1、安徽省六安一中、舒城中学、霍邱一中2019-2020学年高二数学上学期第二次段考试题 文（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“若，都是偶数，则是偶数”的否命题与逆否命题的真假为（ ）A. 真，真B. 真，假C. 假，真D. 假，假【答案】C【解析】【分析】先判断原命题的真假,可得到逆否命题的真假,然后写出原命题的否命题,判断真假即可.【详解】偶数之和仍然是偶数,即原命题为真命题,它的逆
2、否命题也为真命题.原命题的否命题为:“若，不都是偶数，则不是偶数”,因为当，都是奇数时，是偶数,所以原命题的否命题是假命题.故选:C.【点睛】本题考查四种命题,考查命题真假的判断,注意原命题和它的逆否命题真假相同,属于基础题.2.椭圆的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程,并判断焦点所在位置,进而求出焦点坐标即可.【详解】椭圆的标准方程为,是焦点在轴上的椭圆,其中,则,故焦点坐标为.故选:C.【点睛】本题考查了椭圆的方程与椭圆的性质,注意焦点所在轴的判断,属于基础题.3.下列函数求导运算错误的个数为（ ）；.A. 1B. 2C. 3D. 4【
3、答案】B【解析】【分析】结合求导法则,对五个函数逐个分析,可求出答案.【详解】由题意,即错误;,正确;,即错误;,正确;,即正确.故错误的有2个.故选:B.【点睛】本题考查函数的导数,熟练运用求导法则,属于基础题.4.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答
4、案】B【解析】【分析】结合题中关系,可得,可求出,再由离心率,可求出答案.【详解】设圆柱的底面半径为,椭圆的长轴为,短轴为,则,即,故离心率.故选:B.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.5.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.【详解】，故答案选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.6.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C.
5、充分必要D. 既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可【详解】解：“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是（ ）A. B. C. 12D. 【答案】A【解析】【分析】将平方,可得到与的关系,再结合余弦定理,可求出的
6、值,进而利用三角形的面积公式可求出答案.【详解】在椭圆中,则,由余弦定理,则,解得.则的面积.故选:A.【点睛】本题考查了焦点三角形的面积,考查了椭圆的性质,考查了余弦定理的应用,考查了学生的推理能力与计算能力,属于基础题.8.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可.【详解】解：由，则，则，又，所以，故选：D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.9.方程化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
7、析】方程表示,点与的距离之和为10,且大于两点间的距离,可知点的轨迹是椭圆,求出方程即可.【详解】设动点,定点,因为,所以,又,则,所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆,其中,故方程为.故选:B.【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了轨迹方程,考查了学生的推理能力,属于基础题.10.设抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为（ ）A. 13B. 11C. 9D. 7【答案】C【解析】【分析】设,若直线的斜率存在,设出方程并与抛物线方程联立,可得到,再由焦半径公式,可得,利用基本不等式可求出最小值,若直线的斜率不存在,求出此时即可,比较两种情况的最小值,即可得到答案.【详解】由题意,设
8、,若直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,联立,即,又,则,当且仅当时,取等号.若直线的斜率不存在,则直线的方程为,则,此时.综上,的最小值为9.故选:C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的交点问题,考查了焦半径公式的应用,考查了一元二次方程及韦达定理的应用,考查了利用基本不等式求最值,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.11.已知圆：，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出图形,设以线段为直径的圆的圆心为,半径为,与圆内切于点,连结,取点,连结,结合几何关系可以推出,从而可得出动点的轨迹是椭圆,求出方程即可.【详
9、解】作出图形,见下图,设以线段为直径的圆的圆心为,半径为,与圆内切于点,则点三点共线,连结,取点,连结.在中,为中位线,即,又,则,因为,所以动点轨迹方程是以为焦点,长轴为8的椭圆,椭圆中,即方程为.故选:C.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查了椭圆的定义的理解,考查了圆与圆的内切的应用,考查了学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.12.已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，若为线段的中点，为坐标原点，连接并延长，交抛物线于点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】,设,易知直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,与抛物线方程联立可得到关于的一元二次
10、方程,并用表示,进而可用表示,结合,可求出答案.【详解】由题意,作出图形,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为.联立,消去整理得,设,则,因为为线段的中点,所以,所以直线的斜率,所以直线的方程为,将代入,可得,所以.故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及中点坐标公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题.第13题第21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题.考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.命题“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】全称命题的
11、否定为特称命题,写出即可.【详解】全称命题的否定为特称命题,故命题的否定为:,.故答案为:,.【点睛】本题考查命题的否定,注意全称命题的否定为特称命题,属于基础题.14.已知是双曲线上一点，是双曲线的左、右焦点，且，则_.【答案】12【解析】【分析】先判断是双曲线左支上一点,结合,可求出答案.【详解】双曲线的焦点在轴,其中,.,即,所以是双曲线左支上一点,则.故答案为:12.【点睛】本题考查了双曲线的性质,利用双曲线的定义是解题的关键,属于基础题.15.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由原命题为假,可知它的否定为真,写出原命题的否定形式,求出对应即可.【详解
