1、5.2正弦函数的性质学习目标1.理解、掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小.知识点正弦函数的性质思考1对于xR，sin(x)sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？答案奇偶性.思考2正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？答案对于正弦函数ysin x，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.思考3正弦函数的单调区间是什么？答案ysin x的递增区间为，kZ，递减区间为，kZ.梳理函数正弦函数ysin x，xR图像定义域R值域1，1最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1
2、周期性是周期函数，周期为2k(kZ，k0)，2是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在区间(kZ)上是增加的；在区间(kZ)上是减少的对称轴xk，kZ对称中心(k，0)，kZ1.正弦函数在定义域上是单调函数.()提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()3.ysin |x|是偶函数.()类型一求正弦函数的单调区间例1求函数y2sin的递增区间.考点求正弦函数的单调区间题点求正弦函数的单调区间解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，即2kz2k
3、(kZ).所以2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，所以函数y2sin的递增区间为(kZ).反思与感悟用整体替换法求函数yAsin(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数ysin，x的递减区间为 .考点求正弦函数的单调区间题点求正弦函数的单调区间答案，解析由2k3x2k(kZ)，得x(kZ).又x，所以函数ysin，x的递减区间为，.类型二正弦函数单调性的应用例2比较下列三角函数值的大小.(1)sin与sin；(2)sin 196与cos 156；考点正弦函数单调性的应用题点利用正弦
4、函数单调性比较大小解(1)sinsin ，sinsinsin ，由于sin ，sin sin ，即sinsin.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，且ysin x在0，90上是增加的，sin 16sin 66，即sin 196cos 156.反思与感悟(1)比较sin 与sin 的大小时，可利用诱导公式把sin 与sin 转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.(2)比较sin 与cos 的大小，常把cos 转化为sin后，再依据单调性来进行比较.(3)当不能将两角转到同一单
5、调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较.跟踪训练2比较sin 194与cos 110的大小.考点正弦函数单调性的应用题点利用正弦函数单调性比较大小解sin 194sin(18014)sin 14，cos 110cos(18070)cos 70sin(9070)sin 20，由于0142090，而ysin x在0，90上是增加的，sin 14sin 20，即sin 194cos 110.例3已知是正数，函数f(x)2sin x在区间上是增加的，求的取值范围.考点正弦函数单调性的应用题点已知三角函数的单调性求参数范围解由2kx2k(kZ)，得x(kZ)，f(x)的递增区间是，kZ.根据题意，得
6、(kZ)，从而有解得00，函数f(x)sin在上是减少的，则的取值范围是()A. B. C. D.(0，2考点正弦函数单调性的应用题点已知三角函数的单调性求参数范围答案A解析取，f(x)sin，其递减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其递减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.类型三正弦函数的值域或最值例4(1)求使函数y2sin x1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；(2)求使函数ysin2xsin x取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值.考点正弦函数的值域或最值题点正弦函数的值域或最值解(1)当x2k(kZ)时，ymax2(1)13，当
7、x2k(kZ)时，ymin2111，函数y2sin x1的值域为1，3.(2)令tsin x，则1t1，yt2t22.当t时，ymax2.此时sin x，即x2k或x2k(kZ).当t1时，ymin.此时sin x1，即x2k(kZ).反思与感悟求正弦函数的值域一般有以下两种方法(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为ya(sin xb)2c型的值域问题.(2)利用sin x的有界性求值域，如yasin xb，|a|by|a|b.跟踪训练4已知函数f(x)2asin xb的定义域为，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值.考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正
8、弦函数的最大值与最小值解x，sin x1.若a0，则解得若a0，则解得当a0时，不符合题意.故a126，b2312或a126，b1912.1.函数f(x)sin的一个递减区间是()A. B.，0 C. D.考点求正弦函数的单调区间题点求正弦函数的单调区间答案D2.下列不等式中成立的是()A.sinsinB.sin 3sin 2C.sin sinD.sin 2cos 1考点正弦函数单调性的应用题点利用正弦函数单调性比较大小答案D解析sin 2coscos，且021cos 1，即sin 2cos 1.故选D.3.函数ysin，x的值域是()A. B. C. D.考点正弦函数的值域或最值题点正弦函数
9、的值域或最值答案D解析0x，x，sin sinsin ，即y1.故选D.4.求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.考点正弦函数的值域或最值题点正弦函数的值域或最值解1sin x1，当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ；当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ.5.求函数y2sin，x(0，)的递增区间.考点求正弦函数的单调区间题点求正弦函数的单调区间解函数y2sin2sin，函数y2sin的递增区间为y2sin的递减区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.
