1、2011 年高考试题解析数学（文科）分项版 03 函数与导数 一、选择题:1.（2011 年高考山东卷文科 4)曲线211yx在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15【答案】C【解析】因为23yx,切点为 P（1，12），所以切线的斜率为 3,故切线方程为 3x-y+9=0,令x=0,得 y=9,故选 C.2.(2011 年高考安徽卷文科 5)若点(a,b)在lgyx图像上，a,则下列点也在此图像上的是（A）（a，b）(B)(10a,1b)(C)(a,b+1)(D)(a2,2b)【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数
2、函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lgba，lglgbaa ，即2,2ab 也在函数lgyx图像上.3.(2011 年高考安徽卷文科 10)函数()()nf xaxx 在区间0,1上的图像如图所示，则n 的值可能是（A）1(B)2(C)3(D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n 时()()()f xaxxa xxx，则()()fxaxx ，由()()f xa xx 可知，121,13xx，结合图像可知函数应在10,3递增，在 1,13递减，即在13x 取得最大值，由()()fa，知 a 存在.故
3、选 A.【解题指导】：排除法解决存在性问题和不确定性问题很有效。4.（2011 年高考山东卷文科 10)函数2sin2xyx的图象大致是 【答案】C【解析】因为12cos2yx,所以令12cos02yx,得1cos4x,此时原函数是增函数;令12cos02yx,得1cos4x,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.7(2011 年高考广东卷文科 4)函数1()lg(1)1f xxx的定义域是（）A(,1)B(1,)C(1,1)(1,)D(,)【答案】C【解析】由题得），（）函数的定义域为（且11,1-110101xxxx所以选 C.8(2011 年高考广东卷文科 10)设)(),
4、(),(xhxgxf是 R 上的任意实值函数如下定义两个函数 xgf 和 xgf；对任意Rx,)(xgfxgf；)(xgxfxgf则下列等式恒成立的是（）A )(xhghfxhgfB )(xhghfxhgfC )(xhghfxhgfD )(xhghfxhgf10.（2011 年高考江西卷文科 4)曲线xye在点 A（0,1）处的切线斜率为（）A.1 B.2 C.eD.1e【答案】A【解析】1,0,0exeyx.11.（2011 年高考福建卷文科 8)已知函数 f（x）=20,1,0 xxxx，。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】A【解析】
5、由题意知(1)2,f因为()(1)0f af,所以()20f a.当0a 时,()2,220aaf a 无解;当0a 时,()1f aa,所以1 20a ,解得3a .12.（2011 年高考海南卷文科 12)已知函数()yf x的周期为 2,当 1,1x 时2()f xx,那么函数()yf x的图象与函数|lg|yx的图象的交点共有()A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个【答案】A【解析】画出图象,不难得出选项 A 正确.13.（2011 年高考浙江卷文科 10)设函数 2,f xaxbxc a b cR，若1x 为函数 xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为 yf x的
6、图象是 【答案】D【解析】：2fxaxb，令()xg xf x e则()()xxg xfx ef x e()xfxf x e 22(2)(2)()xxaxbaxbxc eaxab xbc e，因为1x 为函数()g x 的一个极值点，所以1x 是2(2)()0axab xbc的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0aabbcaba bc 15.（2011 年高考四川卷文科 4)函数1()12xy 的图像关于直线 y=x 对称的图像大致是()答案：A解析：由112xy，得12log1xy，故函数112xy的反函数为12log1yx，其对应的函数图象为 A.16（2011 年高考湖南卷文科
7、7)曲线sin1sincos2xyxx在点(,0)4M 处的切线的斜率为（）A12B 12C22D2218.（2011 年高考陕西卷文科 4)函数13yx的图像是 【答案】B【解析】：13yx过(1,1)和(8,2)，由过(8,2)可知在直线 yx下方，故选 B 19.（2011 年高考全国卷文科 2)函数2(0)yx x的反函数为（A）2()4xyxR（B）2(0)4xyx（C）24yx()xR（D）24(0)yx x22（2011 年高考湖北卷文科 3)若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg xe，则()g x A.xxeeB.1()2xxeeC.1
