1、数学试卷一、单选题（共20题；共40分）1.双曲线 的实轴长为（ ） A.2B.C.1D.2.设M是ABC内一点，且 ， 定义f(M)=(m,n,p)，其中m、n、p分别是MBC、MCA、MAB的面积，若 ， 则的最小值是( )A.8B.9C.16D.183.已知集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.4.已知点 ，若直线过点 与线段 有公共点，则直线的斜率 的取值范围是（ ） A.B.C.D.5. 的值是（） A.B.C.D.6.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且 ，那么（ ） A.B.C.D.7.如果sinx+cosx= ，且0x，那么tanx的值是（ ） A. B. 或 C
2、. D. 或 8.已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为（ ） A.B.1C.D.29.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R（x）元与年产量x的关系是 则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ） A.150B.200C.250D.30010.设f（x）是 展开式的中间项，若f（x）mx在区间 ， ， 上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.（，5）B.（，5C.（5，+）D.5，+）11.已知椭圆的右焦点为F短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点若|AF+BF|=4，点M到直线l的距离不小
3、于 ， 则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.(0,B.(0,C.1)D.,1)12.现有两个命题：（1）若lgx+lgy=lg(x+y)，且不等式y-2x+t恒成立，则t的取值范围是集合P；（2）若函数 ， 的图像与函数g(x)=-2x+t的图像没有交点，则t的取值范围是集合Q；则以下集合关系正确的是（）A.PQB.QPC.P=QD.PQ=13.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A.B.C.D.14.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则= ( ) A.-12B.-2C.0D.415.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一
4、个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.16.若函数 在区间 内是减函数， ，则（ ） A.B.C.D.17.已知方程 有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.18.已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A.8B.9C.12D.1619.已知函数,设函数 ， 且函数的零点均在区间内，则b-a的最小值为（）A.8B.9C.10D.1120.如图，在菱形 中， ，线段 ， 的中点分别为 现将 沿对角线 翻折，使二面角 的在大小为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（） A.B.C.D.二、填空题（共10题；共10分）21.（1+x）5（1 ）5的展开式
5、中的x项的系数等于_ 22.某种细菌在培养的过程中，每20min分裂一次（一个分裂为两个），经过3h，这样的细菌由一个分裂为 _个 23.设 （ ， 是虚数单位），满足 ，则 _. 24.已知直线l：xcos+ysin=cos与y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则 + =_ 25.计算：sin cos =_ 26.已知 ， ，且 ，则 的最大值为_ 27.已知 是函数 的导数， 有 ， ，若 ，则实数 的取值范围为_ 28.已知ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且 ，若 ，则 的取值范围是_ 29.设集合 ，其中 是复数，若集合 中任意两数之积及任意一个数的平方仍是 中的元素，则集
6、合 _； 30.九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体 ，如图，四边形 ， 均为等腰梯形， ，平面 平面 ，梯形 ， 的高分别为 ， ，且 ， ， ，则 _. 三、解答题（共6题；共50分）31.设f（x）=sinxcosxcos2（x+ ） （1）求f（x）的单增区间和 的值； （2）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（ ）=0，a=1，求ABC面积的最大值（参考公式：m2+n22mn） 32.已知 展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（）求n；（）求展开式中 的项；（）求展开式系数最大项. 3
7、3.已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、2+6i，且O是坐标原点，OABC求顶点C所对应的复数z 34.已知 为实常数，函数 . （1）若 在 是减函数，求实数a的取值范围； （2）当 时函数 有两个不同的零点 ，求证： 且 .（注： 为自然对数的底数）； （3）证明 35.过抛物线 的焦点 作直线与抛物线 交于 两点，当点 的纵坐标为1时， . （1）求抛物线 的方程； （2）若直线的斜率为2，问抛物线 上是否存在一点 ，使得 ，并说明理由. 36.已知函数 , （）求函数 的单调减区间；（）证明: ；（）当 时， 恒成立，求实数 的值. 答案解析部分一、单选
8、题1.【答案】 A 2.【答案】 D 3.【答案】C 4.【答案】 C 5.【答案】 C 6.【答案】A 7.【答案】 A 8.【答案】B 9.【答案】 D 10.【答案】 D 11.【答案】 A 12.【答案】 C 13.【答案】 A 14.【答案】 C 15.【答案】 C 16.【答案】 C 17.【答案】 A 18.【答案】 B 19.【答案】 C 20.【答案】 C 二、填空题21.【答案】10 22.【答案】 512 23.【答案】1 24.【答案】 1 25.【答案】 26.【答案】 27.【答案】 28.【答案】 29.【答案】 或 30.【答案】 三、解答题31.【答案】 （1
9、）解：f（x）=sinxcosxcos2（x+ ） = sin2x = sin2x+ sin2x =sin2x ，令2k 2x2k+ ，求得k xk+ ，可得函数的增区间为k ，k+ ，kZf（ ）=sin = （2）解：在锐角ABC中，若f（ ）=sinA =0， 则sinA= ，A= ，a=1，由余弦定理可得a2=1=b2+c22bccosA=b2+c2bc2bcbc=bc，即bc1，当且仅当b=c时，取等号故ABC面积为 bcsinA= bc ，即ABC面积的最大值为 32.【答案】解：（） ， ， （） ，令 ，得 .展开式中 的项为 .（）设第 项的系数为 ，则 ，由 得 ，所以 .
10、展开式系数最大项为 . 33.【答案】 解：由题意可得O（0，0），A（1，2），B（2，6），设C（x，y） 由等腰梯形可得|OC|=|AB|且OABC， ，解得 ，或 （舍去）顶点C所对应的复数z=534.【答案】 （1）解：因 ，则 ，又 在 是减函数所以 在 时恒成立，则实数a的取值范围为 （2）解：因当 时函数 有两个不同的零点 ，则有 ，则有 .设 . .当 时， ；当 时， ；所以 在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .由于 ，且 ，所以 ，又 ，所以 .下面证明：当 时， .设 ，则 . 在 上是增函数，所以当 时， .即当 时， .由 得 .所以 .所以 ，即 ， ，
11、 .又 ，所以 ， .所以 .而 ，则有 .由（1）知 ，则 在 内单调递增，在 内单调递减，由 ，得 .所以 ， （3）解：由（1）知当a=1时， 在 上是减函数，且 所以当 时恒有 ，即 当 时，有 ，即 ，累加得： （ ）35.【答案】 （1）解：由抛物线的定义可得 ，故抛物线方程为 （2）解：假设存在满足题设条件的点 ，则设直线 代入 可得 设 ，则 。因为 ，则由 ： ，即 ，也即 ，所以 ，由于判别式 ，此时 ，则存在点 ，即存在点 满足题设。 36.【答案】解： () 因为 由 ，得 所以f(x)的单调递减区间是 .() 记h(x)f(x) g(x) , , 所以 在R上为减函数因为 所以存在唯一 ，使 即 ， ,当 时， ；当 时， .所以 所以 () 因为 ,所以 ,易证 ,当 时取到等号，由 得 , ,所以 即
