1、第七章 立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到(2)简单多面体的结构特征：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴
2、的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线小题体验1用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选 B D 选项为正视图或者
3、侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选 B.2如图所示，等腰ABC是ABC 的直观图，那么ABC 是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析：选 B 由题图知 ACy轴，ABx轴，由斜二测画法知，在ABC中，ACy 轴，ABx 轴，ACAB.又因为 ACAB，AC2ABAB，ABC 是直角三角形3(教材习题改编)如图，长方体 ABCD-ABCD被截去一部分，其中 EHAD，则剩下的几何体是_，截去的几何体是_答案：五棱柱 三棱柱1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同3对于简单组
4、合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法小题纠偏1沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选 B 给几何体的各顶点标上字母，如图 1.A，E 在侧投影面上的投影重合，C，G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图 2所示，故正确选项为 B.2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选 B 根据选项 A、B、C、D 中的直观图，画出其三视图，只有 B 项正确考点一 空间几何体的结构特征基础送分型考点自主练透题组练透1用任意一个平面截一个几何体，各个截面
5、都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱 B圆锥C球体D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选 C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体2(易错题)下列说法正确的是()A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：选 B A 错，如图(1)；B 正确，如图(2)，其中底面 ABCD 是矩形，可证明PAB，PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错，如图(3)；D 错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点3如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“
6、等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选 B 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故 A，C 正确；且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故 D 正确；B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题 3 个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几
7、何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如“题组练透”第 2 题的 A、C 两项易判断失误；(3)通过反例对结构特征进行辨析考点二 空间几何体的三视图重点保分型考点师生共研典例引领1(2016贵州七校联考)如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的三视图是(用代表图形)()A BCD解析：选 B 正视图应该是边长为 3 和 4 的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图应该是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图应该是边长为 3 和 5 的矩形
8、，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是.2(2015北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1 B 2C 3D2解析：选 C 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD，其中 VB平面 ABCD，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD，易知 BD 2，在 RtVBD中，VD VB2BD2 3.由题悟法几何体画三视图的 2 个关键点(1)三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图在正视图的下边(2)注意实虚线的区别即时应用1(2016临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱 AB
9、C-DEF 截去一个三棱锥 A-BCD，得到几何体 BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()解析：选 C 由于三棱柱为正三棱柱，故平面 ADEB平面 DEF，DEF 是等边三角形，所以 CD 在后侧面上的投影为 AB 的中点与 D 的连线，CD 的投影与底面不垂直，故选C.2(2016南昌一模)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图的面积之比为()A11 B21C23 D32解析：选 A 根据题意，三棱锥 P-BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是
10、三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 11.考点三 空间几何体的直观图重点保分型考点师生共研典例引领(2015福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选 A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2.由题悟法用斜二测画法画直观图的 3 个步骤(1)在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x轴或 y轴平行(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线(3)原图中的曲线段
11、可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出即时应用用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2 B4 2 cm2C8 cm2D8 2 cm2解析：选 C 依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A上面为棱台，下面为棱柱B上面为圆台，下面为棱
12、柱C上面为圆台，下面为圆柱D上面为棱台，下面为圆柱解析：选 C 依题意，题中的几何体上面是圆台，下面是圆柱2某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()解析：选 D 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能3给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是()A0 B1C2 D3解析：选 A 反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体
13、；显然错误，故选 A.4底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为 2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()A2 3B3C 3D4解析：选 A当正视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时 S 侧2 3.5如图，线段 OA 在平面 xOy 中，它与 x 轴的夹角为 45，它的长为 2 2，OA 的直观图 OA的长为_解析：过点 A 作 ABOx 于 B，OA2 2，AOB45，OBAB2，线段 OB 的直观图 OB2，AB1，OBA135.OA22212221cos 135，OA52 2.答案：52 2二保高考，全练题型做到高考达标1(2016衡阳联考)已知底面
14、为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析：选 C 根据三视图的定义可知 A、B、D 均不可能，故选 C.2(2016武汉调研)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()解析：选 A B 的侧视图不对，C 的俯视图不对，D 的正视图不对，排除 B、C、D，A正确3某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥C四面体D三棱柱解析：选 A 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱4(2015北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为()A1 B2C3 D4解析：选 D 由三视图可得该三棱锥的底面是
15、直角边为 2 的等腰直角三角形，一个底边长为 2、底边上的高为 1 的侧面垂直于底面，该侧面是直角边长为 2的直角三角形利用面面垂直的性质定理可得右边一个侧面是边长为 2，2，6的直角三角形，则左边一个侧面的边长为 2，6，2 2的三角形，也是直角三角形，所以该三棱锥表面的 4 个面都是直角三角形5如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6，OC2，则原图形 OABC 的面积为()A24 2B12 2C48 2D20 2解析：选 A 由题意知原图形 OABC 是平行四边形，且 OABC6，设平行四边形OABC 的高为 OE，则 OE12 22 OC，OC2，OE4 2，
16、SOABC64 224 2.6设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：7(2016福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 面积为_解析：因为直观图的面积是原图形面
17、积的 24 倍，且直观图的面积为 1，所以原图形的面积为 2 2.答案：2 28如图，点 O 为正方体 ABCD-ABCD的中心，点 E 为面 BBCC的中心，点 F 为 BC的中点，则空间四边形 DOEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号)解析：空间四边形 DOEF 在正方体的面 DCCD及其对面 ABBA上的正投影是；在面 BCCB及其对面 ADDA上的正投影是；在面 ABCD 及其对面ABCD上的正投影是.答案：9(2016昆明、玉溪统考)如图，三棱锥 V-ABC 的底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且 VAVC，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)
18、视图的面积为_解析：设三棱锥 V-ABC 的底面边长为 a，侧面 VAC 的边 AC 上的高为 h，则 ah43，其侧(左)视图是由底面三角形 ABC 边 AC 上的高与侧面三角形 VAC 边 AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12 32 ah12 32 43 33.答案：3310已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得 BC2 3，侧视图中 VA4223 32 2 3 22 3，SVBC122 32 36.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1用若干块相同的小正方体搭成一个几