8、()2 xxeeD.1()2xxee答案：D解析：因为()()xf xg xe，则()()xfxgxe，即()()xfxgxe，故由-可得1()()2xxg xee，所以选 D.23.（2011 年高考辽宁卷文科 11)函数 f(x)的定义域为 R，f(-1)=2,对任意 xR，()2f x,则()24f xx的解集为(A)(-1，1)(B)(-1，+)(c)(-，-l)(D)(-,+)26（2011 年高考重庆卷文科 6)设11333124log,log,log,233abca b c则的大小关系是AabcBcbaCbacDbca【答案】B 二、填空题:25.（2011 年高考山东卷文科 1
9、6)已知函数fx（）=log(0a1).a xx b a ，且当 2a3b4 时，函数fx（）的零点*0(,1),n=xn nnN则.【答案】2【解析】方程log(0a1)a xx b a ，且=0 的根为0 x,即函数log(23)ayxa的图象与函数(34)yxbb的交点横坐标为0 x,且*0(,1),xn nnN,结合图象,因为当(23)xaa时,1y ,此时对应直线上1y 的点的横坐标1(4,5)xb ;当2y 时,对数函数log(23)ayxa的图象上点的横坐标(4,9)x,直线(34)yxbb的图象上点的横坐标(5,6)x,故所求的5n.26.（2011 年高考浙江卷文科 11)设
10、函数k4()1f xx,若()2f a,则实数 a=_【答案】1【解析】：421211aaa 27.(2011 年高考江苏卷 2)函数)12(log)(5xxf的单调增区间是_【答案】1(,)2 【解析】考察函数性质，容易题。因为210 x ,所以定义域为1(,)2,由复合函数的单调性知:函数)12(log)(5xxf的单调增区间是1(,)2.28.(2011 年高考江苏卷 8)在平面直角坐标系 xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2)(的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_【答案】4【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为(0
11、)ykx k,则由2ykxyx解得交点坐标为2(,2)kkk、2(,2)kkk，即为 P、Q 两点，所以线段 PQ 长为22222 224kkkk，当且仅当1k 时等号成立，故线段 PQ 长的最小值是 4.29.(2011 年高考安徽卷文科 13)函数216yxx的定义域是.【答案】（3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由260 xx 可得260 xx，即+320 xx，所以 32x.30.(2011 年高考江苏卷 11)已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1()1(afaf，则 a 的值为_【答案】12 又()cax ba,所以ca
12、bax,所以2()ca()cacaacxx,由题意知,0ca,所以111(1)xx,整理得210 xx,所以512x或512x(舍去).33（2011 年高考湖南卷文科 12)已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g xf xgf则答案：6解析：(2)(2)93,(2)6gff 则，又()f x 为奇函数，所以(2)(2)6ff。34.（2011 年高考四川卷文科 16)函数 f x 的定义域为 A,若12,x x A，且 12f xf x时总有12xx，则称 f x 为单函数.例如 21f xxxR是单函数，下列命题：函数 2f xxxR是单函数；函数()2()xf xxR是
13、单函数，若()f x 为单函数，12,x xA且12xx，则12()()f xf x；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案：解析：(2)(2)ff，但 22，不正确；与“若12,x x A，且 12f xf x时总有12xx”等价的命题是“若12,x x A，且12xx时总有 12f xf x，故正确.35.（2011 年高考陕西卷文科 11)设lg,0()10,0 xx xf xx 则(2)f f =_.【答案】1【解析】：211(2)(10)()lg2100100f fff 36.（2011 年高考湖北卷文科 15)里氏震级 M 的计算公式为
14、：M=lgAlgA0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为 级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍.答案：6，10000 解析：由0111 1000 1 0.0016,MgAgAgg当为 9 级地震时，则有9001191gAMgAgA当为 5 级地震时，则有500115 1gAMgAgA，故09 1910gAA,05 1510gAA，则9451010000AA.37.(2011 年高考江苏卷 12)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 P 是函
