1、2020 年中考数学总复习二次函数压轴题专题练习1如图，顶点为 P（2，4）的二次函数 yax2+bx+c 的图象经过原点，点 A（m，n）在该函数图象上，连接 AP、OP（1）求二次函数 yax2+bx+c 的表达式；（2）若APO90，求点 A 的坐标；（3）若点 A 关于抛物线的对称轴的对称点为 C，点 A 关于 y 轴的对称点为D，设抛物线与 x 轴的另一交点为 B，请解答下列问题：当 m4 时，试判断四边形 OBCD 的形状并说明理由；当 n0 时，若四边形 OBCD 的面积为 12，求点 A 的坐标解：（1）图象经过原点，c0，顶点为 P（2，4）抛物线与 x 轴另一个交点（4，0
2、），将（2，4）和（4，0）代入 yax2+bx，a1，b4，二次函数的解析式为 yx24x；（2）APO90，APPO，A（m，m24m），m2，m，A（，）；（3）由已知可得 C（4m，n），D（m，n），B（4，0），CDOB，CD4，OB4，四边形 OBCD 是平行四边形；四边形 OBCD 是平行四边形，n0，124（n），n3，A（1，3）或 A（3，3）2在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+kx+c 的图象经过点 C（0，1），当 x2 时，函数有最小值（1）求抛物线的解析式；（2）直线 ly 轴，垂足坐标为（0，1），抛物线的对称轴与直线 l 交于点 A在x 轴上有一点 B，
3、且 AB，试在直线 l 上求异于点 A 的一点 Q，使点 Q 在ABC 的外接圆上；（3）点 P（a，b）为抛物线上一动点，点 M 为坐标系中一定点，若点 P 到直线 l 的距离始终等于线段 PM 的长，求定点 M 的坐标解：（1）图象经过点 C（0，1），c1，对称轴 x2，k1，抛物线解析式为 yx2x+1；（2）由题意可知 A（2，1），设 B（t，0），AB，（t2）2+12，t1 或 t3，B（1，0）或 B（3，0），B（1，0）时，A、B、C 三点共线，舍去，B（3，0），AC2，BC，BAC90，ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为 BC 的中点（，），半
4、径为，设 Q（x，1），则有（x）2+（+1）2（）2，x1 或 x2（舍去），Q（1，1）；（3）设顶点 M（m，n），P（a，b）为抛物线上一动点，ba2a+1，P 到直线 l 的距离等于 PM，（ma）2+（nb）2（b+1）2，+（2n2m+2）a+（m2+n22n3）0，a 为任意值上述等式均成立，此时 m2+n22n30，定点 M（2，1）3如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 BC2，tanOBC（1）求拋物线的解析式；（2）如图 2，若点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平
5、行线交直线 BC 于点 D，作 PEBC 于点 E，当点 P 的横坐标为 2 时，求PDE的面积；（3）若点 M 为抛物线上的一个动点，以点 M 为圆心，为半径作M，当M 在运动过程中与直线 BC 相切时，求点 M 的坐标（请直接写出答案）解：（1）BC2，tanOBC，OB4，OC2，点 B 为（4，0），点 C 为（0，2）代入 yx2+bx+c 中，c2，b，yx2+x+2；（2）当 x2 时，y3，P（2，3），B（4，0），C（0，2），直线 BC 的解析式为 yx+2，PD 平行于 y 轴，D（2，1），PD2，PD 平行于 y 轴，PDEOCB，PEBC，PEDCOB90，PDE
6、BCO，PDE 与BCO 的面积之比是对应边 PD 与 BC 的平方，BCO 的面积为 4，PED 的面积是 4；（3）过点 M 作 MGBC 于点 G，过点 M 作 MHAB 于点 H，MGHCOB，M 与直线 BC 相切，MG，MH5，设点 M（x，x2+x+2），如图 1，设 H（x+5，x2+x+2）代入 yx+2，x1 或 x5，M（1，0）或 M（5，3）；如图 2，点 H（x5，x2+x+2）代入 yx+2，方程无解，综上所述：M（1，0）或 M（5，3）4如图，抛物线 yax2+（4a1）x4 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OC2OB，点 D 为线段 OB
7、 上一动点（不与点 B 重合），过点 D 作矩形DEFH，点 H、F 在抛物线上，点 E 在 x 轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、N，连接 M、N若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积，求 m 的值解：（1）在抛物线 yax2+（4a1）x4 中，当 x0 时，y4，C（0，4），OC4，OC2OB，OB2，B（2，0），将 B（2，0）代入 yax2+（4a1）x4，得，a，抛物线的解析式为 yx2+x4
