1、过关检测(四)立体几何(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交2(2012青岛一模)设、为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，m，n，有两个命题：p：若mn，则；q：若m，则.那么()A“p或q”是假命题 B“p且q”是真命题C“非p或q”是假命题 D“非p且q”是真命题3如图是一正方体被过点A、M、N的平面和点N、D、C1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M、N分别为棱A
2、1B1、A1D1的中点，则该几何体的正视图为()4(2012东北三校模拟)如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为 ()A2 B4C6 D85(2012北京西城一模)设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件6(2012皖南八校联考)已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()7(2012泰安一模)已知、是两平面，m、n是两直线，则下列命题中不正确的是()A若m
3、n，m，则nB若m，m，则C若m，直线m在面内，则D若m，n，则mn8(2012汕头一检)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.9已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A. B. C. D.10如图，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为二、填空题(本大题共4小题，每小题
4、4分，共16分)11(2012青岛模拟)已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为_12如图是一个物体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，则实数a的值为_，该物体的体积为_cm3.13(2012孝感二模)如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，AD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件_时，就有MNA1C1；当N只需满足条件_时，就有MN平面B1D1C. 14如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，BC边上存在点Q，使得PQQD，则实数a的
5、取值范围是_三、解答题(本大题共5小题，共54分)15(10分)(2012威海一模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是棱BB1的中点，N是CC1的中点，AC1与A1N相交于点E.(1)求三棱锥AMNA1的体积；(2)求证：AC1A1M.16(10分)(2012湖南十二校二模)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(即底面为正方形的直四棱柱)中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC.(1)证明：A1C平面BED；(2)求直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值17(10分)(2012潍坊一模)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1
6、3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点(1)若P为AB中点，求证DP平面ACC1A1；(2)若DPAB，求二面角DCPB的余弦值18(12分)(2012陕西五校二模)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形(1)证明：BN平面C1NB1；(2)求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值19(12分)(2012北京)如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点
7、，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由参考答案过关检测(四)立体几何1D若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.2Dp是假命题，q是真命题，所以D正确3B正视图是正方形，点M的射影是中点，对角线DC1在正视图中是虚线，故选B.4C由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为1222126，故选C.5A6B由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为，高为2的直角三角形，故选B.7D8C连接BA1，因为CD1BA1，所以A1B
8、E即为异面直线BE与CD1所成的角，令AA12AB2，则EB，A1E1，A1B，故由余弦定理得cosA1BE，即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.9D由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是，故侧棱与底面所成角的余弦值为.10B取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD，假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A错误，CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正确；
9、CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C错误；VABCDSABDCD，D错误，故选B.11解析长方体的体对角线为外接球的直径，2r，S4r214.答案1412解析由三视图知，该物体为正三棱柱与球的组合体，可知a，V32233(cm3)答案313点N在线段EG上点N在线段EH上14解析如图，连接AQ，PA平面AC，PAQD，又PQQD，PQPAP，QD平面PQA，于是QDAQ，在线段BC上存在一点Q，使得QDAQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，1，a2.答案2，)15(1)解三棱锥AMNA1的体积等于三棱锥MANA1的体积V1.(2)证明BCAC，BCCC1，BC面ACC1
10、.连接MN，由M、N分别是中点可知MNBC，MN面ACC1，又AC1面ACC1，MNAC1，在RtA1C1N中，A1N2NCA1C23，A1N，在RtAC1C中，ACCCAC2369，AC13，由CC1AA1可得，NENA1，EC1AC11，NE2ECNC.AC1A1N，AC1面A1MN，又A1M面A1MN，AC1A1M.16解如图建立空间直角坐标系，则A1(2,0,4)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，E(0,2,1)(1)证明：(2,2，4)，(2,2,0)，(0,2,1)2222400，2022410.，.A1C平面BED.(2)(2,2，3)，(2,0，4)，设平
11、面A1DE的法向量为n(x，y，z)，由n0及n0，得2x2y3z0，2x4z0，取n(4，1,2)，(2,2，4)设直线A1C与平面A1DE所成角为.则sin |cosn，|，则直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值为.17(1)证明连接DP，AC1，D为C1B中点，P为AB的中点，DPAC1，又AC1平面ACC1A，DP平面ACC1A.DP平面ACC1A1.(2)解取AB中点O，连接CO，C1O，由正三棱柱性质得CC1AB，COAB，AB平面CC1O，ABC1O.取OB的中点P，连接DP，则DPOC1，DPAB.此时，PBAB.以O为原点，分别以CO、OB、过点O平行AA1的直线为x、y、
12、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在ABC中，CO，OB1，C(，0,0)，B(0,1,0)，P0，0.又C1(，0,3)，D，.，0，.设平面CDP的法向量为m(x，y，z)则即令x，得y6，z1，m(，6,1)又平面BCP的一个法向量(0,0,3)，cosm，.即二面角DCPB的余弦值为.18(1)证明该几何体的正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图则B(0,0,0)，N(4,4,0)，B1(0,8,0)，C1(0,8,4)，C(0,0,4)(4,4,0)(4,4,0)1616
13、0，(4,4,0)(0,0,4)0.NBNB1，BNB1C1.又NB1与B1C1相交于B1，BN平面C1NB1.(2)解BN平面C1NB1，是平面C1B1N的一个法向量n1(4,4,0)，设n2(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，则所以可取n2(1,1,2)则cosn1，n2.所求二面角CNB1C1的余弦值为.19(1)证明因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD.所以A1C平面BCDE.(2)解如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0
14、,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，则x2，z.所以n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.因为(0,1，)，所以sin |cosn，|.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)解线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.又(0,2，2)，(p，2,0)，所以令x2，则yp，z.所以m.平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 高考资源网%