1、期末复习讲义四（直线和圆、圆锥曲线）班 级 _ 姓 名 _ 学 号 _ 成 绩_一、填空题：1已知直线 1:(2)10laxay，2:20laxy则“3a”是“1l 2l”的条件充分不必要2一个圆经过椭圆221164xy 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_22325()24xy3若双曲线221yxk 的焦点到渐近线的距离为 2 2,则实数 k 的值是8 4已知正方形 ABCD 的坐标分别是(1,0),(0,1),(1,0)，(0,1)，动点 M 满足：12MBMDkk 则 MAMC2 2MA MC5已知圆22:(1)(2)2Cxy，若等边三角形 PAB 的一边 AB
2、为圆C 的一条弦，则 PC 的最大值为_ 2 26椭圆 C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别是12,F F，A 为椭圆上一点，120AF AF，2AF 与 y 轴交与点 M，若254F MMA，则椭圆离心率的值为解 析：设(0,)Mm，(,)A x y，因 为254F MM A，所 以5(,)(,)4c mx ym，解 得49,55xc ym，又因为120AF AF，所以999(,)(,)05555cmcm，解得229cm，因为点 A 在椭圆22221xyab上，所 以2222168112525cmab，即222216912525ccab，又 即42241 65 02 50caca
3、，从而421650250ee，解得104e.7下列四个命题，其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）渐近线方程为)0,0(baxaby的双曲线的标准方程一定是12222 byax.抛物线2axy 的准线方程为4ay.已知142:222mymxC（Rm），当2m时C 表示椭圆.F 为 抛 物 线)0(22ppxy的 焦 点，A，B，C 为 抛 物 线 上 三 点，且0FCFBFA，则pFCFBFA3|.8已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点12,F F，梯形的顶点,A B 在双曲线上且12F AABF B，12/F FAB，则双曲线的离心率的取值范围是解析：设点 00,B xy
4、，则0012xexa，所以02axe，因0 xa，所以23e；又0 xc，故 2,1212,3e；9已知实数0p，直线3420 xyp与抛物线22xpy和圆222()24ppxy从左到右的交点依次为,ABCD、则 ABCD的值为 116 10若在给定直线txy上任取一点,P 从点 P 向圆8)2(22 yx引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQPM 则t 的范围是),62,(【解析】设),(),(txxPnmM若恒有,PQPM 则有,8)2()()(2222txxntxmx即有Rxtntnmxnm,0)442()422(22恒成立，,0442042222tntnmnm消去,m 得.
5、0)42()2(2tntn 0)42(4)2(2tt，),62,(t.二、解答题：11已知,A B C 是椭圆22:14xWy上的三个点，O 是坐标原点，（1）当点 B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点 B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由12在平面直角坐标系 xOy 中，已知点(3,4)A，(9,0)B，若C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点，且满足 ACBD（1）若4AC，求直线CD 的方程；（2）证明：OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O）解、(1)因为(3,4)A，所以22(3)45OA，1 分又因为4AC，所以
6、1OC，所以3 4(,)5 5C，3 分由4BD，得(5,0)D，所以直线CD 的斜率40153755 ，5 分所以直线CD 的方程为1(5)7yx，即750 xy 6 分(2)设(3,4)(01)Cmmm，则5OCm7 分则55ACOAOCm，因为 ACBD，所以5+4ODOBBDm，所以 D 点的坐标为(5+4,0)m，8 分OABDCxy（第 12 题）又设OCD 的外接圆的方程为22+0 xyDx EyF，则有2220,916340,54540.FmmmDmEFmmDF10 分解之得(54),0DmF,103Em，所以OCD 的外接圆的方程为22(54)(103)0 xymxmy，12