8、；（2）设点 D 坐标为（x，0），四边形 DEFH 为矩形，H（x，x2+x4），yx2+x4（x+1）2，抛物线对称轴为 x1，点 H 到对称轴的距离为 x+1，由对称性可知 DEFH2x+2，矩形 DEFH 的周长 C2（2x+2）+2（x2x+4）x2+2x+12（x1）2+13，当 x1 时，矩形 DEFH 周长取最大值 13，此时 H（1，），HF2x+24，DH，S 矩形 DEFHHFDH410；（3）如图，连接 BH，EH，DF，设 EH 与 DF 交于点 G，过点 G 作 BH 的平行线，交 ED 于 M，交 HF 于点 N，则直线 MN 将矩形 DEFH的面积分成相等的两半
9、，由（2）知，抛物线对称轴为 x1，H（1，），G（1，），设直线 BH 的解析式为 ykx+b，将点 B（2，0），H（1，）代入，得，解得，直线 BH 的解析式为 yx5，可设直线 MN 的解析式为 yx+n，将点（1，）代入，得 n，直线 MN 的解析式为 yx+，当 y0 时，x，M（，0），B（2，0），将抛物线沿着 x 轴向左平移个单位，抛物线与矩形 DEFH 的边交于点 M、N，连接 M、N，则 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积，m 的值为5如图 1，在平面直角坐标系中，已知直线 l1：yx+6 与直线 l2相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，与 y 轴相交于点 C，抛物线
10、 yax2+bx+c（a0）经过点 O、点 A 和点 B，已知点 A 到 x 轴的距离等于 2（1）求抛物线的解析式；（2）点 H 为直线 l2上方抛物线上一动点，当点 H 到 l2的距离最大时，求点 H的坐标；（3）如图 2，P 为射线 OA 的一个动点，点 P 从点 O 出发，沿着 OA 方向以每秒个单位长度的速度移动，以 OP 为边在 OA 的上方作正方形 OPMN，设正方形 POMN 与OAC 重叠的面积为 S，设移动时间为 t 秒，直接写出 S与 t 之间的函数关系式解：（1）点 A 到 x 轴的距离等于 2，点 A 的纵坐标为 2，2x+6，x4，A（4，2），当 y0 时，x+6
11、0，x6，B（6，0），把 A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入 yax2+bx+c 得，解得：，抛物线的解析式为 yx2+x；（2）设直线 l2的解析式为 ykx，24k，k，直线 l2的解析式为 yx，设点 H 的坐标为（m，m2+m），如图 1，过 H 作 HGy 轴交直线 l2 于 G，G（m，m），HGm2+mmm2+m（m2）+1，当 m2 时，HG 有最大值，点 H 的坐标为（2，2）；（3）当 0t时，如图 2，过 A 作 AEOB 于 E，OA2，tanAOE，NOPBOC90，HONAOE，tanNOHtanAOE，OPONNMPMt，NHNMt，S（t+t）tt2
12、；当t2 时，过点 P 作 PHx 轴，POHQON，OPt，OPONNMPMt，NQt，可求 P（2t，t），直线 MP 的解析式为 y2x+5tG（5t6，5t+12），GP3（2t），AP2t，MG63t，MGKAGP，GPAGKM，MKt2，Stt（t2）（63t）t2+40t30；当 2t时，可求 N（t，2t），则直线 MN 的解析式为 yx+t，K（4t，t+2），NQt，Q（0，t），MKt2，Stt（t2+t2）tt2+10t；当 t时，SSOAC4612；6如图 1，小明用一张边长为 6cm 的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为 xcm 的正方形
13、，再折成如图 2 所示的无盖纸盒，记它的容积为 ycm（1）y 关于 x 的函数表达式是y4x324x2+36x，自变量 x 的取值范围是0 x3；（2）为探究 y 随 x 的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：列表：请你补充表格中的数据：x00.511.522.53y012.51613.582.50描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图 3）描出相应的点；连线：用光滑的曲线顺次连结各点（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过 12cm3，估计正方形边长 x 的取值范围（保留一位小数）解：（1）yx（62x）24x324x2+36x（0 x3），故答案为：y4x
14、324x2+36x，0 x3；（2）在 y4x324x2+36x 中，当 x1 时，y16；当 x2 时，y8，故答案为：16，8；如图 1 所示，如图 2 所示，（3）由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过 12cm3，正方形边长 x 的取值范围大概为 0.4x1.77定义：若函数 yx2+bx+c（c0）与 x 轴的交点 A，B 的横坐标为 xA，xB，与 y 轴交点的纵坐标为 yC，若 xA，xB 中至少存在一个值，满足 xAyC（或xByC），则称该函数为友好函数如图，函数 yx2+2x3 与 x 轴的一个交点 A 的横坐标为 3，与 y 轴交点 C 的纵坐标为3，满足 xAyC，称
