1、1新教材高一数学必修第一册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1 元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母,cba表示，元素三大性质：互异性，确定性，无序性2 集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母,CBA表示3 集合相等：两个集合BA,的元素一样，记作BA 4 元素与集合的关系：属于：Aa;不属于：Aa5 常用的数集及其记法：自然数集 N；正整数集NN 或*；整数集 Z；有理数集Q；实数集 R 6 集合的表示方法：列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；描述法：把集合中所有具有共同特征)(xP的元素 x 所组成的集合表示为)(|xPAx的方法；
2、图示法(Venn 图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法7 集合间的基本关系：子集：对于两个集合BA,，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 A 的子集，记作，读作 A 包含于 B；真子集：如果BA，但存在元素Bx，且Ax，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB，读作 A 真包含于 B 8 空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子集9 集合的基本运算：并集,|BxAxxBA或；交集,|BxAxxBA且；补集,|AxUxxACU且(U 为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素)运算性质：BABBA；B
3、AABA；AA；A；UCUCAACCUUUU,)(，)()()(),()()(BACBCACBACBCACUUUUUU10 充分条件与必要条件：一般地，“若 p，则 q”为真命题，p 可以推出 q，记作qp，称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；p 是 q 的条件的四种类型：若qqp,p，则 p 是 q 的充分不必要条件；若ppq,q，则 p 是 q 的必要充分不条件；若qp，则 p 是 q 的充要条件；若 pq，qp，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件11 全称量词及全称量词命题：短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中叫做全称量词，并用符号 表示，含有全称量词的命题成为全称量
4、词命题12 存在量词及存在量词命题：短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题13 全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题第二章一元二次函数、方程不等式1 不等式的性质不等式的性质：对称性 abba；传递性,ab bcac；可加性abacbc；可乘性,0ab cacbc，,0ab cacbc；同向可加性,ab cdacbd；同向可乘性0,0abcdacbd；可乘方性0,1nnababnn；可开方性0,1nnabab nn可倒数性baba1102 重要不等式：若Rba,，则
5、abba222，当且仅当ba 时等号成立3 基本不等式：若0a，0b，则2abab，即2abab，当且仅当ba 时等号成立4 不等式链：若0a，0b，则baabbaba1122222，当且仅当ba 时等号成立；一正二定三相等25 一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式6 一元二次不等式的解法：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac 0 0 0 二次函数2yaxbxc0a 的图象一元二次方程2axbx0c 0a 的根有两个相异实数根1,22bxa 12x x有两个相等实数根122bxxa 没有实数根一元二次不等式的解集20a
6、xbxc0a 12x xxxx或2bx xa R20axbxc0a 12x xxx第三章 函数的概念与性质1 函数的概念：一般地，设BA,是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与它对应，那么就称BAf:为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作Axxfy),(，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合|)(Axxf叫做函数的值域，值域是集合 B 的子集2 函数的三要素：定义域、对应关系、值域求函数定义域的原则：(1)若 f x 为整式，则其定义
7、域是 R；(2)若 f x 为分式，则其定义域是使分母不为 0 的实数集合；(3)若 f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于 0 的实数集合；(4)若 0f xx，则其定义域是0 x x；(5)若 0,1xf xaaa，则其定义域是 R；(6)若 log0,1af xx aa，则其定义域是0 x x；(7)若xxftan)(，则其定义域是,2|Zkkxx；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3 函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间
8、的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)4 分段函数：在定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数6 函数的单调性：3(1)单调递增：设任意Dxx21,(ID,I 是 f x 的定义域)，当12xx时，有12()()f xf x.特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意Dxx21,(ID,I 是 f x 的定义域)，当12xx时，有12()()f xf x.特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数7 单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数
9、的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间8 复合函数的单调性：同增异减9 函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(xfy 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足:Ix,都有)()(MxfMxf；Ix 0使得Mxf)(0，那么称 M 是函数的最大(小)值10 函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(xfy 的定义域为 I，如果Ix，都有Ix，且)()(xfxf，那么函数叫做偶函数；偶函数的图象关于 y 轴对称；偶函数)(xfy 满足|)(|)()(xfxfxf；奇函数：一般地，设函数)(xfy 的定义域为 I，如果Ix，都有Ix，且)()(xfxf，那么函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点
10、对称；若奇函数)(xfy 的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f.11 幂函数：一般地，函数xy 叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数12 幂函数 f xx的性质：所有的幂函数在0,都有定义，并且图象都通过点1,1；如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间0,上是增函数；如果0 ，则幂函数的图象在区间0,上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋向于 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴；在直线1x的右侧，幂函数图象“指大图高”；幂函数图象不出现于第四象限第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算
11、性质(1)若nxa，则nna nxa n 为奇数为偶数；(2)nna na na 为奇数为偶数；(3)()nn aa；(4)*(0,1)mnmnaaam nNn且；(5)*1(0,1)mnnmaam nNna,且；(6)0 的正分数指数幂为0，0 的负分数指数幂没有意义.(7)0,rsr saaaar sR；(8)()0,rsrsaaar sR；(9)()0,0,rrrabababr sR.2 对数、对数运算性质(1)log0,1xaaNxN aa；(2)log 100,1aaa；(3)log10,1a aaa；(4)；log0,1a NaN aa；(5)log0,1ma am aa；4(6)