12、】原命题为假,它的否定为真,即命题“,使”是真命题,当时,成立;当时,只需,解得.综上,实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】特称命题的否定为全称命题,命题与它的否定真假相反.16.椭圆：的左、右焦点分别是，点在椭圆上，在上，在中，内心为，若，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设点,由,可表示出的坐标,由,可得到点的纵坐标,再由为的内心,结合的面积可得到,进而可求出离心率.【详解】设点,点的纵坐标为.内心为,的内切圆半径为.的面积为,即,整理得,即离心率.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,考查了三角形的面积公式的应用,考查三角形的内心,考查了平面向量平行的性质,考查了转化思
13、想的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知：，：.（1）若，且为真命题，求实数的取值范围；（2）当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）为真命题,可知都为真命题,将代入,解出对应的不等式,进而可求出答案;（2）讨论的大小,可求出对应的不等式,由是的必要不充分条件,可得出对应的不等关系,即可求出的取值范围.【详解】（1）由题意得,:,解得,当时,:,解得.因为为真命题,则,都是真命题,所以,即得.（2）由（1）知:,:,且,则:,若,即,则:或,又是的
14、必要不充分条件,则或,解得;若,即,则:或,又是的必要不充分条件,则或,解得.故实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查不等式的解法,考查充分性与必要性的应用,考查了或且非命题,考查了学生的推理能力,属于中档题.18.若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）过的直线与双曲线的左支交于、两点，求直线斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设双曲线:,将点代入方程,可求出,进而可求出双曲线的方程;（2）通过讨论可知直线的斜率存在,设出直线方程并与双曲线方程联立,得到方程,只需,求解即可.【详解】（1）因为双曲线与双曲线有共同的渐近线,不妨设双曲线
15、:.因为点在上,代入方程解得,所以双曲线的方程为.（2）由（1）知,双曲线的方程为.当直线斜率不存在时,显然直线与双曲线无交点,不合题意,舍去；当直线斜率存在时,设斜率为,则直线的方程，联立,整理得,直线与双曲线的左支交于两点,则，即,解得.所以直线斜率的取值范围是.【点睛】本题考查了共渐近线的双曲线的方程,考查直线与双曲线的交点问题,考查韦达定理的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.设函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求过点的切线方程.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）对函数求导,切线斜率为,切点为,用点斜式可求出切线方程;（2）设切点为,求得在处的切线,
16、然后将代入,可求出,进而可求出切线方程.【详解】（1）由题意得,所以,所以切线方程为，即.（2）设切点为,易得在处的切线为.因为切线过点,则，化简得,即,所以,所以切线方程为，化简得.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查过曲线上一点及曲线外一点求曲线的切线方程,考查了学生的求解能力,属于基础题.20.已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由,并将点代入抛物线方程中,联立可求出,即可;（2）设,由,可得,结合两点都在抛物线上,可求得的值.设直线的方程
17、为,与抛物线方程联立,可得到,从而可求出参数的值,代入直线的方程可知直线恒过定点.【详解】（1）由题意得,解得,因为点在抛物线上,则,解得,又,所以,即拋物线的标准方程为.（2）设,因为,所以,即得,因为点、在抛物线上,所以,代入得,因,则,设直线的方程为,联立,得,则,所以,所以直线的方程为，过定点.【点睛】本题考查了抛物线的方程,考查了抛物线的焦半径的应用,考查了韦达定理的应用,考查直线恒过定点问题,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.21.已知椭圆：的左、右焦点分别是，且，点在椭圆上，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于、两点，求内切圆半径的取值范围.【
18、答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由题可得,且当点在短轴端点时,的面积最大,联立可求得,即可求出椭圆方程;（2）由内切圆的性质可得,设出直线方程与椭圆方程联立,可得到的表达式,进而得到内切圆半径的表达式,求出取值范围即可.【详解】（1）由题意,即,当点在短轴端点时,的面积最大,则,解得,所以,所以椭圆的方程为.（2）由题可知,过的直线斜率不为0,设方程为,的内切圆半径为.联立,得,则,所以,所以.而，所以.令，则，构造函数,求导,当时,即,故函数在时,单调递增,即,所以的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆的方程,考查焦点三角形的面积的应用,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的应用,
19、考查三角形内切圆性质的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）若在上，在上，求的最小值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）,直线的普通方程;（2）【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程,进而化为参数方程,将直线的参数方程化为普通方程即可;（2）由（1）可知曲线是圆,求出圆心到直线
20、的距离,然后减去半径即为所求.【详解】（1）曲线的直角坐标方程为,即,曲线的参数方程为（为参数）.直线的普通方程为，即.（2）由（1）知,曲线是圆心为,半径为1的圆,圆心到直线的距离,.【点睛】本题考查了极坐标方程、普通方程及参数方程间的转化,考查了圆的性质,考查点到直线的距离公式的应用,属于基础题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）或;（2）【解析】【分析】（1）将代入,分类讨论解不等式即可;（2）由不等式性质求出的最小值,令最小值小于2即可.【详解】（1）当时,当时,解得,;当时,显然无解;当时,解得,.综上所述,不等式的解集为或.（2）,当时取等号.若关于不等式的解集不是空集,只需，解得,即实数的取值范围是.【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质,考查了绝对值不等式的解法,考查了学生的推理能力,属于基础题.