15、yx2+2x3 为友好函数（1）判断 yx24x+3 是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数 yx2+bx+c 表达式中的 b 与 c 之间的关系；（3）若 yx2+bx+c 是友好函数，且ACB 为锐角，求 c 的取值范围解：（1）yx24x+3 是友好函数，理由如下：当 x0 时，y3；当 y0 时，x1 或 3，yx24x+3 与 x 轴一个交点的横坐标和与 y 轴交点的纵坐标都是 3，yx24x+3 是友好函数；（2）当 x0 时，yc，即与 y 轴交点的纵坐标为 c，yx2+bx+c 是友好函数，xc 时，y0，即（c，0）在 yx2+bx+c 上，代入得：0c2+bc+c
16、，0c（c+b+1），而 c0，b+c1；（3）如图 1，当 C 在 y 轴负半轴上时，由（2）可得：cb1，即 yx2+bxb1，显然当 x1 时，y0，即与 x 轴的一个交点为（1，0），则ACO45，只需满足BCO45，即 BOCOc1；如图 2，当 C 在 y 轴正半轴上，且 A 与 B 不重合时，显然都满足ACB 为锐角，c0，且 c1；当 C 与原点重合时，不符合题意，综上所述，c1 或 c0，且 c18已知：抛物线 yax23（a1）x+2a6（a0）（1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点（2）设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1x2）若 t是关于
17、a 的函数、且 tax2x1，求这个函数的表达式；（3）若 a1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B平移后如图所示，过 A 作直线 AC，分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP1M 是线段 AC 上一动点，求 2MB+MC 的最小值（1）证明：b24ab3（a1）24a（2a6）a2+6a+9（a+3）2，a0，（a+3）20，抛物线与 x 轴有两个交点；（2）解：令 y0，则 ax23（a1）x+2a60，或，a0，且 x1x2，x12，ta5；（3）解：当 a1 时，则 yx24，向上平移一个单位得 yx23，令 y0，则 x230，得，OP1，直线，联立
18、：，解得，即，AO，在 RtAOP 中，AP2，过 C 作 CNy 轴，过 M 作 MGCN 于 G，过 C 作 CHx 轴于 H，CNx 轴，GCMPAO，又AOPCGM90，AOPCGM，B 到 CN 最小距离为 CH，MB+GM 的最小值为 CH 的长度，2MB+MC 的最小值为9如图，抛物线 y1ax2+c 的顶点为 M，且抛物线与直线 y2kx+1 相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（2，3），连结 AM、BM（1）a1，c1，k1（直接写出结果）；（2）当 y1y2时，则 x 的取值范围为1x2（直接写出结果）；（3）在直线 AB 下方的抛物线上是否存在
19、一点 P，使得ABP 的面积最大？若存在，求出ABP 的最大面积及点 P 坐标解：（1）将点 B 的坐标（2，3）代入 y2kx+1 得：32k+1解得：k1y2x+1令 y20 得：0 x+1解得：x1A（1，0）将 A（1，0）、B（2，3）代入 y1ax2+c 得：解得：a1，c1故答案为：1，1，1；（2）A（1，0）、B（2，3）结合图象可得：当 y1y2时，则 x 的取值范围为1x2故答案为：1x2；（3）在直线 AB 下方的抛物线上存在一点 P，使得ABP 的面积最大如图，设平行于直线 y2x+1 的直线解析式为：y3x+b由得：x21x+bx2x1b0令0 得：14（1b）0解
20、得：by3x，x2x1+0解得：x1x2P（，）当点 P 坐标为（，）时，ABP 的面积最大设 y3x与 x 轴交于点 C，则点 C 坐标为：（，0），过点 C 作 CDAB由平行线间的距离处处相等，可知线段 CD 的长度即为ABP 的高的长度y2x+1 与 x 轴所成锐角为 45ACD 为等腰直角三角形AC（1）CDA（1，0）、B（2，3）ABABP 的面积为：在直线 AB 下方的抛物线上存在一点 P，使得ABP 的面积最大；ABP的最大面积为；点 P 坐标为（，）10如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 yx2 的图象分别交 x、y 轴于点 A、B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、
