1、 年 月，巴 顿 将 军 率 领 万 多 美 军，乘 艘 战 舰，直 奔 距 离 美 国 公 里 的 摩 洛 哥，在 月 日 凌 晨 登 陆 月 日，海 面 上 突 然 刮 起 西 北 大 风，惊 涛 骇 浪 使 舰 艇 倾 斜 达 直 到 月 日 天 气 仍 无 好 转 华 盛 顿 总 部 担 心 舰 队 会因 大 风 而 全 军 覆 没，电 令 巴 顿 的 舰 队 改 在 地 中 海 沿 海 的 任 何 其 他 港 口 登 陆 巴 顿 回 电：不 管 天 气 如 何，我 将 按 原 计 划 行 动 月 日 午 夜，海 面 突 然 风 平 浪 静，巴 顿 军 团 按 计 划 登 陆 成 功
2、事 后 人 们 说 这 是 侥 幸 取 胜，这 位“血 胆 将 军”拿 将 士 的 生 命作 赌 注 圆内 容 清 单能 力 要 求圆 的 有 关 概 念会 利 用 圆 的 定 义 做 出 准 确 的 判 断 弧、弦、圆 心 角、弦 心 距 的 关 系能 综 合 运 用 弧、弦、圆 心 角、弦 心 距 之 间 的 互推 关 系 圆 的 性 质能 记 住 圆 的 性 质，能 列 举 圆 的 特 性 过 一 点、两 点 和 不 在 一 条 直 线 上 的 三 点 作 圆能 画 经 过 不 在 同 一 直 线 上 三 个 点 的 圆 圆 周 角 与 圆 心 角 的 关 系，直 径 所 对 圆 周 角
3、 的特 征掌 握 同 弧 所 对 圆 周 角 等 于 圆 心 角 的 特 性，会利 用 直 径 所 对 圆 周 角 是 直 角 解 题 三 角 形 的 外 心 与 内 心能 区 分 外 心 与 内 心 的 联 系 与 区 别，能 画 出 三角 形 的 外 心 与 内 心 其 实，巴 顿 将 军 在 出 发 前 就 和 气 象 学 家 详 细 研 究 了 摩 洛 哥 海 域 风 浪 变 化 的 规 律 和 相 关 参 数，知 道 月 日 至 日 该 海 域 虽 然 有 大 风，但 根 据 该 海 域 往 常 最 大 浪 高 波 长 和 舰 艇 的 比 例 关 系，恰 恰 达 不 到 翻 船 的
4、程 度，不 会 对 整 个 舰 队 造 成 危 险 相 反，月 日 却 是 一 个 有 利 于登 陆 的 好 天 气 巴 顿 正 是 利 用 科 学 预 测 和 可 靠 边 缘 参 数，抓 住“可 怕 的 机 会”，突 然 出 现 在 敌 人 面 前（续 表）切 线 的 概 念会 做 一 个 圆 的 切 线 切 线 与 过 切 点 的 半 径 的 关 系切 线 与 经 过 切 点 的 半 径 垂 直，凡 切 线 存 在 必将 切 点 与 圆 心 相 连 切 线 的 判 定掌 握 切 线 的 判 定 定 理，能 灵 活 运 用 它 解 题过 圆 上 一 点 画 圆 的 计 算会 进 行 有 关
5、圆 的 计 算 弧 长 及 扇 形 面 积 的 计 算牢 记 弧 长 公 式 及 扇 形 面 积 公 式 圆 锥 的 侧 面 积 和 全 面 积 的 计 算能 进 行 圆 锥 侧 面 积、全 面 积、圆 柱 侧 面 积、全面 积 的 计 算 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （济 南）已 知 犗 和 犗 的 半 径 是 一 元 二 次 方 程 狓 狓 的 两 根，若 圆 心 距 犗 犗 ，则 犗 和 犗 的 位 置关 系 是（）外 离 外 切 相 交 内 切 （淄 博）如 图，犗 的 半 径 为 ，弦 犃 犅 槡，点 犆 在 弦犃 犅 上，犃 犆 犃 犅，则 犗 犆 的 长
