1、42.2指数函数的应用目标 1.会利用指数函数的单调性比较两个幂的大小；2.会利用指数函数的单调性解简单的指数不等式；3.会利用指数函数的单调性求指数型函数的值域重点 指数函数单调性的应用难点 求指数型函数的值域知识点一 比较幂的大小填一填比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较答一答1af(x)与()g(x)(a0，且a1)如何比较大小？提示：化为同底
2、的幂值，比如可将g(x)化为ag(x)知识点二指数函数型复合函数填一填指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如yaf(x)和yf(ax)(a0，且a1)通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系形如yaf(x)(a0，且a1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法利用复合函数的单调性：当a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相同；当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反答一答2讨论函数yx22x的单调性提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论函数yx22
3、x的定义域为R，令ux22x，则yu.列表如下：由表可知，原函数在(，1上是减函数，在(1，)上是增函数类型一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：(1)1.9与1.93；(2)0.72与0.70.3；(3)0.71与0.6.分析底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较解(1)指数函数y1.9x在R上是增函数，且3，1.91.93.(2)指数函数y0.7x在R上是减函数，且20.2680.70.3.(3)指数函数y0.7x在R上单调递减，且10.701.指数函数y0.6x在R上单调递减，且0，0.60.6.对于幂的大小比较，一般规律为：(1
4、)同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.(2)既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较.变式训练1比较下列各题中两个值的大小：(1)1.8，2.5；(2)0.5，0.5；(3)0.20.3,0.30.2.解：(1)因为02.5，所以1.80.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图象在函数y0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.3ax4(a0且a1)求x的取值范围解(1
5、)2x1(21)2x1212x.因此原不等式等价于212x21，又y2x是R上的增函数，所以12x1.所以x0.因此原不等式的解集是x|x0(2)当0a1时，由yax在R上单调递减得3xx4，即4x1.当a1时，由yax在R上单调递增得3xx4，即4x4.解得x1.综上，当0a1时，x的取值范围为(，1)解与指数有关的不等式时，需注意的问题：(1)形如axay的不等式，借助yax(a0，且a1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax(a0，且a1)的单调性求解；(3)形如axbx的形式，利用图象求解.变式训练2根据下列条件，
6、确定实数x的取值范围(1)0.23x1；(2)0且a1)解：(1)原不等式可化为513x52.函数y5x在R上是增函数，13x2，即xa.函数yax(a0且a1)，当a1时，y是增函数，当0a1时，由4x1知x；当0a1时，由4x1知x1时，x的取值范围是，当0a1时，x的取值范围是.类型三指数函数的单调区间例3判断f(x)()x2-2x的单调性，并求其值域分析先利用复合函数单调性判断f(x)的单调性，再利用单调性求值域解令ux22x，则原函数变为y()u.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又y()u在(，)上递减，y()x2-2x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(
7、x1)211，y()u，u1，)，00，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性它由两个函数yau，uf(x)复合而成2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过计算f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性变式训练3求函数y2的单调区间解：x22x30，即x22x30，1x3.函数的定义域为1,3，函数ux22x3(x1)24，其图象的对称轴为直线x1.ux22x3在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，y2u为增函数，函数y2在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，函数y2的单调增区间是1，1，减区间是1,3
8、1函数y1x的单调递增区间为(A)A(，)B(0，)C(1，) D(0,1)解析：函数定义域为R，设u1x，yu.u1x在R上为减函数，又yu在(，)为减函数，y1x在(，)是增函数，选A.2若2a132a，解得a.3设y140.9，y280.48，y31.5，则(D)Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2解析：40.921.8,80.4821.44，1.521.5，根据y2x在R上是增函数，所以21.821.521.44，即y1y3y2，故选D.4某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成512个解析：3
9、 h920 min，即经过9次分裂，可分裂为29512个5已知函数yx2-6x+17.(1)求此函数的定义域，值域(2)确定函数的单调区间解：(1)定义域为R，x26x17(x3)288，01，0 x2-6x+178，函数的值域为.(2)令tx26x17(x3)28，则yt.01，y()t为减函数，又tx26x17在(，3上单调递减，在3，)上单调递增函数的单调递增区间为(，3，单调递减区间为3，)本课须掌握的两大问题1比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2指数函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0aayxy.