19、何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A8 B7C6 D5解析：选 C 画出直观图，共六块2一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的_(填入所有可能的图形前的编号)锐角三角形；直角三角形；四边形；扇形；圆解析：如图 1 所示，直三棱柱 ABE-A1B1E1 符合题设要求，此时俯视图ABE 是锐角三角形；如图 2 所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1 符合题设要求，此时俯视图ABC 是直角三角形；如图 3 所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱 ABCD-A1B1C1
20、D1 符合题设要求，此时俯视图四边形 ABCD 是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有，故排除.答案：3如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为 36 cm2.(2)由侧视图可求得 PD PC2CD2 62626 2.由正视图可知 AD6，且 ADPD，所以在 RtAPD 中，PA PD2AD26 22
21、626 3 cm.第二节空间几何体的表面积与体积1 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧2rlS 圆锥侧rlS 圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积S 侧2S 底VSh锥体(棱锥和圆锥)S 表面积S 侧S 底V13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积S 侧S 上S 下V13(S 上S 下 S上S下)h球S4R2V43R3 小题体验1如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为 4 和 6 的矩形以及直径等于 4 的圆组成，俯视图是直径等于 4 的圆，该几何体的体积是
22、()A413 B623C833D1043解析：选 D 由题意得，此几何体为圆柱与球的组合体，其体积 V43232261043.2一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为()A8 3B6 3C12 D8解析：选 B 设此三棱柱底面边长为 a，高为 h，则由图示知 32 a2 3，a4，12 3 34 42h，h3，侧(左)视图面积为 2 336 3.3(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23 114(教材习题改编)已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，它的
23、表面积为_解析：过 S 作 SDBC，BCa，SD 32 a，SSBC 34 a2，表面积 S4 34 a2 3a2.答案：3a21求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误3易混侧面积与表面积的概念小题纠偏1已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A84 cm3B92 cm3C100 cm3D108 cm3解析：选 C 由三视图的几何体，利用体积公式求解由三视图可得该几何体是棱长分别为 6,3,6 的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为 3,4,4 的三
24、棱锥，所以该几何体的体积是 66313124431088100 cm3.2若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积 S34222242 224612(26)227216 2.答案：7216 2考点一 空间几何体的表面积基础送分型考点自主练透题组练透1(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 2 B112 2C142 2D15解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为 1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 2(4 2)8
25、2 2，两底面的面积和为 2121(12)3，所以该几何体的表面积为 82 23112 2.2(易错题)(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r()A1 B2C4 D8解析：选 B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S124r2r24r2r2r(54)r2.又 S1620，(54)r21620，r24，r2，故选 B.3某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为()A12 5B24 2C24 D12 3解析：选
26、 A 由三视图得，这是一个正四棱台，由条件知斜高 h 2212 5，侧面积 S24 52412 5.谨记通法几何体的表面积 2 种求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积注意衔接部分的处理，如“题组练透”第 2 题考点二 空间几何体的体积重点保分型考点师生共研典例引领1(2015重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A132 B136C73D52解析：选 B 由三视图可知，
27、该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为 1221213121136.2(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A18B17C16D15解析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V1131211116，剩余部分的体积 V2131656.所以V1V2165615，故选 D.由题悟法求解几何体体积的必备策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角
28、形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用1(2016浙江瑞安模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是()A2 B4C6 D12解析：选 B 由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形，高为 2 的四棱锥，所以 V1312242 24.2(2015惠州二调)一个几何体的三视图如图
29、所示，其中俯视图与侧(左)视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的体积是()A16 B14C12 D8解析：选 D 由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分，由于球的半径为 2，所以这个几何体的体积 V3443238.考点三 与球有关的切、接问题常考常新型考点多角探明命题分析与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的外接球；(4)四棱锥(三棱锥)的外接球题点全练角度一：正四面体的内切球1(2016长春模拟)若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积
30、为 S2，则S1S2_.解析：设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 34 a2 3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即 r1463 a 612a，因此内切球表面积为 S24r2a26，则S1S2 3a26a2 6 3.答案：6 3角度二：直三棱柱的外接球2已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A3 172 B2 10C132D3 10解析：选 C 如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点M.又 AM12BC52，OM12AA16，所以球 O 的半径 ROA 522
31、62132.角度三：正方体(长方体)的外接球3(2016九江一模)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，且 AB3，BC 3，过点 D 作 DE 垂直于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 E-ABCD 的体积为_解析：如图所示，BE 过球心 O，DE4232 322，VE-ABCD133 322 3.答案：2 3角度四：四棱锥(三棱锥)的外接球4(2016山西四校联考)在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB2 2，则正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积为()A6 B12C32 D36解析：选 B 如图，由正三棱锥的性质易知
32、 SBAC，结合 AMSB知 SB平面 SAC，所以 SBSA，SBSC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以 SASC，所以正三棱锥 S-ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥 S-ABC 的外接球即为正方体的外接球由 AB2 2，得 SASBSC2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的半径 R 3，所求表面积为 4R212.方法归纳“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上
33、即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径一抓基础，多练小题做到眼疾手快1一个球的表面积是 16，那么这个球的体积为()A163 B323 C16 D24解析：选 B 设球的半径为 R，则表面积是 16，即 4R216，解得 R2.所以体积为43R3323.2一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A203 B403C20 D40解析：选 B 由几何体的三视图可知该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示其体积为1312(14)44403.3在三角形 ABC 中，AB3，BC4，ABC90，若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体
34、的侧面积为()A15 B20C30 D40解析：选 A 依题意知几何体为底面半径为 3，母线长为 5 的圆锥，所得几何体的侧面积等于 3515.4棱长为 a 的正方体有一内切球，该球的表面积为_解析：由题意知球的直径 2Ra，Ra2.S4R24a24 a2.答案：a25已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，该几何体的体积为V1，直径为 4 的球的体积为 V2，则 V1V2_.解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此 V1883 163，V243 23323，V1V212.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3
35、 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6C5 D3解析：选 A 设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r.由 S(r3r)384，解得 r7.2(2015云南师大附中)如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是()A9 B10C12 D18解析：选 A 由三视图还原出几何体的直观图如图，SD平面ABCD，AB 与 DC 平行，AB2，DC4，AD3，SD3，所求体积 V1312(24)339.3已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为 6时，其高的值为()A3 3B 3C2 6D2 3解析：选 D 设正六棱柱