15、数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在 P 处的切线l 交 y 轴于点 M，过点 P 作l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_.7（2011 年高考重庆卷文科 7)若函数1()2f xxn(2)n 在 xa处取最小值，则a A12B13C3 D4【答案】C 39.(2011 年高考安徽卷文科 11)设()f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，()f x=22xx，则(1)f.【答案】3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题.【解析】2(1)(1)2(1)(1)3ff .三、解答题:40.（2011 年高
16、考江西卷文科 20)(本小题满分 13 分）设 nxmxxxf2331.（1）如果 32 xxfxg在2x处取得最小值5，求 xf的解析式；（2）如果Nnmnm,10，xf的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和 n 的值(注：区间ba,的长度为ab）.41.（2011 年高考福建卷文科 22)（本小题满分 14 分）已知 a，b 为常数，且 a0，函数()ln,()2f xaxbaxx f e （e=2.71828是自然对数的底数）.（I）求实数 b 的值；（II）求函数 f（x）的单调区间；（III）当 a=1 时，是否同时存在实数 m 和 M（mM），使得对每一个tm，M，直线 y=t与
17、曲线1y=f(x)(x,)ee都有公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 M；若不存在，说明理由.【解析】(1)由()2f e 得2b.(2)由(1)可得()2ln,f xaxax 从而()lnfxax,因为 a0，故有:当0a 时,由()0fx 得1x;由()0fx 得01x;当0a 时,由()0fx 得01x;由()0fx 得1x.综上所述,当0a 时,函数()f x 的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1);当0a 时,函数()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,).(3)当1a 时,()2ln,f xxx ()lnfxx.由(2)可得,当 x 在
18、区间 1(,)ee内变化时,()fx,()f x 的变化情况如下表:x1e1(,1)e1(1,)ee()fx-0+()f x22e单调递减极小值 1单调递增2又22e 或时，方程无解.（）当1n 时，2111111326fhh，不等式成立；假设*()nk k时，不等式 1116f k h khhh k成立，当1nk 时，11111f kh khhh kh k 211112132kkkk 2111236kkk 22111236kkk221111232366kkk所以，当1nk 时，不等式成立，综上，对一切*n，不等式都成立.43.（2011 年高考陕西卷文科 19)（本小题满分 12 分）如图，
19、从点1(0,0)P做 x 轴的垂线交曲线xye于点1(0,1),Q曲线在1Q 点处的切线与 x 轴交于点2P，再从2P 做 x 轴的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,.;,nnP Q PQP Q 记kP 点的坐标为(,0)(1,2,.,)kxkn.（）试求1x 与1kx 的关系(2)kn（）求112233.nnPQPQPQPQ 解：（）设11(,0)kkPx，由xye 得111(,)kxkkQxe点处切线方程为 111()kkxxkyeexx由0y 得1 1(2)kkxxkn。（）110,1kkxxx ，得(1)kxk，(1)kxkkkP Qee 112233.n
20、nnSPQPQPQPQ112(1)111.11nnneeeeeeee 44.（2011 年高考陕西卷文科 21)（本小题满分 14 分）设()ln.()()()f xx g xf xfx。（）求()g x 的单调区间和最小值；（）讨论()g x 与1()g x的大小关系；（）求a 的取值范围，使得()()g ag x 1a对任意 x 0 成立。45.（2011 年高考湖北卷文科 19)（本小题满分 12 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，
21、造成堵塞，此时车速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米,/小时，研究表明：当 20200 x时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.()当 0200 x时，求函数()v x 的表达式；()当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f xx v x可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时）本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（1）由题意：当020 x时，()60v x；当 20200 x时，设().v xaxb再由已知得 2000,2060.abab解