6、 为（）槡 槡 槡 槡（第 题）（第 题）（烟 台）如 图，犗 、犗、犗 的 半 径 均 为 ，犗 、犗 的 半 径 均 为 ，犗 与 其 他 个 圆 均 相 外 切，图 形 既关 于 犗 犗 所 在 直 线 对 称，又 关 于 犗 犗 所 在 直 线 对 称，则 四边 形 犗 犗 犗 犗 的 面 积 为（）（济 宁）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 犘 坐 标 为（，），以 点 犗 为 圆 心，以 犗 犘 的 长 为 半 径 画 弧，交 狓 轴 的 负 半 轴于 点 犃，则 点 犃 的 横 坐 标 介 于（）和 之 间 和 之 间 和 之 间 和 之 间（第 题）（第 题）（泰
7、 安）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃 犅，垂 足 为犕，下 列 结 论 不 成 立 的 是（）犆 犕 犇 犕 犆 犅 犇 犅 犃 犆 犇 犃 犇 犆 犗 犕 犕 犇 （临 沂）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，点 犈 为 犅犆 的 中 点，犃 犅 ，犅 犈 犇 ，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 之 和 为（）槡 槡 槡（第 题）（青 岛）已 知 犗 与 犗 的 直 径 分 别 是 和 ，犗 犗 ，则 犗 与 犗 的 位 置 关 系 是（）外 离 外 切 相 交 内 切 （泰 安）如 图，犗 的 弦 犃 犅 垂 直 平 分 半 径 犗 犆，若 犃 犅 槡，则 犗 的
8、 半 径 为（）槡 槡 二 战 中，由 于 应 用 了 统 计 分 析 法，美 军 采 取 了 适 当 的 防 空 对 策，日 军 的“自 杀 飞 机”并 未 取 得 预 想 的 战 绩，美军 大 型 主 力 舰 艇 被 自 杀 飞 机 击 沉 的 数 量 十 分 有 限 图 为 日 本 二 战 时 期 的 犐 “樱 花”自 杀 飞 机 槡 槡（第 题）（第 题）（枣 庄）如 图，犘 犃 是 犗 的 切 线，切 点 为 犃，犘 犃 槡，犃 犘 犗 ，则 犗 的 半 径 为（）槡 （潍 坊）如 图，半 径 为 的 小 圆 在 半 径 为 的 大 圆 内 滚动，且 始 终 与 大 圆 相 切，则
9、小 圆 扫 过 的 阴 影 部 分 的 面 积 为（）（第 题）（第 题）（烟 台）如 图 是 油 路 管 道 的 一 部 分，延 伸 外 围 的 支 路 恰好 构 成 一 个 直 角 三 角 形，两 直 角 边 分 别 为 和 按 照输 油 中 心 犗 到 三 条 支 路 的 距 离 相 等 来 连 结 管 道，则 犗 到 三条 支 路 的 管 道 总 长（计 算 时 视 管 道 为 线，中 心 犗 为 点）是（）（临 沂）已 知 两 圆 的 半 径 分 别 是 和 ，圆 心 距是 ，那 么 这 两 圆 的 位 置 关 系 是（）外 离 外 切 相 交 内 切二、填 空 题 （济 南）如 图
10、，在 犃 犅犆 中，犅 ，犃 犅 ，犅犆 ，以 其 三 边 为 直 径 向 三 角 形 外 作 三 个 半 圆，矩 形 犈 犉 犌 犎 的 各 边 分别 与 半 圆 相 切 且 平 行 于 犃 犅 或 犅犆，则 矩 形 犈 犉 犌 犎的 周 长獉 獉是 （第 题）（第 题）（青 岛）如 图，点 犃、犅、犆 在 犗 上，犃 犗 犆 ，则 犃 犅 犆 （淄 博）如 图，犃 犅、犆 犇 是 犗 的 弦，犃 犅 犆 犇，犅 犈 是 犗 的 直 径 若 犃 犆 ，则 犇 犈 （第 题）（第 题）（德 州）如 图，“凸 轮”的 外 围 由 以 正 三 角 形 的 顶 点 为 圆心，以 正 三 角 形 的
