1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时函数的最大值、最小值1.函数的最值(1)定义前提函数f(x)的定义域为D,且x0D,对任意xD条件都有f(x)f(x0)都有f(x)f(x0)结论最大值为f(x0),x0为最大值点最小值为f(x0),x0为最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点(2)求函数最值的方法：配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可
2、借助图像直观求出；利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数值取得最值时的自变量x的值2直线的斜率(1)直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1x2时，称为直线的斜率，记作；当x1x2时，称直线的斜率不存在(2)直线的斜率与函数单调性的关系函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于03函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I是函数yf(x)的定义域的子集，对任意x1，x2I，且x1x2，记y1f(x1)，y2
3、f(x2)，称为函数在区间x1，x2(x1x2时)上的平均变化率(2)函数的平均变化率与函数的单调性yf(x)在I上是增函数0在I上恒成立yf(x)在I上是减函数0在I上恒成立函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变化趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)任何函数都有最大值、最小值()提示：如函数y既没有最大值，也没有最小值 (2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的()提示：函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率()提示：过函数图像上任意两点
4、的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1x2.2过函数图像上两点A(1，3)，B(2，3)的斜率_【解析】0.答案：03已知函数f(x)，x1，3，则函数f(x)的最大值为_，最小值为_【解析】f(x)1，x1，3，因为f(x)在1，3上为增函数，所以f(x)maxf(3)，f(x)minf(1)0.答案：0类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)1(2021太原高一检测)如图是函数yf(x)，x4，3的图像，则下列说法正确的是()Af(x)在4，1上单调递减，在1，3上单调递增Bf(x)在区间(1，3)上的最大值为3，最小值为2Cf(x)在4，1上有最小值2，有最大值3D当直
5、线yt与yf(x)的图像有三个交点时1t0)在区间m，n上的最值一般分为以下几种情况：(1)若对称轴x在区间m，n内，则最小值为f，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与直线x距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴xn，则f(x)在区间m，n上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n).【拓展训练】1定轴定区间上的最值问题【例1】已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值(1)R.(2)0，3.(3)1，1.【思路导引】求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图像法求解【解析】
6、f(x)3x212x53(x2)27.(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立故函数f(x)的最小值为7，无最大值(2) 函数f(x)3(x2)27的图像如图所示，由图可知，在0，3上，函数f(x)在x0时取得最大值，最大值为5；在x2时取得最小值，最小值为7.(3)由图可知，函数f(x)在1，1上是减函数，在x1时取得最大值，最大值为20；在x1时取得最小值，最小值为4.(1)函数yax2bxc(a0)在区间上是减函数，在区间上是增函数，当x时，函数取得最小值(2)函数yax2bxc(a0)在区间上是增函数，在区间上是减函数，当x时，函数取得最大值2动轴定区间上的最值问题
7、【例2】已知函数f(x)x22ax2，x1，1，求函数f(x)的最小值【思路导引】二次函数开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题【解析】f(x)x22ax2(xa)22a2的图像开口向上，且对称轴为直线xa.当a1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间1，1上是减函数，最小值为f(1)32a；当1a1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间1，1上是先减后增，最小值为f(a)2a2；当a1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间1，1上是增函数，最小值为f(1)32a.3定轴动区间上的最值问题【例3】已知函数
8、f(x)x22x2，xt，t1，tR的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式【思路导引】二次函数的解析式是确定的，但定义域是变化的，需依据t的大小情况画出对应的简图(二次函数的一段)，从而求解【解析】f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为g(t)f(t)t22t2.综上可得g(t)本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰类型二函数的平均变化率与单调性、最值(数学
9、运算、逻辑推理)【典例】已知函数f(x).(1)判断函数f(x)在区间0，)上的单调性，并用平均变化率证明其结论【思路导引】任取x1，x20，)0函数单调递增【解析】f(x)在区间0，)上是增函数证明如下：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x2)f(x1).所以.因为x1，x20，)，所以(x11)(x21)0，所以0，所以函数f(x)在区间0，)上是增函数 (2)求函数f(x)在区间2，9上的最大值与最小值【思路导引】由第(1)问可知f(x)在2，9上是增函数f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数f(x)在区间2，9上是增函数，故函数f(x)在区间2，9上的最大值为f(
10、9)，最小值为f(2).利用函数的平均变化率证明单调性的步骤 (1)任取x1，x2D，且x1x2.(2)计算f(x2)f(x1)，.(3)根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性已知函数f(x)，x3，7.(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明【解析】函数f(x)在区间3，7内单调递减，证明如下：在3，7上任意取两个数x1和x2，且x1x2，因为f(x1)，f(x2)，所以f(x2)f(x1).所以，因为x1，x23，7，所以x120，x220，所以0，函数f(x)为3，7上的减函数 (2)求函数f(x)的最大值和最小值【解析】由单调函数的定义可得f(x)maxf(3)
