1、市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 1页共 12页泉州市 2020 届普通高中毕业班第一次质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
2、，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置。13214 4315 3(,0)4，274162 7(,27三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注满分 12 分【解析】思路探求 1：在 RtABC中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出A
3、DC为等边三角形，再利用余弦定理即求出7BD 的长度.（1）解法一：在 RtABC中，由=6ACB，3BC 得1AB，=3BAC，2AC.2 分又2=3DACACB，=3ADC，所以ADC为等边三角形，所以2AD.4 分在ABD中，由余弦定理得，2222cosBDABADABADBAD，即2222122 1 2cos=73BD ，解得7BD.6 分思路探求 2：在 RtABC中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC为等边三角形，再由角的关系推导出ABD是直角三角形，利用勾股定理即求出7BD 的长度.市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 2页共 12页（1）解法二：在 RtAB
4、C中，由=6ACB，3BC 得1AB，=3BAC，2AC.2 分又2=3DACACB，=3ADC，所以ADC为等边三角形，所以2CD，=3ACD，.4 分因为=6ACB，所以=+=362BCDACBACD；在ABD中，由勾股定理得222223+2=7（）BDCBCD，解得7BD.6 分思路探求 1：由题目已知条件2DACACB，可将所要的角转化到ACD中，再将 AC 用RtABC中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.（2）解法一：设=ACB，ABx，则2DAC，3DCx.7 分在 RtABC中，=sinsinABxAC，.8 分在ACD中，根据正弦定理得，sinsinDCACDA
5、CADC，即3sinsin2sin 3xx，.10 分3sinsin23sinxx，332sincos2sinxx.11 分解得3cos4，即3cos=4ACB.12 分思路探求 2：由题目已知条件2DACACB，可将所要的角转化到ACD中，利用正弦定理求市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 3页共 12页出 AC，再将 AC 用 RtABC中边角来表示，最后再由等量代换求解即可得.（2）解法二设=ACB，ABx，则2DAC，3DCx.7 分在ACD中，根据正弦定理得，sinsinDCACDACADC，即3sin 2sin 3xAC 得xxACcossin432sin23.9 分在 RtAB
6、C中，=sinsinABxAC.10 分所以xxsincossin43，.11 分解得43cos即3cos=4ACB.12 分思路探求 3：作辅助线，过点C 作ADCE 于点 E，构造两个直角三角形，将 AC 用边角来表示，再将 AC 用 RtABC中边角来表示，最后再由等量代换求解即可得.（2）解法三过点 C 作ADCE 于点 E设=ACB，ABx，则2DAC，3DCx.7 分在RtCDE 中，xxDDCCE233sin3sin；.8 分在RtACE 中，xxCAECEACcossin432sin23sin.9 分在 RtABC中，=sinsinABxAC.10 分所以xxsincossin
7、43，.11 分解得43cos即3cos=4ACB.12 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 4页共 12页18本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注满分 12 分解：解法一：（1）依题意知，因为CDBE，所以 PEBE，1 分当平面 PBE 平面 ABED 时,平面 PBE 平面 ABCDBE=，PE 平面 PBE，所以 PE 平面 ABCD，2 分因为AB平面 ABCD,所以 PEAB，3
8、 分由已知，BCDD是等边三角形，且 E 为CD 的中点，所以 BECD，CDAB/，所以 ABBE，4 分又 PEBEE=，所以 AB 平面 PBE，5 分又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PBE.（2）以 E 为原点，分别以 ED，EB,EP 的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyzE,则)0,0,0(E，)1,0,0(P，)0,3,0(B，)0,3,2(A，)1,0,0(EP，)0,3,2(EA，)0,0,2(BA，)1,3,2(PA，7 分设平面 PAB 的一个法向量)(m111z,y,x，平面 PAE 的一个法向量)(n222z,y,x由00mP
9、AmBA得0301111zy2x2x；令11 y，解得31 z，01 x，所以)30,1,(m，8 分由00nEAnEP得030222y2xz；令22y，解得32 x，02 z，市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 5页共 12页所以(3,-2,0)n，9 分22222202027cos,.72701(3)(3)(2)0m nm nmn 11 分易得所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为77.12 分解法二：（1）同解法一（2）由(1)知 PE 平面 ABCD,且 PE 平面 PAE,所以平面 PAE 平面 ABCD.在 ABE中，作 BFAE,垂足 F.因为平面 PAE 平面 ABCDAE
10、，BF 平面ABCD，所以 BF 平面 PAE.7 分所以 BFAP.因为 BPBCAB，所以 ABP是等腰三角形.取 AP 的中点G，并连接 FG,BG，则 BGAP.8 分又 BFBGB,所以 AP 平面 BFG.所以BGF为二面角EPAB的平面角.9 分在 RT ABE中，2AB,3BE,7AE 所以232 2177BF.10 分同理，在 RT ABP中，2ABBP,2 2AP，所以2BG.11 分在 RT BFG中，147GF,所以7cos7FGBGFBG.所以二面角EPAB的余弦值为77.12 分19本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算
11、求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注满分 12 分解法一：（1）由己知得221ab，1 分因点3(1,)2P在椭圆上，所以221914ab 2 分所以224,3ab3 分所以椭圆 的方程为：22143xy 4 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 6页共 12页（2）设直线l 的方程为12yxt，5 分联立2212143yxtxy，消去 y 得2230 xtxt，7 分在 时，12xxt ，1223x xt8 分由1212340 x xy y，即12121134022x
12、xxtxt，所以21212220 x xt xxt（*）.9 分将12xxt ，1223x xt代入（*）式，解得22t，10 分由于圆心O 到直线l 的距离为22 255td，11 分所以直线l 被圆O 截得的弦长为284 152 42 455ld.12 分解法二：（1）2222332(1 1)(0)(1 1)(0)422a,所以2a 2 分所以222c4 13ba 3 分所以椭圆 的方程为：22143xy 4 分（2）同解法一.12 分20本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、