10、x(0，)，由k0，得x.函数y2sin，x(0，)的递增区间为.1.求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k (kZ)解出x的范围，所得区间即为递增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为递减区间.若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.一、选
11、择题1.y的最小值是()A.2 B.2 C.1 D.1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案B解析由y2，当sin x1时，y取得最小值2.2.函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数考点正弦函数的奇偶性题点正弦函数的奇偶性答案B解析函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)f(x)，故f(x)为偶函数.3.下列关系式中正确的是()A.sin 11cos 10sin 168B.sin 168sin 11cos 10C.sin 11sin 168cos 10D.sin 168cos 10sin 11考点正
12、弦函数单调性的应用题点利用正弦函数单调性比较大小答案C解析sin 168sin(180168)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80，又ysin x在(0，90)上是增加的，sin 11sin 12sin 80.即sin 11sin 168cos 10.4.函数y|sin x|的一个递增区间是()A. B.(，2) C. D.(0，)考点求正弦函数的单调区间题点求正弦函数的单调区间答案C解析作出函数y|sin x|的图像，如图，观察图像知C正确，故选C.5.若函数f(x)sin x(0)在区间上是增加的，在区间上是减少的，则的值可为()A. B. C.2 D.3考点正弦函数单
13、调性的应用题点已知三角函数的单调性求参数值答案A解析由题意知，即T，.6.设函数f(x)sin|x|，则f(x)()A.在区间上是减少的B.是周期为2的周期函数C.在区间上是增加的D.对称中心为(k，0)，kZ考点正弦函数的性质综合题点正弦函数的性质综合答案A解析由图可知，f(x)在上是减少的.二、填空题7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为 .考点正弦函数单调性的应用题点利用正弦函数单调性比较大小答案sin 3sin 1sin 2解析123，sin(2)sin 2，sin(3)sin 3.ysin x在上是增加的，且0312，sin(3)sin 1sin(2)，即sin
14、 3sin 1sin 2.8.函数y2sin的值域是 .考点正弦函数的值域或最值题点正弦函数的值域或最值答案0，2解析x，02x，0sin1，y0，2.9.函数ysin(x0，)的递增区间为 .考点求正弦函数的单调区间题点求正弦函数的单调区间答案解析ysin，x0，x.要求函数的递增区间，则x，即x.ysin(x0，)的递增区间为.10.若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值是，则 .考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案解析x，即0x，且01，0x0且递减的区间.2k2k，kZ，整理得4kx4k，kZ.函数y的递增区间为，kZ.12.求下列函数的最大值
15、和最小值.(1)f(x)sin，x；(2)f(x)2sin2x2sin x3，x.考点正、余弦函数的值域或最值题点正、余弦函数的值域或最值解(1)当x时，2x，由函数图像知，f(x)sin.所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，.(2)f(x)2sin2x2sin x32(sin2xsin x)322.因为x，所以sin x1.当sin x时，ymax，当sin x1时，ymin3.13.已知函数f(x)asinb(a0).当x时，f(x)的最大值为，最小值是2，求a和b的值.考点正弦函数的值域或最值题点正弦函数的值域或最值解0x，2x，sin1，f(x)maxab，f(x)minab2.
16、由得四、探究与拓展14.已知函数f(x)ax3bsin x2，若f(2 017)8，则f(2 017) .答案12解析由f(x)ax3bsin x2，得f(x)2ax3bsin x是一个奇函数，则f(x)2f(x)20，即f(x)f(x)4，所以f(2 017)f(2 017)4.又f(2 017)8，所以f(2 017)12.15.已知函数f(x)sin2xsin xa，若1f(x)对一切xR恒成立，求实数a的取值范围.考点正弦函数最值的应用题点正弦函数与一元二次函数综合解令tsin x，则t1，1，则函数可化为g(t)t2ta2a.当t时，g(t)maxa，即f(x)maxa；当t1时，g(t)mina2，即f(x)mina2.故对于一切xR，函数f(x)的值域为.所以解得3a4.故实数a的取值范围为3，4.