11、4，f(x)minf(7).类型三常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)不含参数的最值问题【典例】函数f(x)2x2x1在区间1，1上最小值点为_，最大值为_【思路导引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题【解析】函数f(x)2x2x1的对称轴为x，函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为1，最大值为f21.答案：1含参数的最值问题【典例】设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1)当a0时，求f(x)在区间0，2上的最大值和最小值【思路导引】代入a的值，化简后求最值【解析】当a0，x0，2时函数f(x)x2x1，因为f(x)的图像开口向上，对称轴为x，所以，当x时f
12、(x)值最小，最小值为，当x2时，f(x)值最大，最大值为3. (2)当0a时，求函数f(x)的最小值【思路导引】讨论对称轴与区间的位置关系求最值【解析】f(x)当xa时，f(x)x2xa1a.因为0aa，则f(x)在a，)上的最小值为fa；当xa时，函数f(x)x2xa1a.因为0a，所以a，则f(x)在(，a)上的最小值为fa.综上，f(x)的最小值为a.将本例的函数改为f(x)x22ax1，试求函数在区间0，2上的最值【解析】函数的对称轴为xa，(1)当a2时，f(x)在区间0，2上是减函数，所以f(x)minf(2)54a，所以f(x)min(2)当a1时，f(x)maxf(2)54a
13、；当a1时，f(x)maxf(0)1，所以f(x)max一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为xm，区间a，b为例，最小值：f(x)min最大值：f(x)max当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系(1)已知函数f(x)x2ax1，求f(x)在0，1上的最大值. 【解析】因为函数f(x)x2ax1的图像开口向上，其对称轴为x，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当，即a1时，f
14、(x)的最大值为f(0)1. (2)已知函数f(x)x2x1，求f(x)在t，t1(tR)上的最小值 【解析】f(x)x2x1，其图像的对称轴为x，当t时，f(x)在t，t1上是增函数，所以f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在t，t1上是减函数，所以f(x)minf(t1)t2t1；当tt1，即t时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf.1(2020西安高一检测)函数f(x)9ax2(a0)在0，3上的最大值为()A9 B9(1a) C9a D9a2【解析】选A.因为a0，所以f(x)9ax2开口向下，以y轴为对称轴，所以f(x)9ax2在0，3上
15、单调递减，所以x0时，f(x)最大值为9.2函数f(x)x()A有最小值，无最大值B有最大值，无最小值C有最小值，有最大值2D无最大值，也无最小值【解析】选A.f(x)x的定义域为，在定义域内单调递增，所以f(x)有最小值f ，无最大值3(2021菏泽高一检测)设f(x)x22axa2，x0，2，当a1时，f(x)的最小值是_，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_【解析】当a1时，f(x)x22x1，开口向上，对称轴为x1，所以函数f(x)x22x1在(0，2)上单调递增，所以函数在x0，2上的最小值f(x)minf(0)1.若f(0)是f(x)的最小值，说明对称轴xa0，则a0，
16、所以a的取值范围为(，0.答案：1(，0【补偿训练】 二次函数f(x)x22x3在0，m上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是_【解析】因为f(x)x22x3在0，2上单调递减，在2，)上单调递增则当0m4时，最大值必大于f(4)3，此时条件不成立综上可知，实数m的取值范围是2，4.答案：2，4备选类型函数最值的应用(数学建模)【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系式：C(x)(0x10).若不建隔热层
17、，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)最小？并求其最小值【思路导引】【解析】(1)由题意知C(0)8，代入C(x)的关系式，得k40，因此C(x)(0x10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)6x6x(0x10).(2)令t3x5，由0x10，得5t35，从而有函数h(t)2t10(5t35).令5t1t235，则h(t1)h(t2)(t1t2)，当5t10；当20t1t235时，h(t1)h(t2)(t1t2)(2
18、)0.所以h(t)2t10(5t35)在区间5，20上单调递减，在区间20，35上单调递增，所以当t20时，h(t)min70，即当t3x520，x5时，f(x)min70.所以当隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小，为70万元(1)通过换元，使函数式变得简单，易于研究其单调性(2)以20为分界点将5，35分成两个单调区间，可结合对勾函数的单调性规律来理解(2020枣庄高一检测)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：元)满足分段函数(x)，其中(x)x是“玉兔”的月产量(单位
19、：件)，总收益成本利润(1)试将利润y表示为月产量x的函数(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题设，总成本为20 000100x，则y(2)当0400时，y60 000100x是减函数，则y60 00010040020 000，所以当月产量为300件时，有最大利润25 000元1函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值点分别为()Af， Bf(0)，fCf，f(0) Df(0)，【解析】选D.观察函数图像，f(x)最大值、最小值点分别为f(0)，.2已知函数f(x)x22xa(x0，2)有最小值2，则f(x)的最大值为()A4 B6 C1 D2【解析】选B.f(
20、x)x22xa(x0，2)为增函数，所以最小值为f(0)a2，最大值f(2)8a6.3(2021大冶高一检测)若函数y的定义域是(，1)2，5)，则其值域是()A(2，) B2，)C(，2 D(，0)【解析】选D.因为函数y在(，1)和2，5)上都是单调递减函数，当x1时，y0)在区间2，3上有最大值4和最小值1.(1)求a，b的值；(2)若不等式f(x)kx0在x2，3上恒成立，求实数k的取值范围【解析】(1)因为f(x)ax22ax1b(a0)的图像开口向上，且对称轴为x1，所以f(x)在2，3上单调递增，所以.所以a1，b0；(2)由(1)得f(x)x22x1，所以不等式f(x)kx0，即x2(2k)x10在x2，3上恒成立，令g(x)x2(2k)x1，g(x)的图像开口朝上，则要使g(x)0在x2，3上恒成立，所以，解得k，所以实数k的取值范围为k.关闭Word文档返回原板块