13、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：A 材料B 材料合计成功453075不成功52025合计5050100A 材料或 B 材料的数据对，给 1 分，全对 2 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 7页共 12页 2 分2K 的观测值2100(45 205 30)=1250 50 75 25 k，4 分由于126.635，故有 99%的把握认为试验成功与材料有关5 分（2）生产 1 吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为 X 万元6 分易知 X 可取 0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 7 分2021220=2312P XC，21212
14、40.1=2312P XC，2221220.2=2312P XC，2021110.3=2312P XC，2121120.4=2312P XC，2221110.5=2312P XC，9 分则 X 的分布列为：X00.10.20.30.40.5P16131611216112修复费用的期望：11111100.10.20.30.40.50.263612612E X.11 分所以石墨烯发热膜的定价至少为0.2+1+1=2.2 万元/吨，才能实现预期的利润目标 12 分21本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识
15、，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养满分 12 分解：（1）当0a时，2cosxexfx，1 分记 xfxg，则 xexgxsin,当0 x时，1sin1,1xex，所以 0sinxexgx，xg在，0单调递增，2 分列式 1 分，结果 1 分最后回答对，无大小比较，不扣分单位：元，0,1000,2000也可22000 元/吨，也可列式 1 分，结果 1 分分布列没写，不扣分概率值没化简不扣分对 1-3 个，1 分全对，2 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第
16、 8页共 12页所以 00 gxg，因为 0 xgxf，所以 xf在，0为增函数；3 分当0 x时，1cos1,1xex，所以 02-cosxexfx，所以 xf在，0为减函数.4 分综上所述，xf的递增区间为，0，递减区间为，0.5 分（2）由题意可得 22cosaxxexfx，00 f.记 xfxg，则 axexgx2-sin.再令 xexhxgxhxcos,则.下面证明 xexhxcos在0,2有零点：令 xexxhxxsin,则在0,2是增函数，所以 02x.又 00,02，6 分所以存在 0,0,211xx,且当 00,0,211xxxxxx，所以 xhx，即在为增函数为减函数，在0
17、,211xx ，又 00,02hh,所以 01 xh，根据零点存在性定理，存在0,2010 xhxx7 分所以当,0,0,0 xhxx又 0cos,0 xexhxx，市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 9页共 12页所以 ,xh即 axexgx2-sin在0,0 x单调递减，在，0单调递增，所以 aaegxg212-0sin00.8 分当21021aa，0 xg恒成立，所以 xfxg，即为增函数，又 00 f，所以当,0,0,0 xfxx xf为减函数，,0,0 xfx，xf为增函数，0 x是 xf的极小值点，所以21a满足题意.10 分当21a，,02-10ag令0,1)(xxexux因
18、为0 x，所以01)(xexu，故)(xu在),0(单调递增，故0)0()(uxu，即有1 xex故022sin1222sin22aaaaaeaga，又 axexgx2-sin在，0单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数,0,0mgm，11 分当,0,0 xgmx xg单调递减，即 xf 递减，所以 00 fxf，此时 xf在m,0为减函数，所以 00 fxf,不合题意，应舍去.综上所述，a 的取值范围是21a.12 分（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查圆的直角坐标方程与极坐标
19、方程的互化，直线的参数方程及参数的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注满分 10 分解：（1）因为,43xtyt，所以l 的普通方程为340 xy，1 分又222cos,sin,xyxy，l 的极坐标方程为3 cossin40，3 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 10页共 12页C 的方程即为2220 xyy，对应极坐标方程为2sin 5 分（2）由己知设12(,),(,)AB ，则14,3 cossin22sin，6 分所以
20、，|OAOB21|112sin(3 cossin)3sin 2cos21|44OAOB7 分12sin(2)146 8 分又5612，22663，当 266，即6 时，|OAOB取得最小值 12；9 分当 262，即3 时，|OAOB取得最大值 3410 分所以，|OAOB的取值范围为 1 3,2 4 10 分23选修 45：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑运算、数学运算、直观想象等核心素养的关注满分 10 分解法一：（1）.21,21
21、32121,2321,213xxxxxxxf，2 分当21x时，221 fxf，当2121x，121 fxf，当21x时，121 fxf，4 分所以 1minxfm5 分对 1 个给 1 分，全对 2 分对 1 个给 1 分，全对 2 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 11页共 12页补充：解法二：（1）.21,2132121,2321,213xxxxxxxf，2 分如图4 分当12x 时，1minxfm5 分解法三：（1）111111()222222f xxxxxxx1 分1112 x2 分当且仅当110221=02xxx即1=2x时，等号成立.4 分(列式 1 分，x 值 1 分，
22、或直接给出 x 值，2 分)当12x 时，1minxfm 5 分解法一：（2）由题意可知，baccabcab111，6 分因为0,0,0abc，所以要证明不等式9abbccaabc，只需证明9111cbabac）（，7 分因为931311133abcabccbabac）（成立，9 分所以原不等式成立.10 分两个基本不等式各 1 分对 1 个给 1 分，全对 2 分市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 12页共 12页解法二：（2）因为03,0,0,03222cbacabcabcba所以,6 分033abccba，7 分又因为1abc,所以93332223cbaabcacbcabcba，8 分9abbcacabc 9 分所以9abbccaabc，原不等式得证.10 分补充：解法三：（2）由题意可知，baccabcab111，6 分因为0,0,0abc，所以要证明不等式9abbccaabc，只需证明1119abcabc，7 分由柯西不等式得：2111111+9abcabcabcabc成立，9 分所以原不等式成立.10 分柯西 2 分踩空回补