36、的高为 h，则可得(6)2h24 32，解得 h2 3.4(2015陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34解析：选 D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为 22212121243.5(2015浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3B12 cm3C323 cm3D403 cm3解析：选 C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为 2 cm 的正方体，体积 V12228(cm3)；上面是底面边长为 2 cm，高为 2 cm 的正四棱锥，体积
37、V21322283(cm3)，所以该几何体的体积 VV1V2323(cm3)6某几何体的三视图如图所示，则其体积为_解析：易知原几何体是底面圆半径为 1，高为 2 的圆锥体的一半，故所求体积为 V1213(12)23.答案：37(2015天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高为 2，故所求几何体的体积为V13121212283.答案：838(2016唐山一模)在半径为 2 的球面上有不同的四点 A，B，C，D，若 ABACAD2，则平面
38、BCD 被球所截得图形的面积为_解析：过点 A 向平面 BCD 作垂线，垂足为 M，则 M 是BCD 的外心，而外接球球心 O 位于直线 AM 上，连接 BM，设BCD 所在截面圆半径为r，OAOB2AB，BAO60，在 RtABM 中，r2sin 60 3，所求面积 Sr23.答案：39(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析：设新的底面半径为 r，由题意得1352422813r24r28，r27，r 7.答案：710(20
39、16安徽六校联考)如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积解：法一：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为12，直三棱柱柱高为 1，AG12 122 32，取 AD 中点 M，则 MG 22，SAGD121 22 24，V 24 1213 24 12 23.法二：如图所示，取 EF 的中点 P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥 P-AED 和三棱锥 P-BCF 都是棱长为 1 的正
40、四面体，四棱锥 P-ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥V1312 22 213 34 63 23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016太原一模)如图，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD 2，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 A-BCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 A-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A3 B 32 C4 D 34 解析：选 A 由图示可得 BDAC 2，BC 3，DBC 与ABC 都是以 BC为斜边的直角三角形，由此可得 BC 中点到四个点 A，B，C，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为 3，所以该外接球的表面积 S4
41、3223.2(2015南京二模)一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当 x6 cm 时，该容器的容积为_cm3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm 为边长的正方形，侧面的斜高 PM5 cm，高 PO PM2OM252324 cm，所以所求容积为 V1362448(cm3)答案：483如图，在三棱锥 D-ABC 中，已知 BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥 D-ABC 的体积的最大值解：由题意知，线段 ABBD 与
42、线段 ACCD 的长度是定值，因为棱AD 与棱 BC 相互垂直设 d 为 AD 到 BC 的距离则 VD-ABCADBCd12132d，当 d 最大时，VD-ABC 体积最大，ABBDACCD10，当 ABBDACCD5 时，d 有最大值 421 15.此时 V2 15.第三节空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直线
43、平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：0，2.(3)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况小题体验1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A4 个 B3 个C2 个D1 个解析：选 A 首尾
44、相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2(教材习题改编)设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：3(教材习题改编)给出命题若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中不正确的命题的个数为_答案：21异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平
45、面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”小题纠偏1(2016江西七校联考)已知直线 a 和平面，l，a，a，且 a 在，内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面解析：选 D 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面2若直线 ab，且直线 a平面，则直线 b 与平面 的位置关系是()Ab BbCb 或 bDb 与 相交或 b 或 b解析：选 D b 与 相交或 b 或 b 都可以考点一 平面的基本性质及应用基础送分型考点自主练透题组练透1(易错题)(2016上海闵行区期末调研)已知 A，B，C，D
46、 是空间四点，命题甲：A，B，C，D 四点不共面，命题乙：直线 AC 和 BD 不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 A，B，C，D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD不相交；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行时，A，B，C，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件2如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AA1 的中点求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点证明：(1)如图，连接 EF，CD1，
47、A1B.E，F 分别是 AB，AA1 的中点，EFA1B.又 A1BCD1，EFCD1，E，C，D1，F 四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA.CE，D1F，DA 三线共点谨记通法1点线共面问题证明的 2 种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面，重合2证明多线共点问题的 2 个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(
48、2)再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明如“题组练透”第 2 题中第(2)问考点二 空间两直线的位置关系重点保分型考点师生共研典例引领(2015广东高考)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交解析：选 D 由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有一条与 l相交由
49、题悟法 即时应用1已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：若 ab，ac，则 bc；若 ab，ac，则 bc；若 ab，bc，则 ac.其中正确的个数为()A0 B1C2 D3解析：选 B 法一：在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确2在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG
50、，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以在图中，GH 与 MN 异面答案：考点三 异面直线所成角题点多变型考点纵引横联典型母题如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为()A15 B25C35D45解析 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接 A1C1，由 AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1 5522 5 545.则异面直线 A1
51、B 与 AD1 所成角的余弦值为45.答案 D类题通法用平移法求异面直线所成的角的 3 步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 越变越明变式 1 将母题条件“AA12AB2”改为“AB1，若平面 ABCD 内有且仅有一点到顶点 A1 的距离为 1”，问题不变解：由平面 ABCD 内有且仅有一点到 A1 的距离为 1，则 AA11.此时正四棱柱变为正方体 ABCD-A1B1C1D1，由图知 A1B 与 AD1 所
52、成角为A1BC1，连接 A1C1.则A1BC1 为等边三边形，A1BC160，cosA1BC112，故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为12.变式 2 将母题条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 910”，试求：AA1AB 的值解：设AA1AB t，则 AA1tAB.AB1，AA1t，A1C1 2，A1B t21BC1，cosA1BC1 t21t2122 t21 t21 910，t3，即AA1AB 3.变式 3 将母题条件“AA12AB2”改为“AB1，且平面 ABCD 内有且仅有一点到顶点 A1 的距离为 1”，则是否存在过顶点 A
53、 的直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由解：由条件知，此时正四棱柱为正方体如图，连接对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等，联想正方体的其他体对角线如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1所成的角都相等，因为 BB1AA1，BCAD.体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等同理体对角线 A1C，DB1 也与棱AB，AD，AA1 所成角都相等，故过 A 作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足，故这样的直线可以作 4 条解决本题的关键有两点：(1)抓住体对角线与共点的三条棱成等
54、角(2)充分利用异面直线所成角的定义 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1“点 P 在直线 m 上，m 在平面 内”可表示为()APm，m BPm，mCPm，mDPm，m解析：选 B 点在直线上用“”，直线在平面上用“”，故选 B.2空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8，所成的角为 45，连接各边中点所得四边形的面积是()A6 2B12C12 2D24 2解析：选 A 如图，已知空间四边形 ABCD，对角线 AC6，BD8，易证四边形 EFGH 为平行四边形，EFG 或FGH 为 AC 与 BD 所成的45角，故 S 四边形 EFGH34sin 456 2，故选 A.3若直线上有两个点在平面外