11、边 长 为 半 径 的 三 段 等 弧 组 成 已 知 正 三 角形 的 边 长 为 ，则 凸 轮 的 周 长 等 于 （第 题）（泰 安）如 图，犃 犅 与 犗 相 切 于 点犅，犃 犗 的 延 长 线 交 犗 于 点 犆，连 结 犅 犆，若 犃 犅 犆 ，犗 犆 ，则 犅 犆 的 长 为（）（德 州）母 线 长 为 ，底 面 圆 的 半 径 为 的 圆 锥 的 侧 面积 为 （枣 庄）如 图，小 圆 的 圆 心 在 原 点，半 径 为 ，大 圆 的 圆心 坐 标 为（犪，），半 径 为 如 果 两 圆 内 含，那 么 犪 的 取 值 范围 是 （第 题）（第 题）（日 照）如 图，在 以
12、犃 犅 为 直 径 的 半 圆 中，有 一 个 边 长为 的 内 接 正 方 形 犆 犇 犈 犉，则 以 犃 犆 和 犅 犆 的 长 为 两 根 的 一元 二 次 方 程 是 （泰 安）如 图，犘 犃 与 犗 相 切，切 点 为 犃，犘 犗 交 犗 于点 犆，犅 是 优 弧 犆 犅 犃上 一 点，若 犃 犅 犆 ，则 犘 的 度 数为 （第 题）（第 题）（威 海）如 图，犗 的 直 径 犃 犅 与 弦 犆 犇 相 交 于 点 犈，若犃 犈 ，犅 犈 ，犆 犇 槡，则 犃 犈 犇 作 战 与 数 学 常 常 是 密 不 可 分 的，无 论 是 过 去 还 是 现 在 以 及 将 来 随 着 现
13、 代 军 事 科 技 的 发 展，新 式 武 器 以 及 作 战 的 测算，更 使 数 学 充 当 着 重 要 的 角 色，往 往 其 计 算 是 否 精 确，决 定 了 武 器 的 精 确 和 作 战 的 后 果 （泰 安）如 图，直 线 犃 犅 与 半 径 为 的 犗 相 切 于 点 犆，点 犇、犈、犉是 犗上 三 个 点，犈 犉 犃 犅，若 犈 犉 槡，则 犈 犇 犆 的 度 数 为 （第 题）三、解 答 题 （滨 州）如 图，犘 犃、犘 犅 是 犗 的 切 线，犃、犅 为 切 点，犃 犆是 犗 的 直 径，犘 ，求 犅 犃 犆 的 度 数（第 题）（烟 台）如 图，犃 犅 为 犗 的
14、直 径，弦 犆 犇 犃 犅，垂 足 为点 犈，犆 犉 犃 犉，且 犆 犉 犆 犈（）求 证：犆 犉 是 犗 的 切 线；（）若 犅 犃 犆 ，求 犛 犆犅 犇犛 犃犅 犆 的 值（第 题）（潍 坊）如 图，三 角 形 犃 犅犆 的 两 个 顶 点 犅、犆 在 圆 上，顶 点犃 在 圆 外，犃 犅、犃犆 分 别 交 圆 于 犈、犇 两 点，连 结 犈犆、犅 犇（）求 证：犃 犅 犇 犃 犆 犈；（）若 犅 犈 犆 与 犅 犇 犆 的 面 积 相 等，试 判 定 三 角 形 犃 犅 犆 的形 状（第 题）（济 宁）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犆 是 弦，犗 犇 犃 犆于 点 犇，过 点