7、 分整理得22435(2)0 xyxym xy，令2243=0,+2=0 xyxyxy，所以0,0.xy（舍）或2,1.xy 所以OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)14 分13已知圆 O：224xy，点(3,0)A，以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O，记点 B 的轨迹为（1）求曲线 的方程；（2）直线 AB 交圆 O 于 C，D 两点，当 B 为 CD 中点时，求直线 AB 的方程。14椭圆 C：)0(12222babyax离心率22e，准线方程为22x，左、右焦点分别为21,FF（1）求椭圆 C 的方程（2）已知点 1,2P点 M 在线段2PF 上，且321 MFMF，MF1延长线交椭圆
8、于点 Q，求21MQFMPFSS;点 A、B 的椭圆 C 上动点，PA、PB 斜率分别为21,kk，当2121kk时，求PBPA的取值范围 14.解：（1）22142xy（4 分）（2）P(2,1)，F2(2,0)，设 M(2,)t（1t0）由 MF1+MF23 有22(2 2)3(01)ttt 解得16t 1(2,)6M则直线 F1M 方程为：1(2)12 2yx由221(2)12 2142yxxy且 x0 得51,527Q（7 分）21QFPFkk故11PFBF1MPF2MF Q1222225652516MPFMF QSPMSF M（10 分）（3）设 PA：11(2)yk x，则 PB：
9、111(2)2yxk 由122(2)1142yk xxy得211212 24221Akkxk同理21121242 221Bkkxk0ABxx（13 分）又点 A、B 在椭圆 C 上，则 O 为线段 AB 中点 PA PB22()()()()POOAPOOBPOOA POOAPOOA点 A 在椭圆 C 上，222,OAb a，1,1PA PB（16 分）期末复习讲义四（直线和圆、圆锥曲线）课后作业班 级 _ 姓 名 _ 学 号 _ 成 绩_一、填空题：1、椭圆171622 yx上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 25 2.已知双曲线2221(0)yxmm的一条渐近线方程为30 xy，则m 33
10、3直线01 yax被圆0222aaxyx截得的弦长为 2，则实数a 的值是24顶点在原点且以双曲线1322 yx的右准线为准线的抛物线方程是_.xy625已知直线l 过点)2,1(P且与圆2:22 yxC相交于BA,两点，ABC的面积为 1，则直线l 的方程为.10 x ，3450 xy 622:3:312 l yxPCxy过直线 上一点 作圆的两条切线，若两切线关于l直线 对称，PC则点 到圆心 的距离为.10解析：由圆的平面几何知识可得 CPl7设12,F F 是双曲线22124yx 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PFPF，则12PFF的周长248设斜率为22 的直线 l 与
11、椭圆22221(0)xyabab交于不同的两点 P、Q，若点 P、Q在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为解析：设点 P、Q 在 x 轴上的射影分别为焦点 F1、F2，|PF1|=22 c(其中 c 为|OF1|的长)，从而|PF2|=22112|PFF F=3 22c，所以 2a=|PF1|PF2|=2 2c，得 e=22 9 已知圆 O：),0,1(,422Myx直线byxl:，P 在圆 O 上，Q 在直线l 上，满足MQMPMQMP,0，则b 的最大值为222 10已知圆22:1C xy 与 x 轴的两个交点分别为,A B（由左到右），P 为C 上的动点，l 过点 P
12、 且与 C 相切，过点 A 作 l 的垂线且与直线 BP 交于点 M，则点 M 到直线290 xy 的距离的最大值是解析：连接 OP，则2MA，所以 M 的轨迹为圆 2214xy，圆心到直线290 xy的距离为 102 55，所以点 M 到直线290 xy的距离的最大值为2 5211 已知椭圆 E：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点23(,)22P右焦点为 F，点 N（2,0）（1）求椭圆 E 的方程；（2）设动弦 AB 与 x 轴垂直，求证：直线 AF 与直线 BN 的交点 M 仍在椭圆 E 上解：（1）解：因为22e，所以2ac，b=c，即椭圆 E 的方程可以设为22221
