1、拉萨市2019届高三第三次模拟考试试卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】试题分析：集合中元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集
2、合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【详解】(1i)z2i，z=1i.|z|.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模复数的常见考点有：复数的几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作3.记为等差数列的前项和，若，则（ ）A. 8B. 9C. 16D.
3、15【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差，再由等差数列的通项公式，即可求解【详解】由题意，因为，即，解得，所以，故选D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.某公司生产，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（ ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.
4、【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.5.英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：法官甲终审结果民事庭行政庭合计维持29100129推翻31821合计32118150法官乙终审结果民事庭行政庭合计维持9020110推翻10515合计10025125记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说
5、法正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率，总体上维持原判的案件率为的值，即可得到答案【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率，总体上维持原判的案件率为；法官乙民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率为，总体上维持原判的案件率为所以，选 D【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题6.已知向量，的夹角为，且，则
6、（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用计算【详解】由已知，故选C【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质：，把向量模的运算转化为向量的数量积7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件；第2次循环：，满足判断条件；终止循环，输出计算的结果，故选A【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，准确计
7、算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+)的一个零点为x=D. f(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2，易知A正确；fcoscos31，为f(x)的最小值，故B正确；f(x)coscos，fcoscos0，故C正确；由于fcoscos1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误故选D.9.若展开式的常数项等于-80，则（ ）A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】A【解析】【分析】用展开式中的常数项（此式中
8、没有此项）乘以2加上展开式中的系数乘以1即得已知式展开式的常数项【详解】由题意，解得故选A【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则10.若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值【详解】解：设A（s，t），yx32x2+2的导数为y3x24x，可得切线的斜率为3s24s，切线方程为y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t，由点A在直线mx+nyl0
9、（其中m0，n0），可得2m+2n1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）2（3）2（3+2）6+4，当且仅当nm时，取得最小值6+4，故选：C【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题11.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为3，分别为侧棱，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，则平面截球所得截面的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】是底面的中心，则在上，而由得，与平面交于点，是过平面的截面圆圆心，在中由勾股定理求得，再由截面圆性质可求得截面圆半径【详解】如图，是底面的中心，则
10、在上，而由得，设，则，又，是中心，则，由得，解得，设与平面交于点，分别是的中点，则是的中点，设平面截球所得截面圆半径为，则，此圆面积为故选A【点睛】本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上12.若都有成立，则的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】将题目所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项.【详解】原不等式可转化为，构造函数，故函数在上导数大于零，单调递增，在上导数小于零，单调递减.由于且，故在区间上，故的最大值为，所以选B.【点睛】
11、本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若实数，满足，则的最小值为_.【答案】-3【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，
12、着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求出任选2只动物的方法数，然后再求出熊大，熊二至少一只被选出的方法数，最后由古典概型概率公式计算概率【详解】从7只动物中任选2人的方法数为，熊大，熊二至少一只被选中的方法数为，所求概率为故答案为【点睛】本题考查古典概型概率公式，解题关键是确定基本事件的个数15.记为数列的前项和，若，则通项公式_.【答案】【解析】【分析】先求出，然后由得，两式相减得
13、，从而由等比数列定义得数列为等比数列.【详解】，又，由得，两式相减得，即，而，是公比为2的等比数列，.故答案为.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握数列前项和与项之间的关系，即，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有，因此要考虑数列的首项与的关系是否与它们一致.16.已知双曲线：的左、右焦点为、，过且斜率为的直线与的一条渐近线在第一象限相交于点，若，则该双曲线的离心率为_.【答案】3【解析】【分析】由得，从而有，再由直角三角形性质得，变形可得.【详解】，是直角三角形，又是中点，又在双曲线渐近线上，变形可得：，.故答案为3.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌
14、握双曲线的性质：即过双曲线的右顶点作轴垂线，交渐近线于点，则，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知的三个内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若的周长为3，求的最小值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由正弦定理把条件转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得的关系式，从而可得结论.（2）由余弦定理并代入可得，结合基本不等式可得的范围，从而得出的最小值及此时取值.【详解】（1）由已知及正弦定理得，即，.又，.（2），化简得，
15、代入式得，即，解得或（舍），当且仅当时取“”.，即的最小值为1，此时，且为正三角形.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄/岁）26273941495356586061（脂肪含量/%）14.517.821225.926.329.631.433.535.234.6根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；
16、（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.（2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附：参考数据：，参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1) （）47 （）见解析；(2) ；%【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强（2）利用回归直线过样本中心点，求得，得到回归直线的方程，再将代入回归直线方程求得结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（）（） 因
17、为，所以 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 （2）因为回归方程为，即所以【或利用 】所以关于的线性回归方程为将代入线性回归方程得 所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.如图，等边三角形所在平面与梯形所在平面互相垂直，且有，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面几何知识可得，再由面面垂直的性质定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得结论；（2）取中点为，可得，
18、从而有平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系(如图)，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夹角得出二面角（注意二面角是锐角还是钝角）.【详解】（1）证明：取中点，连接，则四边形为菱形，即有，所以.又平面，平面平面，平面平面，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）可得，取中点，连接，则，又平面，平面平面，平面平面，平面.以为原点建系如图，则，设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，.二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定与求二面角.在立体几何证明中，得出结论时，注意定理的条件要写全，否则证明过程不全面.求空间角问题，可用向量法求解，即建立空间直角坐标系，写
19、出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角与空间角的关系求解，这里对学生的计算能力要求较高.20.已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由动点到直线的距离与动点到点的距离之比为，列出方程，即可求解；（2）设的直线方程为，得的直线方程为，分别与直线和椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系求得，的坐标，将点坐标代入直线的方程，即可得到结论【详解】（1）设，由动点到直线的距离与动点到点的距离之比为，则，化简得.（2）设的直线
20、方程为，则的直线方程为，联立，解得，直线方程为，联立得，设，则，设的中点为，则，将点坐标代入直线的方程，点在直线上，平分线段.【点睛】本题主要考查了动点的轨迹方程点求解，及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）先求的定义域，再求，由直线方程的点斜式可求曲线在处的
21、切线方程为（）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的定义域为.当时，曲线在处切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，在单调递减，因此.综上，的取值范围是【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数yf（x）的定义域；（2）求导数yf（x）；（3）解不等式f（x）0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f（x）0，解集在定义域内的部分为单调递减区间【此处有视频，请去附件查看】（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。
22、如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）利用，化简即可求解；（）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（）在（）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，.由得，.所以的斜率为或.【此处有视频，请去附件查看】23. 选修4-5：不等式选
23、讲已知函数，M为不等式的解集.（）求M；（）证明：当a，b时，.【答案】（）；（）详见解析.【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（）由（）知，当时，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明. 【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解