15、 犃 作 犗 的 切 线 犃 犘，犃 犘 与 犗 犇的 延 长 线 交 于点 犘，连 结 犘 犆、犅 犆（）猜 想：线 段 犗 犇 与 犅 犆 有 何 数 量 和 位 置 关 系，并 证 明 你 的结 论；（）求 证：犘 犆 是 犗 的 切 线（第 题）（威 海）如 图，犃 犅 为 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃 犅，垂 足 为点 犈，犓 为 犃 犆 上 一 动 点，犃 犓、犇 犆 的 延 长 线 相 交 于 点 犉，连 结犆 犓、犓 犇（）求 证：犃 犓 犇 犆 犓 犉；（）若 犃 犅 ，犆 犇 ，求 犆 犓 犉 的 值（第 题）（枣 庄）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃
16、犅 于 点 犈，过 点 犅 作 犗 的 切 线，交 犃 犆 的 延 长 线 于 点 犉，已 知 犗 犃 ，犃 犈 （）求 犆 犇 的 长；（）求 犅 犉 的 长（第 题）（聊 城）如 图，犃 犅 是 半 圆 的 直 径，点 犗 是 圆 心，犆 是犗 犃 的 中 点，犆 犇 犗 犃 交 半 圆 于 点 犇，犈 是 犅 犇 的 中 点，连 结犗 犇、犃 犈，过 点 犇 作 犇 犘 犃 犈 交 犅 犃 的 延 长 线 于 点 犘（）求 犃 犗 犇 的 度 数；（）求 证：犘 犇 是 半 圆 犗 的 切 线（第 题）丘 吉 尔 理 智 撤 回 援 法 战 机二 战 时 期，当 德 国 对 法 国 等
17、几 个 国 家 发 动 攻 势 时，英 国 首 相 丘 吉 尔 应 法 国 的 请 求，动 用 了 十 几 个 航 空 中 队 的 飞 机 与德 国 作 战，这 些 中 队 必 须 由 欧 洲 大 陆 上 的 机 场 来 维 修 和 操 作，空 战 中 飞 机 损 失 惨 重 与 此 同 时，法 国 总 理 要 求 继 续 增 派十 个 中 队 的 飞 机，丘 吉 尔 决 定 同 意 这 一 要 求 （枣 庄）如 图，点 犇 在 犗 的 直 径 犃 犅 的 延 长 线 上，点犆 在 犗 上，且 犃 犆 犆 犇，犃 犆 犇 （）求 证：犆 犇 是 犗 的 切 线；（）若 犗 的 半 径 为 ，求
18、 图 中 阴 影 部 分 的 面 积（第 题）（济 宁）如 图，犃 犇 为 犃 犅 犆 外 接 圆 的 直 径，犃 犇 犅 犆，垂 足 为 犉，犃 犅 犆 的 平 分 线 交 犃 犇 于 点 犈，连 结 犅 犇、犆 犇（）求 证：犅 犇 犆 犇；（）请 判 断 犅、犈、犆 三 点 是 否 在 以 犇 为 圆 心，以 犇 犅 为 半 径 的圆 上？并 说 明 理 由（第 题）（临 沂）如 图，以 犗 为 圆 心 的 圆 与 犃 犗 犅 的 边 犃 犅相切 于 点 犆，与 犗 犅 相 交 于 点 犇，且 犗 犇 犅 犇 已 知 犃 ，犃 犆 槡（）求 犗 的 半 径；（）求 图 中 阴 影 部 分
19、 的 面 积（第 题）（德 州）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆，犇 是 犅 犆的 中点，犃 犈 平 分 犅 犃 犇 交 犅 犆 于 点 犈，犗 是 犃 犅上 一 点，犗 过犃、犈 两 点，交 犃 犇 于 点 犌，交 犃 犅 于 点 犉（）求 证：犅 犆 与 犗 相 切；（）当 犅 犃 犆 时，求 犈 犉 犌 的 度 数（第 题）年 全 国 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （黑 龙 江 哈 尔 滨）如 图，犗 是 犃 犅 犆 的 外 接 圆，犅 ，犗 犘 犃 犆 于 点 犘，犗 犘 槡，则 犗 的 半 径 为（）槡 槡 、（第 题）（第 题）（贵 州 黔 西 南 州）如 图，犗
