1、2020-2021学年北京市大兴区高三定位考试本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知，则（A）（B）（C）（D）（3）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则角的终边在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（4）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（A）（B）
2、（C）（D）（6）已知函数，则“”是“为奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（A）（B）（C）（D）（8）等差数列的前项和为已知，记，则数列的（A）最小项为（B）最大项为（C）最小项为（D）最大项为（9）抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（A）（B）（C）（D）（10）在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（A）在正方形内一定存在一点，使得（B）在正方形内一定存在一点，使得（C）在正方形内一定存在一点，使得平面平面（D）在正方形内一定存在
3、一点，使得平面第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_（12）已知双曲线（其中）的渐近线方程为，则_，的右焦点坐标为_（13）已知平面向量与的夹角为，则_（14）已知函数若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是_，_(只需写出一组)（15）已知曲线，其中当时，曲线与有个公共点；当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；，曲线围成的区域内整点（即横、纵坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数其中，所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步
4、骤或证明过程。（16）（本小题14分）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）的值；（）的面积条件：，；条件：，为等腰三角形注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本小题共14分）如图，长方体中,，点为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（18）（本小题14分）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示：（）若某位顾客购买型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分期付款的概率；（）电商平台销
5、售一部型手机，若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为450元记电商平台销售两部型手机所获得的利润为(单位:元)，求的分布列；（）比较与的大小（只需写出结论）（19）（本小题14分）已知函数（）若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；（）若在上单调递增，求的最大值；（）请直接写出的零点个数.（20）（本小题14分）已知椭圆（）求椭圆的离心率；（）经过原点的直线与椭圆交于两点，直线与直线垂直，且与椭圆的另一个交点为（i）当点为椭圆的右顶点时，求
6、证：为等腰三角形；（ii）当点不是椭圆的顶点时，求直线和直线的斜率之比.（21）（本小题15分）对于给定的区间和非负数列若存在使，成立，其中，则称数列可“嵌入”区间.（）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间；.（）已知数列满足，若数列可“嵌入”区间，求数列的项数的最大值；（）求证：任取数列满足，均可以“嵌入”区间.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020-2021学年北京市大兴区高三定位考试数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）D （3）D（4）B （5）C（6）C （7）B（8）C（9）D（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
7、（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：选条件：，（）在中，因为，3分且，所以所以，（舍）5分由正弦定理得8分因为，所以9分所以10分（）因为13分在中，所以14分选条件：，为等腰三角形（）在中，因为，所以为钝角因为为等腰三角形，所以为顶角所以2分因为，5分所以由正弦定理得8分因为，所以9分所以10分（）因为13分在中，所以14分（17）（共14分）解：（）连接交于点，连接因为为长方体，所以为矩形所以点为中点又因为为中点，所以在中，2分又平面，平面，4分所以平面5分（）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系6分则，所以
8、，所以所以8分又，9分所以平面10分（）因为为长方体，所以平面所以取平面的法向量为，11分再由（），取平面的法向量为12分所以由题知二面角为钝角，所以其余弦值为14分（18）（共14分）解：（）设事件为“这位顾客两种手机都选择分期付款”1分故4分（）的所有可能值为5分所以的分布列为11分（）14分（19）（共14分）解：（）因为，所以2分由题设知，即，解得5分（）设所以7分令,因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以的最小值为，即的最小值为9分因为在上单调递增，所以对成立所以所以的最大值为11分（）当时，只有1个零点12分当时，有3个零点14分（20）（共14分）解：（）因为椭圆方程，所以1分
9、所以2分所以离心率4分（）（i）设由题设知，5分因为，所以点在以线段为直径的圆上，所以有6分又7分解得（舍）所以9分所以又10分所以，即为等腰三角形（ii）法1：设，且,.记直线的斜率分别为.所以.11分因为，所以.12分又.因为所以.13分所以.所以，即直线和直线的斜率之比为.14分（ii）法2：因为点不是椭圆的顶点，所以直线的斜率都存在且不为0，设直线的方程为由得由所以.设,的中点.因为12分所以，13分因为所以又因为所以.所以.14分（21）（共15分）解：（）不可以；可以.4分（）因为，所以.6分当为奇数时，取当为偶数时，取此时可取，所以10分（）设数列满足，构造数列如下：，其中.根据的定义知道，当时，因为，所以.当时，因为，所以.而所以所以任取数列满足，均可以“嵌入”区间.
