1、期末复习讲义四(直线和圆、圆锥曲线)班 级 _ 姓 名 _ 学 号 _ 成 绩_一、填空题:1已知直线 1:(2)10laxay,2:20laxy则“3a”是“1l 2l”的条件充分不必要2一个圆经过椭圆221164xy 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为_22325()24xy3若双曲线221yxk 的焦点到渐近线的距离为 2 2,则实数 k 的值是8 4已知正方形 ABCD 的坐标分别是(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),动点 M 满足:12MBMDkk 则 MAMC2 2MA MC5已知圆22:(1)(2)2Cxy,若等边三角形 PAB 的一边 AB
2、为圆C 的一条弦,则 PC 的最大值为_ 2 26椭圆 C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别是12,F F,A 为椭圆上一点,120AF AF,2AF 与 y 轴交与点 M,若254F MMA,则椭圆离心率的值为解 析:设(0,)Mm,(,)A x y,因 为254F MM A,所 以5(,)(,)4c mx ym,解 得49,55xc ym,又因为120AF AF,所以999(,)(,)05555cmcm,解得229cm,因为点 A 在椭圆22221xyab上,所 以2222168112525cmab,即222216912525ccab,又 即42241 65 02 50caca
3、,从而421650250ee,解得104e.7下列四个命题,其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)渐近线方程为)0,0(baxaby的双曲线的标准方程一定是12222 byax.抛物线2axy 的准线方程为4ay.已知142:222mymxC(Rm),当2m时C 表示椭圆.F 为 抛 物 线)0(22ppxy的 焦 点,A,B,C 为 抛 物 线 上 三 点,且0FCFBFA,则pFCFBFA3|.8已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点12,F F,梯形的顶点,A B 在双曲线上且12F AABF B,12/F FAB,则双曲线的离心率的取值范围是解析:设点 00,B xy
4、,则0012xexa,所以02axe,因0 xa,所以23e;又0 xc,故 2,1212,3e;9已知实数0p,直线3420 xyp与抛物线22xpy和圆222()24ppxy从左到右的交点依次为,ABCD、则 ABCD的值为 116 10若在给定直线txy上任取一点,P 从点 P 向圆8)2(22 yx引一条切线,切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQPM 则t 的范围是),62,(【解析】设),(),(txxPnmM若恒有,PQPM 则有,8)2()()(2222txxntxmx即有Rxtntnmxnm,0)442()422(22恒成立,,0442042222tntnmnm消去,m 得.
5、0)42()2(2tntn 0)42(4)2(2tt,),62,(t.二、解答题:11已知,A B C 是椭圆22:14xWy上的三个点,O 是坐标原点,(1)当点 B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点 B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由12在平面直角坐标系 xOy 中,已知点(3,4)A,(9,0)B,若C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点,且满足 ACBD(1)若4AC,求直线CD 的方程;(2)证明:OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O)解、(1)因为(3,4)A,所以22(3)45OA,1 分又因为4AC,所以
6、1OC,所以3 4(,)5 5C,3 分由4BD,得(5,0)D,所以直线CD 的斜率40153755 ,5 分所以直线CD 的方程为1(5)7yx,即750 xy 6 分(2)设(3,4)(01)Cmmm,则5OCm7 分则55ACOAOCm,因为 ACBD,所以5+4ODOBBDm,所以 D 点的坐标为(5+4,0)m,8 分OABDCxy(第 12 题)又设OCD 的外接圆的方程为22+0 xyDx EyF,则有2220,916340,54540.FmmmDmEFmmDF10 分解之得(54),0DmF,103Em,所以OCD 的外接圆的方程为22(54)(103)0 xymxmy,12