20、 是 犃 犅 犆 的 外 接 圆，已 知 犃 犅 犗 ，则 犃 犆 犅 的 大 小 为（）（陕 西）如 图，在 半 径 为 的 圆 犗 中，犃 犅、犆 犇 是 互 相 垂 直 的两 条 弦，垂 足 为 犘，且 犃 犅 犆 犇 ，则 犗 犘 的 长 为（）槡 槡（第 题）（第 题）（重 庆）已 知：如 图，犗 犃、犗 犅 是 犗 的 两 条 半 径，且 犗 犃 犗 犅，点 犆 在 犗 上，则 犃 犆 犅 的 度 数 为（）（贵 州 铜 仁）小 红 要 过 生 日 了，为 了 筹 备 生 日 聚 会，准 备自 己 动 手 用 纸 板 制 作 一 个 底 面 半 径 为 ，母 线 长 为 的 圆 锥
21、 形 生 日 礼 帽，则 这 个 圆 锥 形 礼 帽 的 侧 面 积 为（）（贵 州 毕 节）第 三 十 届 奥 运 会 将 于 年 月 日 在英 国 伦 敦 开 幕，奥 运 会 旗 图 案 有 五 个 圆 环 组 成，下 图 也 是 一 幅五 环 图 案，在 这 五 个 圆 中，不 存 在獉 獉 獉的 位 置 关 系 是（）外 离 内 切 外 切 相 交内 阁 知 道 此 事 后，找 来 数 学 家 进 行 分 析 预 测，并 根 据 出 动 飞 机 与 战 损 飞 机 的 统 计 数 据 建 立 了 回 归 预 测 模 型 经 过 研究 发 现，如 果 补 充 率、损 失 率 不 变，飞
22、机 数 量 的 下 降 是 非 常 快 的 就 是 以 现 在 的 损 失 率 损 失 两 周，英 国 在 法 国 的“飓 风”战斗 机 便 一 架 也 不 存 在 了，数 学 家 要 求 内 阁 否 定 这 一 决 定，最 后 丘 吉 尔 让 步 了，并 将 其 余 飞 机 全 部 撤 回 英 国，为 下 一 步 的国 土 保 卫 战 保 存 了 实 力（第 题）（第 题）（浙 江 衢 州）一 个 人 工 湖 如 图 所 示，弦 犃 犅 是 湖 上 一 座桥，已 知 桥 犃 犅 长 ，测 得 圆 周 角 犃 犆 犅 ，则 这 个 人工 湖 的 直 径 犃 犇 为（）槡 槡 槡 槡 （广 东
23、广 州）如 图，犃 犅 切 犗 于 点 犅，犗 犃 槡，犃 犅 ，弦 犅 犆 犗 犃，则 劣 弧 犅 犆 的 弧 长 为（）槡 槡 （第 题）（第 题）（安 徽）如 图，犗 的 半 径 为 ，犃、犅、犆 是 圆 周 上 三 点，犅 犃 犆 ，则 劣 弧 犅 犆 的 长 为（）（湖 南 长 沙）已 知 犗 、犗 的 半 径 分 别 是 狉 ，狉 ，若 两 圆 相 交，则 圆 心 距 犗 犗 可 能 取 的 值 是（）二、填 空 题 （黑 龙 江 齐 齐 哈 尔）用 半 径 为 ，圆 心 角 为 的 扇 形围 成 一 个 圆 锥，则 圆 锥 的 高 为 （湖 北 鄂 州）圆 锥 的 底 面 直 径
24、 是 ，母 线 长 ，则 圆锥 的 侧 面 积 是 （福 建 莆 田）若 扇 形 的 圆 心 角 为 ，弧 长 为 ，则 扇形 的 半 径 为 （四 川 自 贡）如 图，犃 犅 犆 是 正 三 角 形，曲 线 犆 犇 犈 犉 叫做 正 三 角 形 的 渐 开 线，其 中 弧 犆 犇、弧 犇 犈、弧 犈 犉 的 圆 心 依 次是 犃、犅、犆，如 果 犃 犅 ，那 么 曲 线 犆 犇 犈 犉 的 长 是 （第 题）（第 题）（浙 江 温 州）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，点 犆、犇 都 在 犗上，连 结 犆 犃、犆 犅、犇 犆、犇 犅，已 知 犇 ，犅 犆 ，则 犃 犅 长是 （江 苏 宿
