1、湖南省岳阳县一中2015届高三年级第三次月考试卷数学理【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。在考查学生基础知识的同时，考查学生的能力。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【题文】1. 设复数，若，则 ( )A B C D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】B 解析：
2、因为,所以，故选B.【思路点拨】先利用两个复数代数形式的乘法法则求出，由于它为实数，可得，由此求得x的值【题文】2. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A. B. C. D.【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质B12 B4【答案】【解析】D 解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论【题文】3. 在中,则等于( )A.B.C.D.【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】D 解析：由正弦定理有,为锐角,所以=.故选D.【思路点拨】由正弦定理可求得，再由，可得为锐角，
3、运算求得结果【题文】4. 已知为等差数列，其前n项和为Sn，若，则下列各式一定为定值的是（ ）A.B.C.D. 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和D2【答案】【解析】C 解析：定值，,故选C.【思路点拨】利用等差数列的前n项和，得到为定值，再利用等差数列的性质即可【题文】5. 已知，命题，则( )A是假命题; B是假命题; C是真命题; D.是真命题; 【知识点】命题的真假的判断；命题的否定.A2【答案】【解析】D 解析：恒成立,则在上单调递减,则恒成立,所以是真命题,故选D.【思路点拨】先对原函数求导，再利用单调性判断可知是真命题,然后再写出其否定命题即可。【题文】6. 设等比数列
4、的前 项和为,若 则 =（ ）A. 2 B. C. D.3【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】B 解析：,故选B.【思路点拨】根据等比数列的性质得到成等比列出关系式，又表示出S3，代入到列出的关系式中即可求出的值【题文】7. 函数是 ( ) A最小正周期为，值域为的函数 B最小正周期为，值域为的函数C最小正周期为，值域为的函数 D最小正周期为,值域为的函数【知识点】三角函数的周期；三角函数的值域.C3【答案】【解析】C 解析：，最小正周期为,因为,所以,即值域为,故选C.【思路点拨】先把原函数化简整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。【题文】8. 如图，面积为8的平行四边形对角线
5、，与交于点，某指数函数，经过点，则 （ ）A.B.C.D.【知识点】指数函数的图像与性质B6【答案】【解析】A 解析：设点，则点坐标为，又，平行四边形的面积，又平行四边形的面积为8,故选A.【思路点拨】首先设点设点，则点坐标为，又；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入求出a的值即可【题文】9. 已知,且成等比数列，则的最小值是A. 1 B. C. D. 【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】C 解析：因为成等比数列,则由,则所以当且仅当时取等号,所以,的最小值是,故选C.【思路点拨】依题意成等比数列，可得，再利用对数的运算法则结合基本不等式，即可求出xy的最小值【题文】10.
6、已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是( )A.B. C.D.【知识点】函数的单调性.B3【答案】【解析】A 解析：由题意可得对恒成立因为所以当时函数在R上是减函数,函数的值域为故(1)当时函数在R上是增函数,函数的值域为故 (2)由(1)(2)知,故选A.【思路点拨】先把原函数分离常数，结合对恒成立，然后对m分类讨论即可。【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分【题文】11. 已知集合,则实数的取值范围是 .【知识点】补集、并集的运算.A1【答案】【解析】 解析：，且，可得，故答案为。【思路点拨】先根据已知条件求出B的补集，再根据可求结果。【题文】12. 数列中
7、，则 .【知识点】数列的递推式.D1【答案】【解析】 解析：，故答案为。【思路点拨】由数列的递推式依次计算即可。【题文】13. 已知，则= .【知识点】两角和的正切公式.C5【答案】【解析】 解析：，又，则【思路点拨】先由解出,最后可得结果。【题文】14. 平面向量满足，则向量与的夹角为 【知识点】平面向量的数量积的运算；向量的夹角；向量的模.F2 F3【答案】【解析】 解析：，又，所以，所以向量与的夹角为，故答案为。【思路点拨】先根据已知条件结合向量的夹角公式计算出，再求夹角即可。【题文】15. 设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的范围是 .【知识点】函数的图象B8【答案】【解析】
