1、51.2数列中的递推最新课程标准 1.理解递推公式的含义(重点) 2掌握递推公式的应用(难点)3理解数列中的an与Sn的关系.教材要点知识点一数列递推公式(1)两个条件：已知数列的_；从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_公式由数列的递推公式能否求出数列的项？提示能，但是要逐项求知识点二数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项_(或前几项)之间的关系表示an与_之间的关系联系(1)都是表示_的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式知识点三 an
2、与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an特别地，若a1满足anSnSn1(n2)，则不需要分段基础自测1已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由anan1an2(n3)给出，则该数列的第5项等于()A6 B7C8 D92已知非零数列an的递推公式为a11，anan1(n2)，则a4_.3已知数列an中，a1，an11，则a5_.4已知数列an的前n项和Snn21，则an_.题型一由递推关系写数列的项例1(1)已知数列an满足关系anan11an1(nN)且a2 0182，则a2 019()A B.C D.(2)已知数列an满足a11，an2an6，则a11的值为()A31 B32
3、C61 D62方法归纳由递推公式写出数列的项的方法1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.跟踪训练1已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项题型二由an与Sn的关系求通项公式例2已知数列an的前n项和Sn2n23n，则an_.方法归纳已知Sn求an的三个步骤1利用a1S1求出a1.2当n2时，利用anSnSn1(n2)求出an的表达式3看a1是否符合n2时
4、an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an跟踪训练2已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.题型三数列的递推公式与通项公式的关系1.某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN，n30)2在数列an中，a13，2，照此递推关系，你能写出an任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？提示
5、按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32n1(nN)3在数列an中，若a13，an1an2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？提示由an1an2得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2，nN)，将这些式子两边分别相加得：a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即ana12(n1)，所以有an2(n1)a12n1(nN)例3设数列an是首项为1的正项数列，且an1an(nN)，求数列的通项公式由递推公式，分别令n1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出
6、它的通项公式；或利用an1an反复迭代；或将an1an变形为进行累乘；或将an1an变形式1，构造数列nan为常数列方法归纳由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：1累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式2累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式跟踪训练3已知数列an中，a12，an1an3(nN)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明教材反思1本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式2要掌握判断数
7、列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法3要会用数列的递推公式求数列的项或通项4要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.51.2数列中的递推新知初探自主学习知识点一(1)首项(或前几项)(2)递推知识点二an1n数列知识点三S1SnSn1基础自测1解析：因为anan1an2(n3)且a11，a22.所以a3a2a1213，a4a3a2325，a5a4a3538.答案：C2解析：依次对递推公式中的n
8、赋值，当n2时，a22；当n3时，a3a23；当n4时，a4a34.答案：43解析：因为a1，an11，所以a21123，a31，a41，a5123.答案：34解析：当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an答案：课堂探究素养提升例1解析：(1)由anan11an1，得an1，又a2 0182，a2 019，故选B.(2)数列an满足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.答案：(1)B(2)A跟踪训练1解析：a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.例2解析：a1S1231，当
9、n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.答案：4n5跟踪训练2解析：当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an答案：例3解析：因为an1an.法一：(归纳猜想法)a11，a21，a3，a4，猜想an.法二：(迭代法)因为an1an，所以anan1an2a1，从而an.法三：(累乘法)因为an1an，所以，则，所以an.法四：(转化法)因为，所以1，故数列nan是常数列，nana11，所以an.跟踪训练3解析：a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314，猜想：an3n1.证明如下：由an1an3得a2a13，a3a23，a4a33，anan13.将上面的(n1)个式子相加，得ana13(n1)，所以an23(n1)3n1.