55、，则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析：选 D 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内4如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有_条解析：依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1平行有棱 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD，C1D1.故符合条件的有 5 条答案：5破译玄机 5(2016济南一模)
56、在正四棱锥 V-ABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，侧棱长为2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_解析：如图，设 ACBDO，连接 VO，因为四棱锥 V-ABCD 是正四棱锥，所以 VO平面 ABCD，故 BDVO.又四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，又 VOACO，所以 BD平面 VAC，所以 BDVA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形D正方形解析：选 B 顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间
57、四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形2(2016浙江金丽衢十二校二联)已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a平面，b平面，c.若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交；若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；若 ab，则必有 ac；若 ab，ac，则必有.其中正确的命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选 C 中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交，故正确；中平面 平面 时，若 bc，则 b平面，此时不论 a，c 是否垂直，均有 ab，故错误；中当 ab 时，则 a
58、平面，由线面平行的性质定理可得 ac，故正确；中若 bc，则 ab，ac 时，a 与平面 不一定垂直，此时平面 与平面 也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是 2.3(2016福州质检)已知命题 p：a，b 为异面直线，命题 q：直线 a，b 不相交，则 p 是q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 若直线 a，b 不相交，则 a，b 平行或异面，所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.4如图，ABCD-A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是()AA，M，
59、O 三点共线BA，M，O，A1 不共面CA，M，C，O 不共面DB，B1，O，M 共面解析：选 A 连接 A1C1，AC，则 A1C1AC，所以 A1，C1，C，A四点共面，所以 A1C 平面 ACC1A1，因为 MA1C，所以 M平面ACC1A1，又 M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，所以 A，M，O 三点共线5已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于()A23B 33C 23D13解析：选 A 如图所示，因为 BD平
60、面 ACC1A1，所以平面 ACC1A1平面 BDC1.在 RtCC1O 中，过 C 作 CHC1O 于 H，连接 DH，则CDH即为所求令 ABa，显然 CHCOCC1C1O22 a2a4a222 a 22a292a23a，所以 sinCDH23aa 23，即 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值为23.6如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 E
61、F 相交，CD与 GH 相交，CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对答案：37(2016福建六校联考)设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面，b平面，则 a，b 一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理 4 知正确；当 ab，bc 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个
62、平面内”，故错答案：8(2015浙江高考)如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK.M 为 AD 的中点，MKAN，KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 ANDNCM2 2，MK 2.在 RtCKN 中，CK 2212 3.在CKM 中，由余弦定理，得cosKMC 222 22 322 22 278.答案：789已知 A 是BCD 所在平面外的一
63、点，E，F 分别是 BC，AD 的中点，(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 ACBD，ACBD，求 EF 与 BD 所成的角解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A，B，C，D 在同一平面内，这与 A 是BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 EGBD，所以相交直线 EF与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角在 RtEGF 中，由 EGFG12AC，求得FEG45，即异面直线 EF
64、与 BD 所成的角为 45.10如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点已知BAC2，AB2，AC2 3，PA2.求：(1)三棱锥 P-ABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解：(1)SABC1222 32 3，故三棱锥 P-ABC 的体积为V13SABCPA132 324 33.(2)如图所示，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 DEBC，所以ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在ADE 中，DE2，AE 2，AD2，则 cosADEDE 2AD 2AE22DEAD22222222 34.即异面直线 BC 与
65、 AD 所成角的余弦值为34.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN成 60角，DEMN.答案：2如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A底面 ABC，点 E，F 分别是棱 CC1，BB1 上的点，点 M 是线段 AC 上的动点，EC
66、2FB2.(1)当点 M 在何位置时，BM平面 AEF?(2)若 BM平面 AEF，判断 BM 与 EF 的位置关系，说明理由；并求 BM 与 EF 所成的角的余弦值解：(1)法一：如图(1)所示，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OMAC 于点 M.因为侧棱 A1A底面 ABC，所以侧面 A1ACC1底面 ABC.又因为 EC2FB2，所以 OMFBEC 且 OM12ECFB，所以四边形 OMBF 为矩形，BMOF.因为 OF平面 AEF，BM平面 AEF，故 BM平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点法二：如图(2)所示，取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接 PQ
67、，PB，BQ.因为 EC2FB2，所以 PE 綊 BF，所以 PQAE，PBEF，所以 PQ平面 AFE，PB平面 AEF，因为 PBPQP，PB，PQ 平面 PBQ，所以平面 PBQ平面 AEF.又因为 BQ平面 PBQ，所以 BQ平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点(2)由(1)知，BM 与 EF 异面，OFE(或MBP)就是异面直线 BM 与 EF 所成的角或其补角易求 AFEF 5，MBOF 3，OFAE，所以 cosOFEOFEF 35 155，所以 BM 与 EF 所成的角的余弦值为 155.第四节直线、平面平行的判定及其性质1直线与平面平行的判定
68、定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab小题体验1下列说法中正确的是()一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面
69、内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线 l 和平面 平行，那么过平面 内一点和直线 l 平行的直线在 内A BCD解析：选 D 由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面2(教材习题改编)已知平面 平面，直线 a，有下列命题：a 与 内的所有直线平行；a 与 内无数条直线平行；a 与 内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案：3(教材习题改编)如图所示，在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD
70、 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_解析：连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连接 BN，并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E，F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，连接 MN，由EMMAENNB12，得 MNAB.因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD.答案：平面 ABC、平面 ABD1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交小题纠偏1直线 m，n 均不在平面，内，给出下列命题：若 mn，n，则 m；若 m，则 m
71、；若 mn，n，则 m；若 m，则 m.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选 D 因为直线 m，n 均不在平面，内，所以若 mn，n，则 m，正确；若 m，则 m，正确；若 mn，n，则 m，正确；若 m，则 m，正确所以其中正确命题的个数是 4.2下列命题中，错误的是()A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面 不垂直平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D若直线 l 不平行平面，则在平面 内不存在与 l 平行的直线解析：选 D A 中，如果已知直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管
72、哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故 A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面 内有一条直线垂直于平面，则平面 垂直于平面(这是面面垂直的判定定理)，故 C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面，可能有 l，则 内有无数条直线与 l 平行考点一 平行关系的基本问题基础送分型考点自主练透题组练透1(易错题)已知直线 a与直线 b平行，直线 a与平面 平行，则直线 b与 的关系为()A平行 B相交C直线 b 在平面 内D平行或直线 b 在平面 内解析：选 D 依题意，直线 a 必与平面 内的某直线平行，又 ab，因此直线 b 与平面 的位
