1、杭州二中 2022 学年第一学期高三年级第一次月考数学试卷命题：孙惠华 校对，审核：金洁本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合2sin1,50AxxxRBxR xx，则 AB （）（A）0,2（B）0,2（C）2（D）3,222.已知向量22sin,1,cos,3ab，若/ab，则锐角 的值是（）（A）6（B）4（C）3（D）5123.“sincos1”是“sin 20”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充
2、要条件（D）既不充分也不必要条件4.已知 是方程210 xx 的虚数根，则220231 （）（A）0（B）1（C）1322 i（D）1322 i5.与函数25yx的奇偶性相同，且在0,上有相同的单调性的是（）（A）sinsinyxx（B）12xy（C）3logyx（D）xxyee6.已知,0,1a b c，若434,3,2ln2abcaee beece（e 是自然对数的底数），则有（）（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab7.已知点 P 在函数 ln2f xxx的图像上，点Q 是在直线22ln 260 xy上，记MPQ，则（）（A）M 有最小值 3 105（B）当 M 取最小值时，点
3、Q 的横坐标是125（C）M 有最小值 3 55（D）当 M 取最小值时，点Q 的横坐标是1458.在 ABC中，角,A B C 所对的边为,a b c，满足3acb，则 tantan22AC 的值为（）（A）15（B）14（C）12（D）23二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知在同一平面的单位向量e 和非零向量,a b，则下列命题正确的是（）（A）()=()（B）|()|（C）若 =0且 =0，则/ab（D）若 abab，则ab10.在 ABC中，角,A
4、B C 所对的边分别是,a b c，下列条件中，能使得 ABC的形状唯一确定的有（）（A）1,2,abcZ（B）1,3,2abACB（C）sinsin2 sinsin,150,2aAcCaCbB Ab （D）cossincoscoscossin0,60,2ABCBCBCCc 11.已知 211xxef xx，则（）（A）不等式 0f x 的解集为 1,12（B）函数 f x 在0,1 单调递减，在 3,2单调递增（C）方程 f xm有两个不同的根的充要条件是0,1m（D）若关于 x 的方程 f xm无解，则实数m 的取值范围是321,4e12.下列命题正确的是（）（A）函数 2214sinco
5、sf xxx的最小值为9（B）函数 222sinsinf xxx的最小值为2 2（C）函数 2441sincosf xxx的最小值为12（D）函数 26127sincosf xxx的最小值为 1 47 13 132三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.已知2sincos，则22sin2cos _.14.已知关于 x 的方程 sincos2axbx有实数解，则2211ab最小值是 _.15.在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且14BEBA，点 F 为线段 BD 上的一动点（包含端点），若,CFCEBAR，则 11的取值范围为_ 16.已知对所有的非负整
6、数,x y xy均有11222fxyfxyxyfxfy ，若 13f，则 5f _.杭州二中 2022 学年第一学期高三年级第一次月考数学答卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678选项二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号9101112选项三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13._ 14._ 15._ _ 16._ 四、解答题：本题共 6 小题，共
7、 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分 10 分)如图，已知边长为2 的正方形 ABCD 中，点 P 在以 BC 为直径的 的圆周上运动。（）当,P O D三点共线时，求 的值；（）求 的取值范围。18.（本题满分 12 分）已知函数 sin 2 coscos2 sinf xxx（）如果函数 yf x在8x 处取到最大值或最小值，求 的最小值；（）设 224g xfxfx，若对任意的 x 有 1g x 恒成立，求 的取值集合。OPBCDA19.(本题满分 12 分)在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，若满足：2coscossin2sincoss
8、inCAACBB。（）求 ac的值；（）若15sin,24Bb，求 ABC的面积。20(本题满分 12 分)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列 1，2 进行构造，第一次得到数列 1，2，2；第二次得到数列 1，2，2，4，2；依次构造，第*n nN次得到的数列的所有项的积记为na，令2lognnba （）求1,2,3的值;求数列 nb的通项公式nb；（）求证：123111111112nbbbb 21(本题满分 12 分)有 3 名志愿者在 2022 年 10 月 1 号至 10 月 5 号期间参加核酸检测工作（）若每名志
9、愿者在这 5 天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求 3 名志愿者恰好连续 3 天参加核酸检测工作的概率；（）若每名志愿者在这 5 天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记 表示这 3名志愿者在 10 月 1 号参加核酸检测工作的人数，求随机变量 的分布列及数学期望()22.（本题满分 12 分）已知函数 2lnaf xxx（）是否存在实数 a 使得 f x 在0+，上有唯一最小值 12，如果存在，求出 a 的值；如果不存在，请说明理由；（）已知函数 f x 有两个不同的零点，记 f x 的两个零点是1212,x xxx 求证：2111xxea 求证：12
10、112lnln2exx 杭州二中 2022 学年第一学期高三年级第一次月考数学卷评分参考一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678选项CAACDBDC二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号9101112选项CDABABDACD三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13._75_ 14._64 2_ 15._9,35,4 _ _ 16._31_8.C；解析：
