，y=a代入y=x+6，得a=a+6，得a=，点M的坐标为（，）【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知O的半径为r，圆心O到直线l的距离是，当d=r时，直线l和O相切23已知等边三角形ABC，AB=12，以A
29、B为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足为F，过点F作FGAB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与O的位置关系并证明；（2）求FG的长【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理【分析】（1）连接OD，证ODF=90即可（2）利用ADF是30的直角三角形可求得AF长，同理可利用FHC中的60的三角函数值可求得FG长【解答】（1）证明：连接OD，以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，B=C=ODB=60，ODAC，DFAC，CFD=ODF=90，即ODDF，OD是以边AB为直径的半圆的半径，DF是圆O的切线；（2）OB=OD=AB=6，且B
30、=60，BD=OB=OD=6，CD=BCBD=ABBD=126=6，在RtCFD中，C=60，CDF=30，CF=CD=6=3，AF=ACCF=123=9，FGAB，FGA=90，FAG=60，FG=AFsin60=【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长24如图，等边ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EFAC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线
31、）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围【考点】点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定【专题】探究型【分析】（1）由平行易得BFE是等边三角形，那么各边是相等的；（2）当点E是BC的中点时，PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；（3）根据各点到圆心的距离作答即可【解答】解：（1）如图，ABC是等边三角
32、形，B=A=C=60又EFAC，BFE=A=60，BEF=C=60，BFE是等边三角形，PE=EB，EF=BE=PE=BF；（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；E是BC的中点，EC=BE，PE=BE，PE=EC，C=60，PEC是等边三角形，PC=EC=PE，EF=BE，EF=PC，又EFCP，四边形EFPC是平行四边形，EC=PC=EF，平行四边形EFPC是菱形；（3）如图所示：当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30=，当0r时，有两个交点；当r=时，有四个交点；当r1时，有六个交点；当r=1时，有三个交点；当r1时，有0个交点【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点注意圆和线段有交点，应根据半径作答