25、迁）如 图，从 犗 外 一 点 犃引 圆 的 切 线 犃 犅，切 点 为 犅，连 结 犃 犗 并 延 长 交 圆 于 点 犆，连 结 犅 犆，若 犃 ，则 犃 犆 犅 （第 题）（第 题）（湖 北 黄 冈）如 图，在 犗 中，犕 犃 犖 的 度 数 为 ，则圆 周 角 犕 犃 犖 三、解 答 题 （广 东 肇 庆）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆，以 犃 犅 为直 径 的 犗 交 犃 犆 于 点 犈，交 犅 犆 于 点 犇，连 结 犅 犈、犃 犇 交 于（第 题）点 犘 求 证：（）犇 是 犅 犆 的 中 点；（）犅 犈 犆 犃 犇 犆；（）犃 犅 犆 犈 犇 犘 犃 犇 （江 苏
26、盐 城）如 图 所 示，犃犆 犃 犅，犃 犅 槡，犃犆 ，点 犇是 以 犃 犅 为 直 径 的 半 圆 犗 上 一 动 点，犇 犈 犆 犇 交 直 线 犃 犅 于 点犈，设 犇 犃 犅 （）（）当 时，求 犅 犇 的 长；（）当 时，求 线 段 犅 犈 的 长；（）若 要 使 点 犈 在 线 段 犅 犃的 延 长 线 上，则 的 取 值 范 围 是 （直 接 写 出 答 案）（第 题）（浙 江 湖 州）已 知，如 图，在 梯 形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犇 犅 犆，犇 犃 犇 犆，以 点 犇 为 圆 心，犇 犃 长 为 半 径 的 犇 与 犃 犅相 切于 犃，与 犅 犆 交 于 点 犉，过 点
27、 犇 作 犇 犈 犅 犆，垂 足 为 犈（）求 证：四 边 形 犃 犅 犈 犇 为 矩 形；（）若 犃 犅 ，犃 犇犅 犆 ，求 犆 犉 的 长（第 题）以 算 法 为 中 心，属 于 应 用 数 学 中 国 古 代 数 学 不 脱 离 社 会 生 活 与 生 产 的 实 际，以 解 决 实 际 问 题 为 目 标，数 学 研 究 是 围 绕 建 立 算 法 与 提 高 计 算 技 术而 展 开 的 如 西 汉 末 年（公 元 前 世 纪）编 纂 的 周 髀 算 经，尽 管 是 谈 论 盖 天 说 宇 宙 论 的 天 文 学 著 作，但 却 包 含 了 许 多 数学 内 容，在 数 学 方 面
28、 主 要 有 两 项 成 就：（）提 出 勾 股 定 理 的 特 例 及 普 遍 形 式；（）测 太 阳 高、远 的 陈 子 测 日 汉，为 后 来 重差 术（勾 股 测 量 法）的 先 驱 此 外，还 有 较 复 杂 的 开 方 问 题 和 分 数 运 算 等 （浙 江 义 乌）如 图，已 知 犗 的 直 径 犃 犅 与 弦 犆 犇互 相垂 直，垂 足 为 点 犈 犗 的 切 线 犅 犉 与 弦 犃 犇的 延 长 线 相 交于 点 犉，且 犃 犇 ，犅 犆 犇 （）求 证：犆 犇 犅 犉；（）求 犗 的 半 径；（）求 弦 犆 犇 的 长（第 题）（湖 北 武 汉）如 图，点 犗 在 犃 犘
29、 犅 的 平 分 线 上，圆 犗 与犘 犃 相 切 于 点 犆（）求 证：直 线 犘 犅 与 圆 犗 相 切；（）犘 犗 的 延 长 线 与 圆 犗 交 于 点 犈 若 圆 犗 的 半 径 为 ，犘犆 求弦 犆犈 的 长（第 题）趋 势 总 揽圆 的 有 关 性 质 与 圆 的 有 关 计 算 是 近 几 年 各 地 中 考 命 题 考 查的 重 点 内 容，题 型 以 填 空 题、选 择 题 和 解 答 题 为 主，有 时 也 出 现阅 读 理 解、条 件 开 放、结 论 开 放 探 索 题 这 些 新 题 型，分 值 一 般 为 分 年 中 考 有 关 命 题 的 重 点：圆 的 有 关