11、由3acb得 sinsin3sinACB 而 ABC，2sincos3sincos2222ACA CACAC 0sin0222ACAC 所以cos3cos22ACAC coscossinsin3coscos3sinsin222222221tantan222ACACACACAC 12.ACD;解析：（A）正确 2222222214sincossincoscos4sin59sincosf xxxxxxxxx（B）不正确 2222sin2 2sinsin2f xxxx（C）正确 22224222324224116sin8cos8cos16sincos41216sin38cos8cos16sincos
12、121sincos2f xxxxxxxxxxxxx（D）正确 223333232222200sin,cos27127127818127012781812811811628181101334713 1362xaxbababababbaaaatabbbbf tttttftttttttf tf t 15.94 5,3,4 解析 1：+11+44CFCEBACB BEBACBBABACBCD 51159591544444 58 544,2 545514 122251114 145102 544 12 54ff 故 f 在区间1,04上单调减，在区间0,2 54 单调减，在区间 2 54,1 单调增 故
13、 9,35,4f 16.31 解析：令 001xyf 当0y 时，2423fxf xx 令 127xf 令 2421xf 再令 2,1313xyf 令 3,2531xyf 17.（）点,P O D共线时，如图，点 P 有 2 个位置满足条件，即12,P P 当点 P 在位置1P 时，1115,2PDPOODAD 5cos5DOC，所以52 5152255PD AD 3 分 当点 P 在位置2P 时，2251,2P DODPOAD 5cos5DOC，所以52 5512255PD AD 5 分（）取 AD 的中点 M，则 PD ADPMMDPMMA 2221PMDMPM 2 12 113PMPM
14、0,8PD AD 当 PMAD时，取到端点。10 分 建坐标系法：同样给分 18.（）函数 yf x在8x 处取到最大值或最小值 32824kk 所以min4 5 分 P2P1M（）224g xfxfx 22sin2sin2()4xx 22sin2cos21 cos 421cos 422211cos 42cos 421 sin 4 sin 212sin 4 sin 20sin 20()2xxxxxxxkxkZ 故,2kkZ 12 分 19.（）2coscossin2sincossinCAACBB 2sin()sinBCAB 12sinsin2aACc 5 分（）15sin,2sinsin4BA
15、C，设2axcx，则有 2222222cos444cosbacacBxxxB 151sincos44BB 265 141,3xxx，故当15x 时，2115sinsin24SacBxB 10 分 当63x 时，2121515sinsin2346SacBxB 12 分 20.（）1232,5,14bbb 3 分 设第n 次构造后得到的数列为1，1x，2x，kx，2.则122nkax xx，则第1n 次构造后得到的数列为 1，1x，1x，12x x，2x，1kkxx，kx，2kx，2.则33311214422nnknaax xxa，312121loglog132nnnnbaab ，111322nn
16、bb，又212log 22b，数列12nb是以 32为首项，3 为公比的等比数列，11333222nnnb，312nnb 8 分（）1123331113313131nnnnnnb 11101211231111111131 31 31313 31 31 31312 3231nnnnnnbbbb 12 分 21.（）名志愿者每人任选一天参加核酸检测，共有种不同的结果，这些结果出现的可能性都 相等设“名志愿者恰好连续天参加核酸检测工作”为事件则该事件共包括不同的结果 所以 3333A181255P A；5 分（）的可能取值为、1、，324325CC527012P ，2112344325541125C
17、 CCCP ，222343254C362125CCP，3325483125CP ，0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 9 分 2754368601331251251251255E 12 分 22.解（）22312ln02aaf xxfxxaxxx 当0a 时，函数 f x 单调增，没有最值；当0a 时，函数 f x 单调增，没有最值；当0a 时，02xa时，函数取到最小值200022001111lnln2222aaf xxxaxx；存在满足条件的12a 3 分（）22ln0lnaf xxaxxx，令 21ln2 ln0g xxxgxxxxxe函数 g x 在10,
18、e上单调减，在1,e单调增，故 g x 在0,上有唯一最小值点11,2ee，若方程2 lnaxx有两个不同的零点1212,x xxx，则1,02ae，且110,xe，21,1xe函数 g x 的图像在点2111,0,ee处的切线方程分别为1yx 和1yxe 且在10,e内 1g xxe，在1,1e上 1g xx先证：211lnln00,1xxxxxxee，1lnr xxxe 再证：22ln1ln10 xxxxxx ，令 2 ln12 ln100,110h xxxxhxxxxxh xh 令341,11xaxea xaxae ，即可得13242143,111xx xxxxxxaeaea 7 分21
19、1122222212lnlnln11lnaxxxxaaxxxx 122212121122lnln2lnln222eeaaexxxxxx 即2212221221212222121211lnln21ln0112122xxxxxeexxxxxxx 即22221221211ln0221xxxexxx，令211xt tx，即证明221ln02 21ettt 方法 1 令 221ln2 1 2eth ttt，显然 10h 2222222222 1214123121212ttttteteh ttttt 令 222421234431r ttette t 31236868162 430,0,44eertte tttt 故 r t 在区间6868,0,44ee 上单调递减，在区间6868,0,44ee 上单调递增，又因6814e ，所以 r t 在区间1,上单调递增，故 1930r tre 所以 h t 在区间1,上单调递增，所以 10h th，不等式得证。12 分 方法 2 要证当1,t 时，221ln02 1 2eth ttt 引用当1,t 时，21ln1ttt（证明略）2222222222222111lnln2 122122111421021122 112teeth tttttttete tetttt h x =ln x +e 1 x22+4x2