73、置关系是平行或直线 b 在平面 内2(2015安徽高考)已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：选 D 法一：A 项，可能相交，故错误；B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m，n，mn，则 m，故错误；D 项，假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 mn，所以原命题正确，故 D 项正确法二：构造正方体，可结合选项逐一排除验证3(2015
74、乌鲁木齐二诊)已知直线 l，m，其中只有 m 在平面 内，则“l”是“lm”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B 若 l，则 l 与 内的直线平行或异面；若 lm，l 不在平面 内，则 l，所以“l”是“lm”的必要不充分条件谨记通法解决平行关系基本问题的 3 个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视，如“题组练透”第 1 题(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确考点二 直线与平面平行的判定与性质题点多变型考点纵引横联典型母题(2015南通模拟)如图所示
75、，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的中点(1)证明：AD1平面 BDC1.(2)证明：BD平面 AB1D1.证明(1)D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，四边形 ACC1A1为平行四边形，C1D1 綊 DA，四边形 ADC1D1 为平行四边形，AD1C1D，又 AD1平面 BDC1，C1D平面 BDC1，AD1平面 BDC1.(2)连接 D1D，BB1平面 ACC1A1，BB1平面 BB1D1D，平面 ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D，又 D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，BB1DD1，故四边形 BDD1B1 为
76、平行四边形，BDB1D1，又 BD平面 AB1D1，B1D1平面 AB1D1，BD平面 AB1D1.类题通法证明直线与平面平行的 3 种方法(1)定义法：一般用反证法；(2)判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面 越变越明变式 1 将母题条件“D1，D 分别为 A1C1，AC 上的中点”变为“D1，D 分别为 A1C1，AC 上的点”在线段 A1C1 上确定点 D1 使得 BC1平面 AB1D1?解：如图，取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时A1D1D1C11
77、，连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1，由棱柱的性质知四边形 A1ABB1 为平行四边形，O 为 A1B 的中点在A1BC1 中，点 O，D1 分别为 A1B，A1C1 的中点，OD1BC1，又 OD1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1当A1D1D1C11 时，BC1平面 AB1D1.破译玄机 在线段上探索点的位置确定位置关系时，一般是先猜线段的中点或某一个三等分点，然后给出证明但要注意条件中给出的已知点的位置或线段的比例值的应用 变式 2 将母题条件“D，D1 分别为 AC，A1C1 上的中点”变为“D，D1 分别为 AC，A1C1 上的点且平面 B
78、C1D平面 AB1D1”，试求ADDC的值解：连接 A1B 交 AB1 于点 O，由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC1，平面 A1BC1平面 AB1D1D1O 得BC1D1O，A1D1D1C1A1OOB.同理得 DC1AD1，又D1C1AD，四边形 ADC1D1 为平行四边形，D1C1AD.A1D1D1C1DCAD，A1OOB 1，DCAD1，即ADDC1.考点三 平面与平面平行的判定与性质重点保分型考点师生共研典例引领(2016衡水模拟)如图所示的几何体 ABCDFE 中，ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正
79、方形，且所在平面垂直于平面 ABC.(1)求几何体 ABCDFE 的体积；(2)证明：平面 ADE平面 BCF.解：(1)取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，连接 AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面 ABC，平面 BCED平面 ABC，AO平面 BCED.同理 FG平面 BCED.AOFG 3，VABCDFE134 328 33.(2)证明：由(1)知 AOFG，AOFG，四边形 AOFG 为平行四边形，AGOF.又DEBC，DEAGG，DE平面 ADE，AG平面 ADE，FOBCO，FO平面 BCF，BC平面 BCF，平面 ADE平面 BCF.由题悟法判定平面与平面平行的 5 种
80、方法(1)利用定义；(2)利用面面平行的判定定理；(3)利用面面平行的判定定理的推论；(4)面面平行的传递性(，)；(5)利用线面垂直的性质(l，l)即时应用(2015四川高考改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论解：(1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCD-EFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG，又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边
81、形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBGB，所以平面 BEG平面 ACH.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设，是两个不同的平面，m，n 是平面 内的两条不同直线，l1，l2 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是()Aml1 且 nl2 Bm 且 nl2Cm 且 nDm 且 l1解析：选 A 由 ml1，m，l1，得 l1，同理 l2，又 l1，l2 相交，所以，反之不成立，所以 ml1 且 nl2 是 的一个充分不必要条件2设 m，n 是不同的直线，是不同的平面，且 m，n，则“”是“m且 n”的(
82、)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 m，n，则 m 且 n；反之若 m，n，m 且 n，则 与 相交或平行，即“”是“m 且 n”的充分不必要条件3下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是()ABCD解析：选 C 对于图形，平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行，即可得到 AB平面MNP；对于图形，ABPN，即可得到 AB平面 MNP；图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行4若平面 平面，直线 a平面，点 B，则在平面 内且过 B 点的所有直线中()A不一
83、定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一与 a 平行的直线解析：选 A 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.5在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设Q 是 CC1 上的点，则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO.解析：如图所示，假设 Q 为 CC1 的中点，因为 P 为 DD1 的中点，所以 QBPA.连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点，所以 D1BPO，又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，所以 D1B平
84、面 PAO，QB平面 PAO，又 D1BQBB，所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO.答案：Q 为 CC1 的中点二保高考，全练题型做到高考达标1已知直线 a，b，平面，则以下三个命题：若 ab，b，则 a；若 ab，a，则 b；若 a，b，则 ab.其中真命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选 A 对于，若 ab，b，则应有 a 或 a，所以是假命题；对于，若 ab，a，则应有 b 或 b，因此是假命题；对于，若 a，b，则应有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此是假命题综上，在空间中，以上三个命题都
85、是假命题2(2016福州模拟)已知直线 a，b 异面，给出以下命题：一定存在平行于 a 的平面 使 b；一定存在平行于 a 的平面 使 b；一定存在平行于 a 的平面 使 b；一定存在无数个平行于 a 的平面 与 b 交于一定点则其中论断正确的是()ABCD解析：选 D 对于，若存在平面 使得 b，则有 ba，而直线 a，b 未必垂直，因此不正确；对于，注意到过直线 a，b 外一点 M 分别引直线 a，b 的平行线 a1，b1，显然由直线 a1，b1 可确定平面，此时平面 与直线 a，b 均平行，因此正确；对于，注意到过直线 b 上的一点 B 作直线 a2 与直线 a 平行，显然由直线 b 与
86、 a2 可确定平面，此时平面 与直线 a 平行，且 b，因此正确；对于，在直线 b 上取一定点 N，过点 N作直线 c 与直线 a 平行，经过直线 c 的平面(除由直线 a 与 c 所确定的平面及直线 c 与 b 所确定的平面之外)均与直线 a 平行，且与直线 b 相交于一定点 N，因此正确综上所述，正确3平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线 a，a，aB存在一条直线 a，a，aC存在两条平行直线 a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b解析：选 D 若 l，al，a，a，则 a，a，故排除 A.若 l，a，al，则 a，故排除 B.若 l，a，al，b，bl
87、，则 a，b，故排除 C.故选 D.4(2016襄阳模拟)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列说法错误的是()AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1 平行解析：选 D 如图所示，连接 C1D，BD，则 MNBD，而 C1CBD，故 C1CMN，故 A、C 正确，D 错误，又因为 ACBD，所以 MNAC，B 正确5(2015云南模拟)在三棱锥 S-ABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA交于 D，E，F，H，D，E 分
88、别是 AB，BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为()A452B45 32C45 D45 3解析：选 A 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，则 SBHD.同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊12AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为平行四边形又 ACSB，SBHD，DEAC，所以 DEHD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 SHFHD1
89、2AC 12SB 452.6，是三个平面，a，b 是两条直线，有下列三个条件：，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(填上你认为正确的所有序号)解析：，a，bab(面面平行的性质)如图所示，在正方体中，a，b，a，b，而 a，b 异面，故错b，b，aab(线面平行的性质)答案：7正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1 cm，过 AC 作平行于对角线 BD1 的截面，则截面面积为_cm2.解析：如图所示，截面 ACEBD1，平面 BDD1平面 ACEEF，其中 F 为 AC 与 BD的交点，E 为 DD1 的中点，SACE12 2