7、 分整理得22435(2)0 xyxym xy,令2243=0,+2=0 xyxyxy,所以0,0.xy(舍)或2,1.xy 所以OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)14 分13已知圆 O:224xy,点(3,0)A,以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O,记点 B 的轨迹为(1)求曲线 的方程;(2)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 中点时,求直线 AB 的方程。14椭圆 C:)0(12222babyax离心率22e,准线方程为22x,左、右焦点分别为21,FF(1)求椭圆 C 的方程(2)已知点 1,2P点 M 在线段2PF 上,且321 MFMF,MF1延长线交椭圆
8、于点 Q,求21MQFMPFSS;点 A、B 的椭圆 C 上动点,PA、PB 斜率分别为21,kk,当2121kk时,求PBPA的取值范围 14.解:(1)22142xy(4 分)(2)P(2,1),F2(2,0),设 M(2,)t(1t0)由 MF1+MF23 有22(2 2)3(01)ttt 解得16t 1(2,)6M则直线 F1M 方程为:1(2)12 2yx由221(2)12 2142yxxy且 x0 得51,527Q(7 分)21QFPFkk故11PFBF1MPF2MF Q1222225652516MPFMF QSPMSF M(10 分)(3)设 PA:11(2)yk x,则 PB:
9、111(2)2yxk 由122(2)1142yk xxy得211212 24221Akkxk同理21121242 221Bkkxk0ABxx(13 分)又点 A、B 在椭圆 C 上,则 O 为线段 AB 中点 PA PB22()()()()POOAPOOBPOOA POOAPOOA点 A 在椭圆 C 上,222,OAb a,1,1PA PB(16 分)期末复习讲义四(直线和圆、圆锥曲线)课后作业班 级 _ 姓 名 _ 学 号 _ 成 绩_一、填空题:1、椭圆171622 yx上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 25 2.已知双曲线2221(0)yxmm的一条渐近线方程为30 xy,则m 33
10、3直线01 yax被圆0222aaxyx截得的弦长为 2,则实数a 的值是24顶点在原点且以双曲线1322 yx的右准线为准线的抛物线方程是_.xy625已知直线l 过点)2,1(P且与圆2:22 yxC相交于BA,两点,ABC的面积为 1,则直线l 的方程为.10 x ,3450 xy 622:3:312 l yxPCxy过直线 上一点 作圆的两条切线,若两切线关于l直线 对称,PC则点 到圆心 的距离为.10解析:由圆的平面几何知识可得 CPl7设12,F F 是双曲线22124yx 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PFPF,则12PFF的周长248设斜率为22 的直线 l 与
11、椭圆22221(0)xyabab交于不同的两点 P、Q,若点 P、Q在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为解析:设点 P、Q 在 x 轴上的射影分别为焦点 F1、F2,|PF1|=22 c(其中 c 为|OF1|的长),从而|PF2|=22112|PFF F=3 22c,所以 2a=|PF1|PF2|=2 2c,得 e=22 9 已知圆 O:),0,1(,422Myx直线byxl:,P 在圆 O 上,Q 在直线l 上,满足MQMPMQMP,0,则b 的最大值为222 10已知圆22:1C xy 与 x 轴的两个交点分别为,A B(由左到右),P 为C 上的动点,l 过点 P
12、 且与 C 相切,过点 A 作 l 的垂线且与直线 BP 交于点 M,则点 M 到直线290 xy 的距离的最大值是解析:连接 OP,则2MA,所以 M 的轨迹为圆 2214xy,圆心到直线290 xy的距离为 102 55,所以点 M 到直线290 xy的距离的最大值为2 5211 已知椭圆 E:22221(0)xyabab的离心率为22,且过点23(,)22P右焦点为 F,点 N(2,0)(1)求椭圆 E 的方程;(2)设动弦 AB 与 x 轴垂直,求证:直线 AF 与直线 BN 的交点 M 仍在椭圆 E 上解:(1)解:因为22e,所以2ac,b=c,即椭圆 E 的方程可以设为22221