12、log()loglog0,1,0,0aaaMNMN aa ；(7)logloglog0,1,0,0aaaMMN aaN ；(8)loglog0,1,0naaMnM aa；(9)换底公式loglog0,1,0,0,1logcacbbaabcca；(10)loglog0,1,*mnaanbb aan mNm；(11)1loglog0,1,0,naaMM aaMnRn；(12)logloglog10,1,0,1,0,1abcbcaaabbcc.3 指数函数)1,0(aaayx且及其性质：定义域为,；值域为0,；过定点0,1；单调性：当1a 时，函数 f x 在 R 上是增函数；当01a 时，函数 f
13、 x 在 R 上是减函数；在 y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”4 对数函数)1,0(logaaxya且及其性质：定义域为0,；值域为,；过定点1,0；单调性：当1a 时，函数 f x 在0,上是增函数；当01a 时，函数 f x 在0,上是减函数；在直线1x的右侧，对数函数的图象“底大图低”5 指数函数xay 与对数函数)1,0(logaaxya且互为反函数，它们的图象关于直线xy 对称6 不同函数增长的差异：线性函数模型)0(kbkxy的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数函数模型)1(aayx的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸”状态；对数函数模型
14、)1(logaxya的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长速度平缓；幂函数模型)0(nxyn的增长速度介于指数函数和对数函数之间7 函数的零点：在函数)(xfy 的定义域内，使得0)(xf的实数 x 叫做函数的零点8 零点存在性定理：如果函数 f x 在区间,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 0f af b，那么函数 yf x在区间,a b 内至少有一个零点，即存在,ca b，使得 0f c ，这个c 也就是方程 0f x 的根.9 二分法：对于区间,ba上图象连续不断且 0f af b的函数)(xfy，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步
15、逼近零点，进而得到零点近似值的方法10 给定精确度，用二分法求函数)(xfy 零点0 x 近似值的步骤：确定零点0 x 的初始区间,a b，验证 0f af b；求区间,a b 的中点c；计算)(cf，并进一步确定零点所在的区间；若0)(cf，则c 就是函数的零点；若0)()(cfaf(此时),(0cax)，则令cb；若0)()(bfcf(此时),(0bcx)，则令ca；5判断是否达到精确度：若 ab，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复上面的至.第五章 三角函数1 任意角的分类：按终边的旋转方向分：正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形
16、成的角2 象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角第一象限角的集合为36036090,kkk;第二象限角的集合为36090360180,kkk;第三象限角的集合为360180360270,kkk;第四象限角的集合为360270360360,kkk角 的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限终边在 x 轴非负半轴的角的集合,2|Zkk；终边在 x 轴非正半轴的角的集合,2|Zkk；终边在 y 轴非负半轴的角的集合,22|Zkk；终边在 y 轴非正半轴的角的集合,22|Zkk；终边在 x 轴的角的集合,|Zkk；终边在 y 轴
17、的角的集合,2|Zkk；终边在坐标轴的角的集合,2|Zkk；2 终边相同的角：与角 终边相同的角的集合为360,kk 3 弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度4 角度与弧度互化公式：2360 ，1180，180157.3 5 扇形公式：半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为l，则角 的弧度数的绝对值是lr 若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为 r，弧长为l，周长为C，面积为 S，则lr，2Crl，21122Slrr6 三角函数的概念：设 是一个任意大小的角，的终边上任意一点 P 的坐标是,x y，它与原点的距离是 220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0y xx 7 三角
18、函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦8 记忆特殊角的三角函数值：153045607590120135150180270360126431252324365232sin426 212223426 1232221010cos426 232221426 02122231016tan32 1332 不存在31330不存在09 同角三角函数的基本关系：221 sincos1，2222sin1 cos,cos1 sin ；sin2tancos sinsintancos,costan10 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin
19、，coscos，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 5 sincos2，cossin2 6 sincos2，cossin2 11 三角函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk 时，max1y；当22xkk 时，min1y 当2xkk 时，max1y；当2xkk 时，min1y 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 2,222kkk 上是增函数；在32,222kkk 上是减函数在 2,2kkk 上是增函数；在2,2kkk 上是减函数
20、在,22kkk 上是增函数函 数性 质712 两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)coscoscossinsin；(2)coscoscossinsin；(3)sinsincoscossin；(4)sinsincoscossin；(5)tantantan1 tantan(tantantan1 tantan)；(6)tantantan1 tantan(tantantan1 tantan)13 二倍角公式：(1)sin22sincos；(2)2222cos2cossin2cos1 1 2sin ；(2cos21cos2，21 cos2sin2)；(3)22tantan21 tan；14 半角公式：
21、(1)2cos12sin；(2)2cos12cos；(3)cos1cos12tan；(4)cos1sinsincos12tan15 辅助角公式：的终边上在角点其中),(,tan),sin(cossin22baabxbaxbxa16 函数bxAy)sin(的图象与性质：图象变换：先平移后伸缩：函数sinyx的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变)，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数sinyx 的图象先伸缩后平
22、移：函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变)，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数sinyx 的图象五点法画图函数sin0,0yx 的性质：定义域为 R；值域为,AA；单调性：根据函数xysin的单调区间求函数的单调区间；奇 偶 性：当Zkk,时，函 数sinyx 是 奇 函 数；当Zkk,2时，函 数sinyx 是偶函数；周期：2T；对称性：根据函数xysin的对称性研究函数的对称性12对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴817 函数BxAy)sin(的应用振幅：A；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：最值：函数BxAy)sin(，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12 yy，maxmin12 yy，21122xxxx
