1、第二节 一元二次不等式(组)与简单线性规划问题 基础梳理1.二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)二元一次不等式表示平面区域：一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的_我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应_边界直线，则把边界直线画成_(2)判定方法 由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得到的实数的符号都_，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的_即可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域当C0
2、时，常取_作为特殊点 平面区域 包括 不包括 实线 相同正负号原点(3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的_，因而是各个不等式所表示平面区域的_ 2.线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的_ 线性约束条件 由x，y的_不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数_，如z2x3y等 线性目标函数 关于x，y的_解析式 交集公共部分不等式组一次解析式一次续表名称 意义 可行解 满足线性约束条件的_ 可行域 所有可行解组成的_ 最优解 使目标函数取得_或_的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的_或_问题 1.点(3,1)和(4,6
3、)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为_ 基础达标(7,24)解析：将点(3,1)和(4,6)依次代入3x2ya0中，则(3321a)3(4)26a0，解得7a24.解(x，y)集合最大值最小值 最大值最小值2.(教材改编题)ABC的三个顶点为A(2,4)，B(1,2)，C(1,0)，则ABC的内部用二元一次不等式组可表示为 _ 238044010 xyxyxy 解析：直线AB的方程为2x3y80，直线BC的方程为xy10，直线AC的方程为4xy40.故ABC的内部可表示为 238044010 xyxyxy 3.(必修5P77练习1改编)二元一次不等式组 表示的平面区域内的整点的坐标为
4、_ 0,0,40 xyxy(1，1)，(1，2)，(2，1)解析：坐标为整数的点叫整点，则根据题中的限制条件，易知满足题意的点有3个，即(1，1)，(1，2)，(2,-1)4.(2011南师附中期中调研)若实数x，y满足条件 则xy的最大值为_260204xyxyy，解析：根据题给条件作出可行域，求得最大值为5.5.在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为_ 解析：令 作出区域是等腰直角三角形，可求出面积S 211.1,0,0,uuxyuvvxyuv 12经典例题题型一 用二元一次不等式(组)表示平面区域【例1】(
5、2010陕西改编)设x，y满足约束条件(1)画出该不等式组所表示的平面区域；(2)求该平面区域所表示的面积；(3)分别写出x、y的取值范围；(4)x、y能同时取到最值吗？解：24120.xyxyx，(1)不等式x2y40表示直线x2y40上及左下方的点的集合，xy10 表示直线xy10上及左上方的点的集合，x20表示直线x20上及右方的点的集合，故原不等式组所表示的平面区域即为图示的三角形区域 (2)由直线x2y40与直线xy10可求得交点A(2,1)，同理可求得B(2,3)，C(2，3)，所以ABC的面积为S6412.(3)由(1)(2)可得x，y的取值范围分别为：2，2，3,3(4)由(2
6、)可得x，y能同时取到最小值，但不能同时取到最大值 变式11 双曲线x2y24的两条渐近线与直线x3围成一个三角形 区域，表示该区域的不等式组是_.解析：双曲线x2y24的两条渐近线方程为yx，两者 与直线x3围成一个三角形区域时有 0003xyxyx 题型二 求目标函数的最值【例2】(2010全国改编)若变量x，y满足约束条件 则zx2y的最大值为_ 1,0,20,yxyxy 分析：先作出可行域，再作出直线x2y0，找出最 优解，进而求出最大值 解：根据限制条件，画出可行域(如图)，由图可知，当直线l经过点A(1，1)时，z最大，且最大值为zmax 12(1)3.变式21 实数x，y满足约束
7、条件 目标函数zx3y，当 时取得最值，则a的取值范围是_ 10,20,1,xayxyx 1,0 xy解析：(1)若a0时，如图1，显然目标函数zx3y，当 时取得最大值 1,0 xy(2)若a0时，如图2，目标函数zx3y，当 时取得最小值的条件为 3a0.1,0 xy11,30aa综上，a的取值范围是3,0)(0，)题型三 线性规划的实际应用【例3】(2010陕西)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b(万吨)c(百万元)A 50%1 3 B 70%0.5 6 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，
8、则购买铁矿石的最少费用为_(百万元)分析：设铁矿石A购买了x万吨，铁矿石B购买了y万吨，将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型，进而画出可行域，求出最优解 解：设铁矿石A购买了x万吨，铁矿石B购买了y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，即求实数x，y满足约束条件 即(*)时，z3x6y的最小值 作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示现将直线z3x6y，即3x6y0平移，易知，当直线经过点P时，z取得最小值 解方程组得点P坐标为(1,2)故zmin316215.所以，购买铁矿石最少需要15百万元 变式31 (2010广东)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐已知一个单位的午餐
9、含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：方法一：设为该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z2.5x4y.可行域为 x0,y0,12x+8y64,即6x+6y42,6x+10y54,x0,y0,3x+2y16,x+y7,3x+5y27.可行
10、域如图所示，则z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是 zA2.594022.5，zB2.544322，zC2.524525，zD2.504832.比较知zB最小，因此，应当为该儿童预计4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求 方法二：设需要预计满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足 x0,y0,12x+8y64,即6x+6y42,6x+10y54,x0,y0,3x+2y16,x+y7,3x+5y27.让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在B(4,3)处取得最小值 因此，应当为该儿童预计4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求 (2010福建改编)设不等式组 所表示的平面区域为1，链接高考1230 xxyyx，平面区域2与1关于直线3x4y90对称，对于 1中的任意一点A与2中的任意一点B，|AB|的最小值等于_ 知识准备：1.会作不等式组 表示的平面区域；1230 xxyyx，2.会把原问题转化为点到直线的距离 解析：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍，画出已知不等式组表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小，故|AB|的最小值为24.