13、2xybb将点 P 的坐标代入得:213144b,所以,椭圆 E 的方程为2212xy(2)证明:右焦点为 F(1,0),设00(,)A xy,由题意得00(,)B xy所以直线 AF 的方程为:00(1)1yyxx,直线 BN 的方程为:00(2)2yyxx,、联 立 得,0000(1)(2)12yyxxxx,即003423xxx,在 代 入 得,000034(1)1 23yxyxx,即0023yyx所以点 M 的坐标为000034(,)23 23xyxx又因为2222220000200034(34)21()()22 23232(23)MMxyxyxyxxx将220012xy 代入得,220
14、22202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)MMxxxxxxyxxx所以点 M 在椭圆 E 上12如图,已知 P 是以1(1,0)F 为圆心,以 4 为半径的圆上的动点,P 与2(1,0)F所连线段的垂直平分线与线段1PF 交于点 M(1)求点 M 的轨迹 C 的方程;(2)已知点 E 的坐标为(4,0),直线 l 经过点2(1,0)F并且与曲线 C 相交于 A,B 两点,求ABE面积的最大值解析:(1)22143xy;(2)9213平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C:)0(12222babyax的离心率为 21,右焦点 F(1,0),
15、点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O:222byx相切于点 M.(1)求椭圆 C 的方程;(2)求|PM|PF|的取值范围;(3)若 OPOQ,求点 Q 的纵坐标 t 的值.(1)121cac2 分c=1,a=2,3b,椭圆方程为13422 yx4 分(2)设),(00 yxP,则)20(13402020 xyxPM=0202020202134333xxxyx,6 分PF=0212x8 分PMPF=1)2(41)4(412000 xxx,200 x,|PM|PF|的取值范围是(0,1).10 分(3)法一:当 PMx 轴时,P)23,3(,Q),3(t 或),3(t,由
16、0OQOP解得32t12 分 当 PM 不 垂 直 于 x 轴 时,设),(00 yxP,PQ 方 程 为)(00 xxkyy,即000ykxykxPQ 与圆 O 相切,31|200kykx,33)(2200kykx002ykx33220202kyxk13 分又),(00tkkxytQ,所以由0OQOP得00000)(kyxkxyxt14 分200200202)()(kyxkxyxt0020220200202)(ykxykxykxx33)33(22020220220220kyxkykxkx=33)433)(1()1()33(2202202220kxkxkkx=12,32t16 分法二:设),(
17、00 yxP,则直线 OQ:xyxy00,),(00ttxyQ,OPOQ,OPOQ=OMPQ2020002220202020)()(3tytxyxttxyyx12 分)(33)(220202020220220202020202022020txxyxtytxyxyxxtyx)(3)(22022020txtyx,332020202yxxt14 分1342020 yx,4332020 xy,1241320202xxt,32t16 分14已知椭圆:C222210 xyabab的左、右焦点分别为1F,2F,点0,2M是椭圆的一个顶点,21MFF是等腰直角三角形(1)求椭圆C 的方程;(2)设点 P 是椭
18、圆C 上一动点,求线段 PM 的中点Q 的轨迹方程;(3)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为1k,2k,且128kk,探究:直线 AB 是否过定点,并说明理由.(1)由已知可得222,28bab,所求椭圆方程为22184xy(2)设点 11,yxP,PM 的中点坐标为 yxQ,则1482121 yx 由201xx,221yy得22,211yyxx代入上式 得11222 yx(3)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 ykxm,依题意2m设),(11 yxA,),(22 yxB,由,14822mkxyyx得 2221 24280kxkmxm 则2121222428,1212kmmxxx xkk 由已知1212228yyxx,所以1212228kxmkxmxx,即1212228xxkmx x所以42mkkm,整理得122mk故直线 AB 的方程为122ykxk,即ky(21x)2所以直线 AB 过定点(2,21)若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为0 xx,设00(,)A x y,00(,)B xy,由已知0000228yyxx,得012x 此时 AB 方程为12x ,显然过点(2,21)综上,直线 AB 过定点(2,21)