13、2xybb将点 P 的坐标代入得：213144b，所以，椭圆 E 的方程为2212xy（2）证明：右焦点为 F（1,0），设00(,)A xy，由题意得00(,)B xy所以直线 AF 的方程为：00(1)1yyxx，直线 BN 的方程为：00(2)2yyxx，、联 立 得，0000(1)(2)12yyxxxx，即003423xxx，在 代 入 得，000034(1)1 23yxyxx，即0023yyx所以点 M 的坐标为000034(,)23 23xyxx又因为2222220000200034(34)21()()22 23232(23)MMxyxyxyxxx将220012xy 代入得，220
14、22202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)MMxxxxxxyxxx所以点 M 在椭圆 E 上12如图，已知 P 是以1(1,0)F 为圆心，以 4 为半径的圆上的动点，P 与2(1,0)F所连线段的垂直平分线与线段1PF 交于点 M（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知点 E 的坐标为（4,0），直线 l 经过点2(1,0)F并且与曲线 C 相交于 A，B 两点，求ABE面积的最大值解析：（1）22143xy；（2）9213平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C：)0(12222babyax的离心率为 21，右焦点 F（1,0），
15、点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 PQ 与圆 O：222byx相切于点 M.（1）求椭圆 C 的方程；（2）求|PM|PF|的取值范围；（3）若 OPOQ，求点 Q 的纵坐标 t 的值.（1）121cac2 分c=1，a=2，3b，椭圆方程为13422 yx4 分（2）设),(00 yxP，则)20(13402020 xyxPM=0202020202134333xxxyx，6 分PF=0212x8 分PMPF=1)2(41)4(412000 xxx，200 x，|PM|PF|的取值范围是（0,1）.10 分（3）法一：当 PMx 轴时，P)23,3(，Q),3(t 或),3(t，由
16、0OQOP解得32t12 分 当 PM 不 垂 直 于 x 轴 时，设),(00 yxP，PQ 方 程 为)(00 xxkyy，即000ykxykxPQ 与圆 O 相切，31|200kykx，33)(2200kykx002ykx33220202kyxk13 分又),(00tkkxytQ，所以由0OQOP得00000)(kyxkxyxt14 分200200202)()(kyxkxyxt0020220200202)(ykxykxykxx33)33(22020220220220kyxkykxkx=33)433)(1()1()33(2202202220kxkxkkx=12，32t16 分法二：设),(
17、00 yxP，则直线 OQ：xyxy00，),(00ttxyQ，OPOQ，OPOQ=OMPQ2020002220202020)()(3tytxyxttxyyx12 分)(33)(220202020220220202020202022020txxyxtytxyxyxxtyx)(3)(22022020txtyx，332020202yxxt14 分1342020 yx，4332020 xy，1241320202xxt，32t16 分14已知椭圆:C222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点0,2M是椭圆的一个顶点，21MFF是等腰直角三角形（1）求椭圆C 的方程；（2）设点 P 是椭
18、圆C 上一动点，求线段 PM 的中点Q 的轨迹方程；（3）过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线的斜率分别为1k，2k，且128kk，探究：直线 AB 是否过定点，并说明理由.（1）由已知可得222,28bab，所求椭圆方程为22184xy（2）设点 11,yxP，PM 的中点坐标为 yxQ,则1482121 yx 由201xx,221yy得22,211yyxx代入上式 得11222 yx（3）若直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为 ykxm，依题意2m设),(11 yxA，),(22 yxB，由,14822mkxyyx得 2221 24280kxkmxm 则2121222428,1212kmmxxx xkk 由已知1212228yyxx，所以1212228kxmkxmxx，即1212228xxkmx x所以42mkkm，整理得122mk故直线 AB 的方程为122ykxk，即ky（21x）2所以直线 AB 过定点（2,21）若直线 AB 的斜率不存在，设 AB 方程为0 xx，设00(,)A x y，00(,)B xy，由已知0000228yyxx，得012x 此时 AB 方程为12x ，显然过点（2,21）综上，直线 AB 过定点（2,21）