90、 32 64(cm2)答案：648过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有_条解析：过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，记 AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为 E，F，E1，F1，则直线 EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1 均与平面 ABB1A1平行，故符合题意的直线共有 6 条答案：69如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，ABBC，D 为 AC 的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面 BC1D；(2)设 BC3，求四棱锥 B-DAA1C1 的体积解：(
91、1)证明：连接 B1C，设 B1C 与 BC1 相交于点 O，连接 OD，如图所示四边形 BCC1B1 是平行四边形，点 O 为 B1C 的中点D 为 AC 的中点，OD 为AB1C 的中位线，ODAB1.OD平面 BC1D，AB1平面 BC1D，AB1平面 BC1D.(2)AA1平面 ABC，AA1平面 AA1C1C，平面 ABC平面 AA1C1C.平面 ABC平面 AA1C1CAC，连接 A1B，作 BEAC，垂足为 E，则 BE平面 AA1C1C.ABAA12，BC3，ABBC，在 RtABC 中，AC AB2BC2 49 13，BEABBCAC 613，四棱锥 B-AA1C1D 的体积
92、 V1312(A1C1AD)AA1BE1632 132 6133.10(2016云南名校联考)如图，AB 为圆 O 的直径，点 E，F在圆 O 上，且 ABEF，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，且 ADEFAF1，AB2.(1)求证：平面 AFC平面 CBF；(2)在线段 CF 上是否存在一点 M，使得 OM平面 DAF？并说明理由解：(1)证明：平面 ABCD平面 ABEF，CBAB，平面 ABCD平面 ABEFAB，CB平面 ABEF，AF平面 ABEF，AFCB，又AB 为圆 O 的直径，AFBF，CBBFB，AF平面 CBF.AF平面 AFC，平面 AFC平面
93、CBF.(2)取 CF 中点记作 M，设 DF 的中点为 N，连接 AN，MN，则 MN 綊12CD，又 AO 綊12CD，则 MN 綊 AO，MNAO 为平行四边形，OMAN，又 AN平面 DAF，OM平面 DAF，OM平面 DAF.即存在一点 M 为 CF 的中点，使得 OM平面 DAF.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016揭阳一模)设平面，直线 a，b，a，b，则“a，b”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B 由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 a，b 是平面 内两条相交直线，且有“a，b”，则有“”；当“”，若 a，b，则有
94、“a，b”，因此“a，b”是“”的必要不充分条件2如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAAC，ABBC.设 D，E 分别为 PA，AC 的中点(1)求证：DE平面 PBC.(2)在线段 AB 上是否存在点 F，使得过三点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由解：(1)证明：点 E 是 AC 中点，点 D 是 PA 的中点，DEPC.又DE平面 PBC，PC平面 PBC，DE平面 PBC.(2)当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行取 AB
95、的中点 F，连接 EF，DF.由(1)可知 DE平面 PBC.点 E 是 AC 中点，点 F 是 AB 的中点，EFBC.又EF平面 PBC，BC平面 PBC，EF平面 PBC.又DEEFE，平面 DEF平面 PBC.平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行故当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC平行第五节直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个
96、平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab ab2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直ll 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lalal小题体验1已知在空间四边形 ABCD 中，ADBC，ADBD，且BCD 是锐角三角形，则必有()A平面 ABD平面 ADCB平面 ABD平面 ABCC平面 ADC平面 BDCD平面 ABC平面 BDC解析：选 C ADBC，ADBD，BCBDB，AD平面 BDC，又 AD平面ADC，平面
97、 ADC平面 BDC.2若 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若 m，则 mB若 m，n，mn，则 C若 m，m，则 D若，则 解析：选 C A 中 m 与 的位置关系不确定，故错误；B 中，可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知 C 正确；D 中，平行或相交，故错误3(教材习题改编)PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于 PD平面 ABCD，故平面 PAD平面 ABCD，平面 PDB平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，平面 PDA平面 PDC，平面 PAC平面 PD
98、B，平面 PAB平面 PAD,平面 PBC平面 PDC，共 7 对答案：71证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误小题纠偏1“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B 根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件2下列说法中，错误的是()A如果平面
99、平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面，平面 平面，l，那么 l平面 D如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选 D A 项显然正确根据面面垂直的判定，B 项正确对于选项 C，设 m，n，在平面 内取一点 P 不在 l 上，过 P 作直线 a，b，使 am，bn.，am，a，al，同理有 bl，又 abP，a，b，l，故选项 C 正确对于选项 D，设 l，则 l，但 l，故在 内存在直线不垂直于平面，即选项 D 错误考点一 直线与平面垂直的判定与性质基础送分型考点自主练透题组练透1(易错题)(
100、2016上海六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线，和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是()A 且 m B 且 mCmn 且 nDmn 且 解析：选 C 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确2(2016武汉调研)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC平面 BDE.(1)证明：BD平面 PAC；(2)若 PA1，AD2，求三棱锥 E-BCD 的体积解：(1)证明：PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD.PC平面 BDE，BD平面 BDE，PCBD.又PAPCP，B
101、D平面 PAC.(2)如图所示，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.PC平面 BDE，PCOE.由(1)知，BD平面 PAC，BDAC，由题设条件知，四边形 ABCD 为正方形由 AD2，得 ACBD2 2，OC 2.在 RtPAC 中，PC PA2AC2122 223.易知 RtPACRtOEC，OEPACEACOCPC，即OE1 CE2 2 23，OE 23，CE43.VE-BCD13SCEOBD1312OECEBD16 23 432 2 827.谨记通法直线和平面垂直判定的 4 种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(ab，ab)，如“题组练透”第 1 题中选项 C
102、；(3)利用面面平行的性质(a，a)；(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面考点二 面面垂直的判定与性质重点保分型考点师生共研典例引领(2015全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE.又 BDBEB，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED
103、.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC 32 x，GBGDx2.因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG 32 x.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE 22 x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积V 三棱锥 E-ACD1312ACGDBE 624x3 63，故 x2.从而可得 AEECED 6.所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 32 5.由题悟法面面垂直判定的 2 种方法与 1 个转化(1)2 种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)1 个转
104、化：在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直即时应用(2015长春一调)如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A，B 的点，矩形 ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面(1)求证：EAEC.(2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F.求证：EFAB.证明：(1)E 是半圆上异于 A，B 的点，AEEB.又平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，CBAB，CB平面ABE.又AE平面 ABE，CBAE.BCBEB，AE平面 CBE.又EC平面 CBE，AEEC.(2)CDAB，AB平面 ABE，
105、CD平面 ABE.又平面 CDE平面 ABEEF，CDEF.又CDAB，EFAB.考点三 平行与垂直的综合问题常考常新型考点多角探明命题分析空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点常见的命题角度有：(1)证明多面体中的平行与垂直关系；(2)探索性问题中的平行与垂直问题；(3)折叠问题中的平行与垂直问题题点全练角度一：证明多面体中的平行与垂直关系1(2015江苏高考)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 ACBC，BCCC1，设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D
106、 为 AB1 的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB
