1、6.1.2导数及其几何意义最新课程标准 1.理解瞬时变化率、导数的概念(难点、易混点) 2会用导数的定义求函数的导数3理解导数的几何意义(重点)能应用导数的几何意义解决相关问题(难点)教材要点知识点一瞬时变化率与导数(1)物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sf(t)，当_时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率_趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度(2)函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率_趋近于一个常数k，那么常数k称为函数f(x)在点x0
2、的瞬时变化率记作：当x0时，k.还可以说：当x0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率，记作 k.(3)函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在点x0的_，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作_，即f(x0)_.知识点二导数的几何意义曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数f(x0)的几何意义为_基础自测1函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率是_2函数yf(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(2)f(3)f(2)f(3)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s
3、(t)v0tgt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_先求出，再求 .方法归纳1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度.2.求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可跟踪训练1 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度题型二求函数在某点处的导数例2(1)曲线y在点处的
4、切线的斜率为()A2B4C3 D.(2)求函数y3x2在x1处的导数求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f (x0)方法归纳1通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于y与x的比值，感受和认识在x逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象2用定义求函数在xx0处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求极限，得导数为f(x0) .简记为：一差、二比、三趋近跟踪训练2求函数f(x)x在x1处的导数题型三求曲线在某点处切线的方程例3已知曲线C：yx3.(1)求曲线C在横坐标为x1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的
5、切线与曲线C是否还有其他的公共点？(1)先求切点坐标，再求y ，最后利用导数的几何意义写出切线方程(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解方法归纳1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)写出切线方程，即yy0f(x0)(xx0)特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为xx0.2曲线的切线与曲线的交点可能不止一个跟踪训练3若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是1，那么过点A的切线方程是_题型四求切点坐标例4已知抛物线y2x21.求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？(2)抛物线
6、上哪一点的切线平行于直线4xy20?跟踪训练4已知曲线yx3在点P处的切线的斜率k3，则点P的坐标是()A(1,1) B(1,1)C(1,1)或(1，1) D(2,8)或(2，8)方法归纳根据切线斜率求切点坐标的步骤1设切点坐标(x0，y0)；2求导函数f(x)；3求切线的斜率f(x0)；4由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；5点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标61.2导数及其几何意义新知初探自主学习知识点一(1)t趋近于0(2)(3)瞬时变化率f(x0)li 知识点二曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率基础自测1解析：f(x)x
7、2，函数f(x)在x1处的瞬时变化率是li li li li (2x)2.答案：22解析： f(2)为函数yf(x)的图像在点B处的切线的斜率，f(3)为函数yf(x)的图像在点A处的切线的斜率，f(3)f(2)，其几何意义为割线AB的斜率，由图可知，0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选C.答案：C3解析：由题意知f(2)3.答案：D4解析：因为f(1)1，所以li 1，所以li li .答案：A课堂探究素养提升例1解析：sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tg(t)2，v0gt0gt，li v0gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0gt0.答案：v0gt0跟踪训练1解析：(1)初速度v
8、0li li li (3t)3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬li li li li (t1)1，即物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反例2解析：(1)因为yli li li ，所以曲线在点处的切线斜率为k4，故选B.(2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1)li li (63x)6.答案：(1)B(2)见解析跟踪训练2解析：y(1x)x1x，1，f(1)li li 2.例3解析：(1)将x1代入曲线C的方程得y1，切点P(1,1)yli li li33x(x)23.k3.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.
9、(2)由解得或从而求得公共点为P(1,1)或M(2，8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(2，8)跟踪训练3解析：切线的斜率为k1.点A(1,2)处的切线方程为y2(x1)，即xy30.答案：xy30例4解析：设切点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.f(x0)li (4x02x)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451，即f(x0)4x01，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)跟踪训练4解析：因为yx3，所以yli li3x23xx(x)23x2.由题意，知切线斜率k3，令3x23，得x1或x1.当x1时，y1；当x1时，y1.故点P的坐标是(1,1)或(1，1)，故选C.答案：C