22、得1,3200.3ab 故函数 v(x)的表达式为60,020,()1(200),20200.3xv xxx（2）依题意并由（1）可得60,020,()1(200),20200.3xxf xxxx，当 020 x时，()f x 为增函数.故当 x=20 时，其最大值为 6020=1200；当 20200 x时，211(200)10000()(200).3323xxf xxx当且仅当200 xx，即100 x 时，等号成立.所以，当100 x 时，()f x 在区间20，200上取得最大值100003.综上，当100 x 时，()f x 在区间0，200上取得最大值1000033333.即当车流
23、密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时.46.（2011 年高考湖北卷文科 20)（本小题满分 13 分）设函数322()2,()32f xxaxbxa g xxx，其中,xR a b为常数，已知曲线()yf x与()yg x在点(2,0)处有相同的切线 l.()求的值，并写出切线 l 的方程；()若方程()()(1)f xg xm x有三个互不相同的实数根120,x x，其中12xx，且对任意的12,xx x，恒成立，求实数 m 的取值范围.（2）由（1）得22()452f xxxx，所以32()()32.f xg xxxx依题意，方程2(32)0 x
24、 xxm有三个互不相同的实根 0、x1、x2，故 x1、x2 是方程2320 xxm的两相异的实根.所以=9-4（2-m）0，即1.4m 又对任意的12,()()(1)xx xf xg xm x成立.特别地，取1xx时，111()()f xg xmxm 成立，得 m0.则12()()()()0.f xg xmxx xxxx又111()()0,f xg xmx所以函数()()f xg xmx在12,xx x的最大值为 0.于是当 m0函1222221222101(31)(1)1(31)(1)0,02(1)2(1)1(31)(1)(1)(31)(1)123412(1)2(1)2(1)34112=2
25、22(1)0aaaaaaxxxaaaaaaaaaaaaaaxaaaaaaaaaaaaa ax 数在（，+）单调递增.当a1时，a1（）1202(1)01(31)(1)1(31)(1)0+2(1)2(1)1(31)(1)1+(31)(1)10,0,0+32(1)2(1)1(31)(1)1+(31)(2(1)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxaaaaaaaaaaaa 此时函数在（，）单调递减，在（，）单调递增。当01时，函数在（，）单调递减，在（，）单调递增。当00,g(x)=0 的两根都小于 0，在(0,)上，()0fx，故()(0,)f x在上单调递增(3)当2a 时,0,g(x)=0
26、 的两根为221244,22aaaaxx，当10 xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx；当2xx时，()0fx，故()f x 分别在12(0,),(,)xx 上单调递增，在12(,)x x上单调递减（II）由（I）知，2a 因为1212121212()()()(lnln)xxf xf xxxaxxx x，所以1212121212()()lnln11f xf xxxkaxxx xxx 又由(I)知，121x x 于是1212lnln2xxkaxx若存在a，使得2.ka则1212lnln1xxxx即1212lnlnxxxx亦即222212ln0(1)(*)xxxx再由（I）知，函数1()
27、2lnh tttt 在(0,)上单调递增，而21x ，所以222112ln12ln10.1xxx 这与(*)式矛盾故不存在a，使得2.ka49.（2011 年高考山东卷文科 21)（本小题满分 12 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 803 立方米，且2lr.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c.设该容器的建造费用为 y 千元.（）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的
28、r.【解析】（）因为容器的体积为 803 立方米，所以3243rr l 803,解得280433rlr,所以圆柱的侧面积为2 rl=28042()33rrr2160833rr,两端两个半球的表面积之和为24 r,所以 y 21608 rr+24 cr,定义域为(0,2l).50.（2011 年高考全国新课标卷文科 21)（本小题满分 12 分）已知函数xbxxaxf1ln)(，曲线)(xfy 在点)1(,1(f处的切线方程为032 yx，（1）求ba,的值（2）证明：当1,0 xx时，xxxf 1ln)(分析：（1）利用导数的几何意义列式求待定系数的值；（2）构造新函数求其导数，利利用单调性和
