1、第五讲 等差等比高考在考什么【考题回放】1在等差数列中，则（ A ）A. B. C. D. -1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ D ）A. B. C. D. 3.已知数列的前项和，第项满足，则（B） A B C. D4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（D）A2 B3 C4 D55.设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（B）2 4 6 86. 等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为高考要考什么等差数列的证明方法：1. 定义法：2等差中项：对于数列，若等差数列的通项公式：-该公式整理后是关于n的一次函数等差数列
2、的前n项和 1 2. 3.等差中项: 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或等差数列的性质:1等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有2. 对于等差数列，若，则。也就是：， 3若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：4设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：当n为偶数时， 当n为奇数时，则，等比数列的判定方法:定义法：若等比中项：若，则数列是等比数列。等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。等比数列的前n项和: 当时，等比中项:如果使，成等比数列，那么叫做
3、与的等比中项。那么。等比数列的性质:1等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有2. 对于等比数列，若，则也就是：。3若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示： 突 破 重 难 点【范例1】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项解析 由已知得， 即 ，解得或 或 经验证 或 均满足题意，即为所求【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列本题是以此背景设计此题【变式】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比相等，且都等于d（d0，d1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn解：
4、由已知由，得a1（3d21）2d 由，得a1（5d41）4d 因为d0，由与得2（3d21）5d41， 即5d46d210，解得d1，dd0，d1，d代入，得a1，故b1=.an（n1）（n6），bn（）n1本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：， 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等记第i行第j列的数为aij ( ij， i， jN*)(1) 求a83；(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；(3) 记第n行的和为An，求解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。
5、又成等比数列，且又公比都相等，每行的公比是（2）由（1）知，（3）【点睛】在新颖背景数表中运用数列知识【文】在等比数列a n中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 （）设an的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ，2q2q1=0 ， q=1或q=当q=1时，Sm=ma
6、1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，Sm+Sm+12 Sm+2， Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=时， ，Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处【变式】等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（）由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【范例3】若有穷数列（是正整数），满足即（是
7、正整数，且），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和解：（1）设的公差为，则，解得 ，数列为（2） ， ，当时，取得最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时， 当时， 对于，当时，当时， 对于，当时，；当时， 对于，当时，；当时， 【点睛】在看懂题目意思基础上，注意各种情况的讨论，考察观察，分析，运用能力【文】如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列” 例如，数列与数列都是“对称数列” （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列求前项的和 解：（1）设数列的公差为，则，解得 ， 数列为 （2） 67108861 （3）由题意得 是首项为，公差为的等差数列 当时， 当时， 综上所述， 本卷第7页（共7页）
