1、四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 文注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，10以内的素数，则 A BCD2已知是实数，是纯虚数，则 等于 ABCD3已知，则，的大小关系是 A B C D4已知数列是正项等
2、比数列，满足，则数列的通项公式 ABCD5若实数满足约束条件，则的最小值是 ABCD146已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是 ABCD7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 A41B42C43D448已知，则“”是“是直角三角形”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9函数的最小正周期为，若
3、其图象向右平移个单位后得到函数为奇函数，则函数的图象 A关于点对称B在上单调递增C关于直线对称D在处取最大值10已知、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为，则的最大值是 ABCD11已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足，则C的方程为 ABCD12.函数在上有两个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.第II卷 非选择题（90分）二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，1）在角的终边上，则sin2_14已知，则_15已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点，则双曲线的离心
4、率为_ .16已知三校锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、分别是、的中点，且，则球的表面积为_.三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17（12分）在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.18（12分）某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）
5、；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为，餐饮满意度为）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从且的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.19（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）若是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求的值.20（12分）已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，求与的面积
6、的积的取值范围.21（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）若函数的极小值为，求的值；（2）若，证明：当时，成立.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）设射线l的极坐标方程为，若射线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长；（2）设M，N是曲线C上的两点，若MON，求的面积的最大值23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）解不等式：；（2）若a，b，c均为正数，且，证明：.
7、2020年秋四川省宜宾市第四中学高三第一学月考试文科数学参考答案1D2D3A4D5B6A7A8D.9A10D11D12B131415或1617（1）解法一：由得，即所以，为锐角，即解法二：由得，即所以即，即为锐角，所以. （2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，当且仅当时取等号成立.，故的面积最大值为.解法二：，由正弦定理，得所以，-由因为，则当即时，故的面积最大值为.18.解：（1） （2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为，其方差为 （3） 符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为 ，“住宿满意度”为3的3人分别记为 .从这6人中抽取2人有
8、如下情况， ，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.19（1）（1）连接，且是的中点，又平面平面，平面平面，平面，平面. 又BD平面，又为菱形，且、分别为棱、的中点，又，平面；（2）如图，连接、，设，则，又，解得，即.20（1）因为曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3，所以曲线上的点到的距离和它到直线的距离相等，故曲线是为焦点，为准线的抛物线，故.（2）由题设知：，则，设，在轴上方，与联立，得，则，由，得时，则；时，则，故，联立消，得，解得，将代入，方程，两式相加得，解得，到的距离，与的面积的积的取值范围是.21（1）函数的定义域是R，时，对恒成立，在R上单调递减，函数无极
9、值，时，令，解得：，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，时，取极小值-1，即，令，则，在上单调递增，；（2），令，令，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，时，取得极小值，又，存在使得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，时，即，令，则对于恒成立，在上单调递增，即当时，时，故时，成立.22解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，其为过原点的圆整理得，其为过坐标原点的圆，根据转换为极坐标方程为，整理得，射线l的极坐标方程为与曲线C相交于A和B两点，由于射线l：过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点，所以，得；（2）设M，N，由于直线OC的斜率为，又圆C过原点，故过原点与圆C相切的切线的斜率为k，从而，得，当，即时，的最大值为123（1）函数.当时，解得，故.当时，46，恒成立.当时，解得，故，所以不等式的解集为.（2）由（1）知：，所以：，所以，所以，所以.当且仅当时，等号成立.所以.