29、极值证明。解：（）22)1()ln1()(xbxxxxaxf，由题意知：21)1(1)1(ff即2121bab1ba（）由（）知xxxxf11ln)(，所以，)1ln2(111ln)(22xxxxxxxf设)0(,1ln2)(2xxxxxh则，22)1()(xxxh当1x时，0)(xh，而0)1(h故，当0)(),1(,0)()1,0(xhxxhx时当时得：0)(-112xhx从而，当0 x时，,01ln)(xxxf即1ln)(xxxf点评：这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用（证明不等式）；考查分析问题解答问题的能力；其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。51
30、（2011 年高考浙江卷文科 21)（本题满分 15 分）设函数22()ln(0)f xaxxax a（）求()f x 单调区间（）求所有实数a，使21()ef xe 对1,xe恒成立 注：e 为自然对数的底数 52.（2011 年高考全国卷文科 21)已知函数32()3(36)124f xxaxa xaaR()证明：曲线()0yf xx在的切线过点（2，2）；（）若00()f xxxx在处取得最小值，（1，3），求 a 的取值范围。【解析】()32()3(3 6)124f xxaxa xa，2()363 6f xxaxa，故 x=0处切线斜率36ka，又(0)124,124(36)fayaa
31、 x切线方程为 即(3 6)1240a xya，当2,2xy 时(3 6)22 1246 122 1240aaaa 故曲线()0(2,2)yf xx在处的切线过点（）0 x 处取极小值，令2()363 6,()g xxaxag x 由题意知在(1,3)有解 00)0;)0 xxxxxx且时g(时g(，故22(6)4 3(36)0(6)4 3(36)0(1)0(1)021(3)0(3)0aaaaggagg 或 53.(2011 年高考天津卷文科 19)（本小题满分 14 分）已知函数322()4361,f xxtxt xtxR 其中tR.（）当1t 时,求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切
32、线方程;()当0t 时,求()f x 的单调区间;()证明:对任意(0,)t ,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【解析】（）当1t 时,32()436,(0)0,f xxxx f 2()1266,(0)6fxxxf ,所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为6yx.()22()1266,fxxtxt令()0fx,解得 xt 或 2t,因为0t,以下分两种情况讨论:(1)若0t,则 2tt .当 x 变化时,()fx,()f x 的变化情况如下表:x (,)2t(,)2tt(,)t ()fx +-+()f x 所以()f x 的单调递增区间是(,)2t,(,)t ;()f x
33、 的单调递减区间是(,)2tt.x (,)t (,)2tt(,)2t (2)若0t,则 2tt .当 x 变化时,()fx,()f x 的变化情况如下表:所以()f x 的单调递增区间是(,)t,(,)2t ;()f x 的单调递减区间是(,)2tt.所以()f x 在(,1)2t内存在零点.若(1,2)t,37()(1)24tftt 37104 t,(0)10,ft 所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上,对任意(0,)t ,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究
34、函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.54.(2011 年高考江苏卷 17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x cm.()fx +-+()f x （1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问 x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3）最大，试问 x 应取何值？
35、并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.P 【解析】（1）由题意知,包装盒的底面边长为2x,高为 2(30)x,所以包装盒侧面积为 S=4 2x2(30)x=2308(30)8()8 2252xxxx ,当且仅当30 xx,即15x 时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，x 应 15cm.（2）包装盒容积 V=22x 2(30)x=322 260 2xx,(030)x 所以V 26 2120 2xx=6 2(20)x x,令0V 得020 x;令0V 得2030 x,所以当20 x 时,包装盒容积 V 取得最大值,此时的底面边长为20 2cm,高为10 2cm,包装盒的
