1、湖南省岳阳市临湘二中高三年级第四次月考数学试题(理科)一、选择题：本大题 共10小题，每小题5分，共50分1的值等于 （ ）AiBiCD 2设，若，则a的取值范围是 （ ）A B C D3命题甲：“成等比数列”，命题乙：“lgx、lg(x+1)、lg(x+3)成等差数列”，则甲是乙的（ ）条件A必要不充分 B充分不必要 C充要 D既不充分也不必要4函数的最小正周期是 （ ）A B C D5. 6.设函数若，则的取值范围是 ( ) A.-1,1 B. C.-2,2 D. 7.已知等差数列的前项和为，且满足，则等于 （ ） A. B. C. 1 D. 2函数为增函数的区间是（）ABCD定义在R上的
2、周期函数，其周期T=2，直线x=2是它的图象的上的一条对称轴，且上是减函数，如果A、B是锐角三角形的两个内角，则（ ）ABCD10.若函数的一个交点是（3，2），则的图像的交点个数是 ( )A4B3C2D1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11、已知,则_.13. 函数f (x)= x3+ax+1在（,1）上为增函数，在（1，1）上为减函数，则f (1)的值为_.14.已知函数的图象过点，则的反函数的图象一定过点_.15给出下列四个命题：对于函数当a=0时，f (x)的值域为R；记为等比数列的前项和，则成等比数列。若方程的解集为，的解集为，则 的解集为函数与函数的图像关于直线对称
3、其中正确命题的个数为 个。三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间17、（本小题满分12分） 一位游客游览湖南的岳麓山，岳阳楼，南岳这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览及游览哪个景点互不影响，（1）求客人至少游览一处景点的概率；（2） 设表示客人离开湖南时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值， 求的分布及数学期望.18（本题满分12分）设，（为常数）当时，且 为R上的奇函数（1）若，且的最小值为0，求的表达式；（2）在（1）的
4、条件下，在上是单调函数，求的取值范围19（本题满分13分）有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g(0) 时，湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染
5、停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？20（本题满分13分）已知数列中，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若函数求函数的最小值；（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。21( 本小题满分13分） 已知函数f（x）=ax+lnx ，其中a为实常数，设e为自然对数的底数. （）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求a的值； （）当a=1时，试推断方程 | f（x）|=是否有实数解.参考答案一、D A A C A A B C A B二、11. 2 1
6、2. -20 13. 13 14.（1 ，2 ） 15.1三、16. I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）17.（1 P（A）=1-P（）=1-=（2）记“至少游览一处景点的事件”为A则分别记“客人游览岳麓山”，“客人游览岳阳楼”，“客人游览南岳”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.
7、P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）1 3 P0.760.24=20.40.50.6=0.24，P（=1）=10.24=0.76.所以的分布列为E=10.76+30.24=1.48.）18. 1）由得, 得 1 若则无最小值.故. 2欲使取最小值为0,只能使,得,.5得则,，又,，7又 9 (2). 得.则,. 当,或或时,为单调函数.综上,或.1419. 解（1）g(t)为常数, 有g(0)-=0, g(0)= .(2) 我们易证得0t1t2, 则g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0
8、,t1e,g(t1)g(t2).故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)e,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.20. 21. ）=a+，x(0，e)，+1分 （1）若a，则0，从而f(x)在(0，e)上增函数.f(x)max =f(e)=ae+10.不合题意. 3分 （2）若a0a+0，即0x由f(x)0a+0，即xe.f(x)=f()=1+ln().令1+ln()=3，则ln()=2.=e，即a=e2. e2，a=e2为所求. 6分 （）当a=1时，f(x)=x+lnx，=1+=.当0x0；当x1时，0.f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+）上减函数.从而f(x)=f(1)=1.f(x)=x+lnx1，从而lnxx1. 8分令g(x)=|f(x)|=xlnx=x(1+)lnx （1）当0x0. （2）当x2时，g(x)=1()lnx+(1+)= =.g(x)在2，+上增函数，g(x)g(2)=综合（1）、（2）知，当x0时，g(x)0，即|f(x)|.故原方程没有实解. 13分