21、B，点 P 为第四象限内抛物线上的一个动点（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图 1 所示，过点 P 作 PMy 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 C、D，若以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标；（3）如图 2 所示，过点 P 作 PQAB 于点 Q，连接 PB，当PBQ 中有某个角的度数等于OAB 度数的 2 倍时，请直接写出点 P 的横坐标解：（1）令 x0，得 yx22，则 B（0，2），令 y0，得 0 x2，解得 x4，则 A（4，0），把 A（4，0），B（0，2）代入 yx2+bx+c（a0）中，得：，解得：，抛物线的解析
22、式为：yx2x2；（2）PMy 轴，ADC90，ACDBCP，以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况：当CBP90时，如图 1，过 P 作 PNy 轴于 N，设 P（x，x2x2），则 C（x，x2），ABO+PBNABO+OAB90，PBNOAB，AOBBNP90，AOBBNP，即，解得：x10（舍），x2，P（，5）；当CPB90时，如图 2，则 B 和 P 是对称点，当 y2 时，x2x22，x10（舍），x2，P（，2）；综上，点 P 的坐标是（，5）或（，2）；（3）OA4，OB2，AOB90，BOA45，BQP2BOA，分两种情况：当P
23、BQ2OAB 时，如图 3，取 AB 的中点 E，连接 OE，过 P 作 PGx 轴于 G，交直线 AB 于 H，OEAE，OABAOE，OEB2OABPBQ，OBPG，OBEPHB，BOEHPB，由勾股定理得：AB2，BE，GHOB，即，BHx，设 P（x，x2x2），则 H（x，x2），PHx2（x2x2）x2+4x，解得：x10，x23，点 P 的横坐标是 3；当BPQ2OAB 时，如图 4，取 AB 的 中点 E，连接 OE，过 P 作 PGx 轴于 G，交直线 AB 于 H，过 O 作 OFAB 于 F，连接 AP，则BPQOEF，设点 P（t，t2t2），则 H（t，t2），PHt
24、2（t2t2）t2+4t，OB4，OC2，BC2，OEBECE，OF，EF，SABP，2PQ4（t2+4t），PQ，OFEPQB90，PBQEOF，即，BQ，BQ2+PQ2PB2，44t2388t+8030，（2t11）（22t73）0，解得：t15.5（舍），t2；综上，存在点 P，使得PBQ 中有某个角的度数等于OAB 度数的 2 倍时，其 P 点的横坐标为 3 或11如图，抛物线 yax2+bx过点 A（，0）和点 B（，2），连结AB 交 y 轴于点 C（1）求抛物线的函数解析式；（2）点 P 在线段 AB 下方的抛物线上运动，连结 AP，BP设点 P 的横坐标为 m，ABP 的面积为
25、 s求 s 与 m 的函数关系式；当 s 取最大值时，抛物线上是否存在点 Q，使得 SACQs若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由解：（1）将点 A（，0）和点 B（，2）代入 yax2+bx，得，解得，抛物线的函数解析式为 yx2+x；（2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，将点 A（，0），B（，2）代入，得，解得，k，b1，直线 AB 的解析式为 yx+1，如图 1，过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 M，设 P（m，m2+m），则 M（m，m+1），PMm+1（m2+m）m2+，sPM（xBxA）（m2+）（+）m2+，s 与 m 的函数关系式为 sm2+；在 sm2
26、+中，当 m0 时，s 取最大值，P（0，），CP，SACQSABP，SAQB2SABP，可使直线 AB 向上平移 3 个单位长度，得直线 yx+4，联立，解得，x13，x23，Q 点坐标为（3，4+），（3，4）12某班“数学兴趣小组”对函数 yx22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下：其中，m0 x3210123y3m10103（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质：图象关于 y 轴对称（答案
27、不唯一）；（4）观察函数图象发现：若关于 x 的方程 x22|x|a 有 4 个实数根，则 a的取值范围是1a0解：（1）当 x2 时，y4220；故答案为：0（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示（3）观察函数图象，可得出：函数图象关于 y 轴对称，当 x1 时，y随 x 的增大而增大，函数有最小值1故答案为：图象关于 y 轴对称（答案不唯一）；（4）由函数图象知：关于 x 的方程 x22|x|a 有 4 个实数根，a 的取值范围是1a 0，故答案为：1a013如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）