107、1.角度二：探索性问题中的平行与垂直关系2(2016湖北八校联考)如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1AC2AB2，且 BC1A1C.(1)求证：平面 ABC1平面 A1ACC1.(2)设 D 是 A1C1 的中点，在线段 BB1 上是否存在点 E，使 DE平面 ABC1？若存在，求三棱锥 E-ABC1 的体积；若不存在，请说明理由解：(1)证明：在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，有 A1A平面 ABC，A1AAC.又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，AC1BC1C1，AC1，BC1平面 ABC1，A1C平面 ABC1.A1C平面 A1ACC1，平面 ABC1平面
108、 A1ACC1.(2)存在E 为 BB1 的中点取 A1A 的中点 F，连接 EF，FD.则 EFAB，DFAC1，EFDFF，ABAC1A，平面 EFD平面 ABC1.ED平面 EFD，ED平面 ABC1.VE-ABC1VC1-ABE131211213.角度三：折叠问题中的平行与垂直关系3(2015湖北八校模拟)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E，F 分别在线段 BC，AD 上，EFAB，将矩形 ABEF 沿 EF 折起，记折起后的矩形为 MNEF，且平面 MNEF平面 ECDF.(1)求证：NC平面 MFD；(2)若 EC3，求证：NDFC；(3)求四面体 N-EFD 体积
109、的最大值解：(1)证明：平行四边形 MNEF 和 EFDC 都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MNCD.四边形 MNCD 是平行四边形NCMD.NC平面 MFD，MD平面 MFD，NC平面 MFD.(2)证明：连接 ED，交 FC 于点 O.平面 MNEF平面 ECDF，且 NEEF，平面 MNEF平面 ECDFEF，NE平面 MNEF，NE平面 ECDF.FC平面 ECDF，FCNE.ECCD，四边形 ECDF 为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面 NED，FC平面 NED.ND平面 NED，NDFC.(3)设 NEx，则 FDEC4x，其中 0 x4，由(2)得 NE
110、平面 FEC，四面体 N-EFD 的体积为VN-FED13SEFDNE12x(4x)VN-FED12x4x222，当且仅当 x4x，即 x2 时，四面体 N-FED 的体积最大，最大为 2.方法归纳平行与垂直的综合应用问题处理的 2 个策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：三角形的两边；梯形的两边；圆的两直径；正六边形的两边，
111、不能保证该直线与平面垂直的是()A BCD解析：选 C 线与平面垂直的条件是：平面外的直线和平面内的两条交线垂直，故不能保证2如图，在 RtABC 中，ABC90，P 为ABC 所在平面外一点，PA平面 ABC，则四面体 P-ABC 中共有直角三角形个数为()A4 B3C2 D1解析：选 A 由 PA平面 ABC 可得PAC，PAB 是直角三角形，且 PABC.又ABC90，所以ABC 是直角三角形，且 BC平面 PAB，所以 BCPB，即PBC 为直角三角形，故四面体 P-ABC 中共有 4 个直角三角形3已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面.直线 l 满足 lm，ln，l，l，则()A
112、 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：选 D 由于 m，n 为异面直线，m平面，n平面，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，又直线 l 满足 lm，ln，则交线平行于 l.4如图，PAO 所在平面，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面 PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面 PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确，AEPC，AEBC，PB平面 PBCAEPB，AFPB，EF平面 AEFEFPB，故正确，若 AFBCAF平面 PBC，则 AFA
113、E 与已知矛盾，故错误，由可知正确答案：5设 a，b 为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若 a 且 b，则 ab；若 a 且 a，则；若，则一定存在平面，使得，；若，则一定存在直线 l，使得 l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_解析：中 a 与 b 可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在，使得 与，都垂直中只需直线 l 且 l 就可以答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2016青岛质检)设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出 ab 的是()Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，解析：选 C 对于 C 项，由，a 可得 a，
114、又 b，得 ab，故选 C.2(2016吉林实验中学)设 a，b，c 是空间的三条直线，是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当 c 时，若 c，则 B当 b 时，若 b，则 C当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则 abD当 b，且 c 时，若 c，则 bc解析：选 B A 的逆命题为：当 c 时，若，则 c.由线面垂直的性质知 c，故 A 正确；B 的逆命题为：当 b 时，若，则 b，显然错误，故 B 错误；C 的逆命题为：当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 ab，则 bc.由三垂线逆定理知 bc，故 C 正确；D 的逆命题为：当 b，且 c 时，若
115、bc，则 c.由线面平行判定定理可得 c，故 D 正确3(2015南昌模拟)设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对解析：选 D 过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平行时，两直线的公垂线与 b 确定的平面，当平面 与 b 相交时，过交点作平面 的垂线与 b 确定的平面.故选 D.4(2015福州质检)“直线 l 垂直于平面”的一个必要不充分条件是()A直线 l 与平面 内的任意一条直线垂直B过直线 l 的任意一个平面与平面 垂直C存在平行于直线 l 的直线与平面 垂直D经过直线 l 的某一个平面与平
116、面 垂直解析：选 D 若直线 l 垂直于平面，则经过直线 l 的某一个平面与平面 垂直，当经过直线 l 的某一个平面与平面 垂直时，直线 l 垂直于平面 不一定成立，所以“经过直线l 的某一个平面与平面 垂直”是“直线 l 垂直于平面”的必要不充分条件5已知在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，则下面四个结论中不正确的是()ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABC解析：选 C 由 DFBC 可得 BC平面 PDF，故 A 正确若 PO平面 ABC，垂足为 O，则 O 在 AE 上，则 DFPO，又 DFAE，故
117、DF平面 PAE，故 B 正确由 DF平面 PAE 可得，平面 PAE平面 ABC，D 正确，选 C.6(2016上饶质检)已知 m，n 是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，现有以下说法：若，n，m，则 mn；若 m，m，n，则 n；若 mn，m，n，则；若 m，n，则 mn；若，m，n，则 mn.其中正确说法的序号为_解析：对于，注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此不正确；对于，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知，平行；由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n，因此正确；对于，由定理“由空间一点向一个二面角的两
118、个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，正确；对于，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此不正确；对于，m 与 n 有可能平行，因此不正确综上所述，其中正确的说法有.答案：7如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接 AC，BD，则 ACBD，PA底面 ABCD，PABD.又 PAACA，BD平面 PAC，BDPC.当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD，平面 MBD平面
119、 PCD.答案：DMPC(或 BMPC)8如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为_解析：设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以AB1DF.由已知可以得 A1B1 2，设 RtAA1B1 斜边 AB1 上的高为 h，则 DE12h.又 2 2h22 22，所以 h2 33，DE 33.在 RtDB1E 中，B1E222332 66.由面积相等得 66 x2222 22 x，得 x12.即线段 B1F 的
120、长为12.答案：129(2016贵州七校联考)如图，几何体 EF-ABCD 中，CDEF 为边长为 2 的正方形，ABCD 为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90.(1)求证：ACFB；(2)求几何体 EF-ABCD 的体积解：(1)证明：由题意得，ADDC，ADDF，且 DCDFD，AD平面 CDEF，ADFC.四边形 CDEF 为正方形，DCFC，DCADD，FC平面 ABCD，FCAC.又四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2 2，BC2 2，则有 AC2BC2AB2，ACBC，又 BCFCC，AC平面 FCB，ACFB.(2)连接
121、EC，过 B 作 CD 的垂线，垂足为 N，易知 BN平面 CDEF，且 BN2.VEF-ABCDVE-ABCDVB-EFC13S 梯形 ABCDDE13SEFCBN163，几何体 EF-ABCD 的体积为163.10(2015陕西高考)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A1BE的位置，得到四棱锥 A1-BCDE.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值解：(1)证明：在图 1
122、 中，因为 ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC.即在图 2 中，BEA1O，BEOC，又 A1OOCO，所以 BE平面 A1OC.又 CDBE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)可得 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE.即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高由图 1 知，A1O 22 AB 22 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBCABa2，从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为V13SA1O13a2 22 a 26 a3.由 26 a336 2，得 a6.三上台阶，自主
123、选做志在冲刺名校1(2016兰州质检)如图，在直角梯形 ABCD 中，BCDC，AEDC，且 E 为 CD 的中点，M，N 分别是 AD，BE 的中点，将三角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN平面 DEC；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MNAE；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使 ECAD.解析：由已知，在未折叠的原梯形中，ABDE，BEAD，所以四边形 ABED 为平行四边形，所以 BEAD，折叠后如图所示过点 M