36、高与底面边长的比值为 12.55.(2011 年高考江苏卷 19)已知 a，b 是实数，函数,)(,)(23bxxxgaxxxf)(xf 和)(xg是)(),(xgxf的导函数，若0)()(xgxf在区间 I 上恒成立，则称)(xf和)(xg在区间 I 上单调性一致（1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间),1上单调性一致,求实数 b 的取值范围；（2）设,0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不
37、等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。（1）因为函数)(xf和)(xg在区间),1上单调性一致，所以，xxEFABDC 1,),()()0,xfx g x 即 1,),x0,x 2（3+a）(2x+b)0,1,),0,ax 2x+b 即0,1,),2;axb b2x（2）当ba时，因为，函数)(xf和)(xg在区间（b,a）上单调性一致，所以，(,),()()0,xb afx g x 即(,),x0,xb a 2（3+a）(2x+b)0,(,),20baxb axb，2(,),3,xb a ax 23,bab 设 zab，考虑点(b,a)的可行域，函数23yx 的斜率为 1
38、 的切线的切点设为00(,)x y则0001161,612xxy max111()1266z ；当0ab时，因为，函数)(xf和)(xg在区间（a,b）上单调性一致，所以，(,),()()0,xa bfx g x 即(,),x0,xa b 2（3+a）(2x+b)0,(,),20bxa bxb，2(,),3,xa b ax 213,0,3aaa max1();3ba当0ab时，因为，函数)(xf和)(xg在区间（a,b）上单调性一致，所以，(,),()()0,xa bfx g x 即(,),(x0,xa b 22x+b)（3+a）0,b 而 x=0 时，x2（3+a）(2x+b)=ab0,不符
39、合题意，当0ab时，由题意：(,0),x0,xa 22x（3+a）2(,0),x0,30,xaaa 23+a 110,33aba 综上可知，max13ab。56.（2011 年高考辽宁卷文科 20)（本小题满分 12 分）设函数 f（x）=x+ax2+blnx，曲线 y=f（x）过 P（1,0），且在 P 点处的切斜线率为 2.（I）求 a，b 的值；（II）证明：f(x)2x-2。57.(2011 年高考安徽卷文科 18)（本小题满分 13 分）设2()1xef xax，其中a 为正实数（）当a43时，求()f x 的极值点；（）若()f x 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围。【命题意
40、图】：本题考察导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考察运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。【解析】：222 22 2(1)21 2()(1)(1)xxxeaxe axaxaxfxeaxax（1）当a43时，22248133()4(1)3xxxfxex，由()0f x 得24830 xx解得1213,22xx 由()0f x 得1322xx或，由()0f x 得 1322x，当 x 变化时()fx 与()f x 相应变化如下表：x 1(,)2 12 1 3(,)2 2 32 3(,)2 ()fx +0-0+()f x 极大值 极小值 所以，112x
41、是函数()f x 的极大值点，232x 是函数()f x 的极小值点。（2）因为()f x 为 R 上的单调函数，而a 为正实数，故()f x 为 R 上的单调递增函数()0fx恒成立，即2210axax 在 R 上恒成立，因此 2440aa，结合0a 解得 01a 【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：若函数()f x 在区间（a,b）上单调递增（递减），则()0f x（()0f x）若函数()f x 的导数()0f x（()0f x）
42、，则函数()f x 在区间（a,b）上单调递增（递减）若函数()f x 的导数()0f x 恒成立，则函数()f x 在区间（a,b）上为常数函数。58（2011 年高考重庆卷文科 19)（本小题满分 12 分，（）小题 5 分，（）小题 7 分）设3.2()21f xxaxbx 的导数为()fx，若函数()yfx的图像关于直线12x 对称，且(1)0f（）求实数,a b 的值（）求函数()f x 的极值解：（I）因322()21,()62.f xxaxbxfxxaxb故从而22()6(),66aafxxb即()yfx关于直线6ax 对称，从而由题设条件知1,3.62aa 解得又由于(1)0,620,12.fabb 即解得（II）由（I）知32()23121,f xxxx2()6612fxxx6(1)(2).xx令12()0,6(1)(2)0.2,1.fxxxxx 即解得当(,2),()0,()(,2)xfxf x 时故在上为增函数；当(2,1),()0,()(2,1)xfxf x 时故在上为减函数；当(1,),()0,()(1,)xfxf x时故在上为增函数；从而函数1()2f xx 在处取得极大值2(2)21,1fx在处取得极小值(1)6.f