28、点 P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，直接写出点 P的坐标和周长最小值；（3）为抛物线上一点，若 SQAB8，求出此时点 Q 的坐标解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点，解得，抛物线的解析式为 yx22x3；（2）连接 BC 交抛物线的对称轴与点 Pyx22x3，C（0，3），点 A 与点 B 关于 x1 对称，PAPBAP+PCCP+PB当点 P、C、B 在一条直线上时，AP+PC 有最小值又BC 为定值，当点 P、C、B 在一条直线上时，APC 的周长最小BC3，AC，PAC 的周长最小值为：AC+BC+3，设直线 BC 的解析式为 yk
29、x+b，则，解得：k1，b3直线 AD 的解析式为 yx3将 x1 代入 yx3 得：y2，点 P 的坐标为（1，2），即当点 P 的坐标为（1，2）时，PAC 的周长最小最小值为+3；（3）设 Q（x，y），则 SQABAB|y|2|y|8，|y|4，y4当 y4 时，x22x34，解得：x112，x21+2，此时 Q 点坐标为（12，4）或（1+2，4）；当 y4 时，x22x34，解得 x3x41；此时 Q 点的坐标为（1，4）；综上所述，Q 点坐标为（12，4）或（1+2，4）或（1，4）14如图，直线 yx+5 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 D，抛物线 yx2+bx+c与直
30、线 yx+5 交于 B，D 两点，点 C 是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 是直线 BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，过点 M 作x 轴的垂线，交直线 BD 于点 P，当线段 PM 的长度最大时，求 m 的值及 PM的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为3，若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由解：（1）yx+5，令 x0，则 y5，令 y0，则 x5，故点 B、D 的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：yx2+bx+5，将点 B 坐标代入上式并解得：b4，故抛物线的表达式为：yx2+4x+
31、5；（2）设 M 点横坐标为 m（m0），则 P（m，m+5），M（m，m2+4m+5），PMm2+4m+5（m+5）m2+5m（m）2+，当 m时，PM 有最大值；（3）如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于H，设 Q（x，x2+4x+5），则 G（x，x+5），QG|x2+4x+5（x+5）|x2+5x|，BOD 是等腰直角三角形，DBO45，HGQBGE45，当BDQ 中 BD 边上的高为 3时，即 QHHG3，QG36，|x2+5x|6，当x2+5x6 时，解得 x2 或 x3，Q（2，9）或（3，8），当x2+5x6 时，解得 x1 或
32、x6，Q（1，0）或（6，7），综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为 Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（1，0），Q4（4，5）15如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+的图象与 x 轴交于 B（1，0）、C（3，0）两点，点 A 为抛物线的顶点，F 为线段 AC 中点（1）求 a，b 的值；（2）求证：BFAC（3）以抛物线的顶点 A 为圆心，AF 为半径作A 点 E 是圆上一动点，点 P为 EC 的中点（如图 2）当ACE 面积最大时，求 PB 的长度；若点 M 为 BP 的中点，求点 M 运动的路径长解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3），即3a，解得：a，抛物线的表达式为：yx2+x+，故 b；（2）点 A 的坐标为：（1，2），则 ABABBC4，点 F 是 AC 的中点，AF AC 2，BFAC；（3）点 C（3，0），点 B（1，0），设点 E（m，n），由 AE2，根据两点间距离公式得：（m1）2+（n2）24，则点 P（，），点 M（，），设：x，y，则 m4x1，n4y，即点 M（x，y），将 m、n 的值代入式得：（4x1）2+（4y2）24，整理得：（x）2+（y）2，即点 M 到定点（，）的距离等于定值，故点 M 运动的轨迹为半径为的圆，则点 M 运动的路径长为（）2