124、 作 MPDE，交 AE 于点 P，连接 NP.因为 M，N 分别是 AD，BE 的中点，所以点 P 为 AE 的中点，故 NPEC.又 MPNPP，DECEE，所以平面 MNP平面 DEC，故 MN平面 DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以 AEMP，AENP，又 MPNPP，所以 AE平面 MNP，又 MN平面 MNP，所以 MNAE，正确；假设 MNAB，则 MN 与 AB 确定平面 MNBA，从而 BE平面 MNBA，AD平面 MNBA，与 BE 和 AD 是异面直线矛盾，错误；当 ECED 时，ECAD.因为 ECEA，ECED，EAEDE，所以 EC平面 AED，AD平面
125、 AED，所以 ECAD，正确答案：2如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1，点 O1 为 B1D1 的中点(1)求证：AB1平面 A1O1D.(2)若 AB23AA1，在线段 BB1 上是否存在点 E 使得 A1CAE？若存在，求出BEBB1；若不存在，说明理由解：(1)证明：如图(1)所示，连接 AD1 交 A1D 于点 G，G 为 AD1 的中点连接 O1G.在AB1D1 中，O1 为 B1D1 的中点，O1GAB1.O1G平面 A1O1D，且 AB1平面 A1O1D，AB1平面 A1O1D.(2)若在线段 BB1 上存在点 E 使得 A1CAE，连接 A1B 交 AE 于点
126、M，如图(2)所示BC平面 ABB1A1，AE平面 ABB1A1，BCAE.又A1CBCC，且 A1C，BC平面 A1BC，AE平面 A1BC.A1B平面 A1BC，AEA1B.在AMB 和ABE 中，BAMABM90，BAMBEA90，ABMBEA.RtABERtA1AB，BEAB ABAA1.AB23AA1，BE23AB49BB1，即在线段 BB1 上存在点 E 使得 A1CAE，此时 BEBB149.命题点一 空间几何体的三视图及表面积与体积命题指数：难度：中 题型：选择题、填空题、解答题1(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A棱柱 B棱台C圆柱D圆台解析
127、：选 D 由俯视图可排除 A，B，由正视图可排除 C，选 D.2(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90 cm2B129 cm2C132 cm2D138 cm2解析：选 D 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积 SS1S 正方形S22S3S 斜面，其中 S1 是长方体的表面积，S2 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S3 是三棱柱的一个底面的面积，则 S(463634)233342124353138(cm2)，选 D.3(2015重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A13 B23C132 D232解析
128、：选 A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的由图中数据可得三棱锥的体积 V1131221113，半圆柱的体积 V212122，V13.4(2015山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A2 23B4 23C2 2 D4 2解析：选 B 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为 2，故所求几何体的体积 V213()2 2 24 23.5(2015北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2
129、 5B4 5C22 5D5解析：选 C 作出三棱锥的示意图如图，在ABC 中，作 AB 边上的高 CD，连接 SD.在三棱锥 S-ABC 中，SC底面 ABC，SC1，底面三角形 ABC 是等腰三角形，ACBC，AB 边上的高 CD2，ADBD1，斜高 SD 5，ACBC 5.S表SABCSSACSSBCSSAB1222121 5121 5122 522 5.6(2015四川高考)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形设点 M，N，P 分别是棱AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥 P-A1MN 的体
130、积是_解析：由三视图易知几何体 ABC-A1B1C1 是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则 VP-A1MNVA1-PMNVA-PMN.又 SPMN12MNNP1212114，A 到平面 PMN 的距离 h12，VA-PMN13SPMNh131412 124.答案：1247(2015安徽高考)如图，三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥 P-ABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求PMMC的值解：(1)由题设 AB1，AC2，BAC60，可得 SABC12ABACsin 60 32.由 PA平面 AB
131、C，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高又 PA1，所以三棱锥 P-ABC 的体积 V13SABCPA 36.(2)证明：在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N.在平面PAC 内，过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M，连接 BM.由 PA平面 ABC 知 PAAC，所以 MNAC.由于 BNMNN，故 AC平面 MBN.又 BM 平面 MBN，所以 ACBM.在 RtBAN 中，ANABcosBAC12，从而 NCACAN32.由 MNPA，得PMMCANNC13.命题点二 组合体的“切”“接”问题命题指数：难度：中 题型：选择题、填空题1(2014陕西高考)已知底面边
132、长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A323B4C2 D43解析：选 D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 r121212 221，所以 V 球43 1343.故选 D.2(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B64C144 D256解析：选 C 如图，设球的半径为 R，AOB90，SAOB12R2.VO-ABCVC-AOB，而AOB 面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO-ABC 最
133、大，当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO-ABC 最大，为1312R2R36，R6，球 O 的表面积为 4R2462144.3(2013全国卷)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为3 22，底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_解析：过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE，连接 EA，则 E 为正方形 ABCD 的中心由题意可知13(3)2OE3 22，所以 OE3 22，故球的半径 ROA OE2EA2 6，则球的表面积 S4R224.答案：24命题点三 直线、平面平行与垂直的判定与性质命题指数：难度：中 题型：选择题、解答题1(2014辽
134、宁高考)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 n解析：选 B 对于选项 A，若 m，n，则 m 与 n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项 B 正确；对于选项 C，若 m，mn，则 n 或 n，C 错误；对于选项 D，若 m，mn，则 n 或 n 或 n 与 相交，D 错误故选 B.2(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m.()A若 l，则 B若，则 lmC若 l，则 D若，则 lm解析：选 A l，l，(面面垂直的判定定理)，故 A 正确3
135、(2014湖北高考)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱 AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1 的中点.求证：(1)直线 BC1 平面 EFPQ；(2)直线 AC1平面 PQMN.证明：(1)连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，知 AD1BC1，因为 F，P 分别是AD，DD1 的中点，所以 FPAD1.从而 BC1FP.而 FP平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图，连接 AC，BD，则 ACBD.由 CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，可得 CC1BD.又 ACCC1
136、C，所以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1，所以 BDAC1.连接 B1D1，因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点，所以 MNB1D1，故 MNBD，从而 MNAC1.同理可证 PNAC1.又 PNMNN，所以直线 AC1平面 PQMN.4(2014四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若 ACBC，证明：直线 BC平面 ACC1A1；(2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论解：(1)证明：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形，
137、所以 AA1AB，AA1AC.因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交直线，所以 AA1平面 ABC.因为直线 BC 平面 ABC，所以 AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交直线，所以 BC平面 ACC1A1.(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A1C，AC1，设 O 为 A1C，AC1 的交点由已知，O 为 AC1 的中点连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为 ABC，ACC1 的中位线，所以，MD 綊12AC，OE 綊12AC，因此 MD 綊 OE.连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DEMO.因为直线 DE平
138、面 A1MC，MO 平面 A1MC，所以直线 DE平面 A1MC.即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)，使直线 DE平面 A1MC.5(2015北京高考)如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC 2，O，M 分别为 AB，VA的中点(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 V-ABC 的体积解：(1)证明：因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB.又因为 VB平面 MOC，OM平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)证明：因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB.又 OC平面 MOC，所以平面 MOC平面 VAB.(3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC 2，所以 AB2，OC1.所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB 3.又因为 OC平面 VAB，所以三棱锥 C-VAB 的体积等于13OCSVAB 33.又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等，所以三棱锥 V-ABC 的体积为 33.