8、 解析：当时.图象如下图一, 当时.图象如下图二,据图知的图象有三个不同交点,则满足【思路点拨】讨论a的取值范围，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【题文】三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16. （本小题满分12分）在正项等比数列中， 公比，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，当取最大值时，求的值.【知识点】数列的求和；等比数列的通项公式D3 D4【答案】【解析】（1）;（2） 解析：，是正项等比数列，.（2），且为递减数列当当取最大值时，【思路点拨】（1）利用等比数列的性质和通项公式即可得出；（2）利
9、用等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性即可得出【题文】17（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别是. 已知，.（1）求的值；（2）求的面积.【知识点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用C7 C8【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）因，故. 2分因，故. 4分由正弦定理，得. 6分（2）. 8分 . 10分则的面积为. 12分【思路点拨】（1）ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出b（2）利用公式求得cosB,sinC的值，再利用三角形面积公式即可。【题文】18（本小题满分12分）设约束条件所确定的平面区域为.（1）记平面区域的面积为Sf(t)，试求f
10、(t)的表达式（2）设向量，在平面区域（含边界）上，当面积取到最大值时，用表示，并求的最大值.【知识点】简单的线性规划.E5【答案】【解析】（1）f(t)t2t;（2） 解析：（1）由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积Sf(t)SOPDSAOBSECD，而SOPD121.SOABt2，SECD(1t)2，所以Sf(t)1t2(1t)2t2t.（2）由得所以Sf(t)t2t，则当时面积取到最大值. 点坐标为由线性规划知识，直线经过可行域中点时取到最大值，所以的最大值也为【思路点拨】(1)先由线性约束条件画出平面区域，进而求出面积即可；（2）由已知条件可用x,y表示出，由
11、线性规划知识，直线经过可行域中点时取到最大值，所以的最大值也为。【题文】19. （本小题满分13分）已知（1）求的最小值和的最大值；（2）若，问是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【知识点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域B1 B3【答案】【解析】（1）,（2）存在满足题设条件. 解析：（1）（2分）由于，当x=1时等号成立. （4分）故即x=1时，f(x)的最小值.（6分）又.故时，g(x)的最大值.（8分）（2）， 若能构成三角形，只需对恒成立.（10分）由（1）知（11分）（12分）
12、综上，存在满足题设条件. （13分）【思路点拨】（1）先考虑，再说明函数与在（-，1上均为减函数，在1，+）上均为增函数，从而求出函数的最小值（2）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）的结论可确定【题文】20. （本小题满分13分）若数列的前项和为，对任意正整数都有. （1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【知识点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合B7 D4 D5【答案】【解析】（1）；（2） 解析：(1)由，得，解得 2分由 ， 当时，有 ， 3分得：，4分数列是首项，公比的等比数列5分，6分（2）由（1）知7分所以9分当为偶数时，11分当为奇数时，所以1
13、3分【思路点拨】（1）由，得，解得，当时，有，两式相减可得数列是首项，公比的等比数列，进而得到通项公式；（2）根据条件得到的通项，然后对n分类讨论即可得到.【题文】21. （本小题满分13分）已知函数，其中为常数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在两个极值点,求证：无论实数取什么值都有,【知识点】利用导数求函数的单调区间。B12【答案】【解析】(1) 当时在区间上单调递增当时在上单调递减，在上单调递增， (2)见解析。解析：（1）函数的定义域为,记，判别式当即时，恒成立，所以在区间上单调递增当时，方程有两个不同的实数根记显然（i）若 ， 图象的对称轴，两根在区间可知当时函数单调递增，所以所以在区间上单调递增（ii）若 ,则图象的对称轴，所以，当时，所以，所以在上单调递减当时，所以，所以在上单调递增综上，当时在区间上单调递增当时在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且； ，又，记，则，所以在 时单调递增，所以，所以。【思路点拨】（1）先求出定义域，再结合判别式对方程的进行讨论，进而判断出单调区间；（2）对函数求导后得到根再结合单调性证明即可。