30、性 质 的 应 用 直 线 和 圆、圆 和 圆 位 置 关 系 的 判 定 及 应 用 弧 长、扇 形 面 积、圆 柱 及 圆 锥 的 侧 面 积 和 全 面 积 的 计 算 圆 与 相 似 三 角 形、三 角 函 数 的 综 合 运 用 以 及 有 关 的 开 放题、探 索 题 高 分 锦 囊 熟 练 掌 握 圆 的 有 关 性 质，掌 握 求 线 段、角 的 方 法，理 解 概念 之 间 的 相 互 联 系 和 知 识 之 间 的 相 互 转 化 理 解 直 线 和 圆 的 三 种 位 置 关 系，掌 握 切 线 的 性 质 和 判 定，会 根 据 条 件 解 决 圆 中 的 动 态 问
31、题 掌 握 由 两 圆 半 径 的 和 或 差 与 圆 心 距 的 大 小 关 系 来 判 定 两圆 的 位 置 关 系，对 中 考 试 题 中 出 现 的 阅 读 理 解 题、探 索 题，要 灵活 运 用 圆 的 有 关 性 质，进 行 合 理 推 理 与 计 算 如 果 在 圆 中 求 弦 长，一 般 是 由 圆 心 向 弦 做 垂 线，利 用 垂 径定 理 先 求 弦 的 一 半 的 长，如 果 有 直 径，一 般 利 用 直 径 所 对 圆 周 角是 度 来 解 题；如 果 有 切 线，一 般 均 要 将 圆 心 与 切 点 连 结 起 来构 造 直 角；这 些 看 似 死 其 实 活
32、 的 方 法 在 解 决 圆 的 题 目 时 很 方 便 理 解 圆 柱、圆 锥 侧 面 展 开 图 对 组 合 图 形 的 计 算 要 灵 活 运 用 计 算 方 法 解 题 常 考 点 清 单 圆：（）在 一 个 平 面 内，线 段 犗 犃 绕 它 固 定 的 一 个 端 点 犗旋 转 ，另 一 个 端 点 犃 所 形 成 的 叫 做 圆（）圆 心 为 犗，半 径 为 狉 的 圆 可 以 看 成 是 所 有 到 的距 离 等 于 的 点 组 成 的 图 形 弦 与 弧：（）连 结 圆 上 任 意 两 点 的 叫 做 弦（）圆 上 任 意 两 点 间 的 叫 做 圆 弧，简 称 弧 圆 心
33、角 与 圆 周 角：（）顶 点 在 的 角 叫 做 圆 心 角（）顶 点 在 ，并 且 两 边 都 与 圆 的 角 叫 做 圆周 角 一、圆 的 有 关 性 质 圆 的 对 称 性：圆 既 是 轴 对 称 图 形，又 是 中 心 对 称 图 形 垂 径 定 理 及 其 推 论：（）定 理：垂 直 于 弦 的 直 径 ，并 且 平 分 弦 所 对 的 两条 弧（）推 论：平 分 弦（不 是 直 径）的 直 径 于 弦，并 且 平分 弦 所 对 的 圆 心 角、弧、弦 之 间 的 关 系：同 圆 或 等 圆 中，两 个 圆 心 角、两 条 弧、两 条 弦 中 有 一 组 量 ，它 们 所 对 应
34、的 其 余 各 组 量 也 圆 周 角 定 理 及 其 推 论：（）定 理：在 同 圆 或 等 圆 中，同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 都 等于 这 条 弧 所 对 的 圆 心 角 的 （）推 论：半 圆（或 直 径）所 对 的 圆 周 角 是 ，的 圆周 角 所 对 的 弦 是 直 径 二、直 线 和 圆 的 位 置 关 系 几 种 位 置 关 系 的 区 别：具 有 较 强 的 社 会 性在 中 国 传 统 的 数 学 文 化 中，数 学 被 儒 家 学 派 作 为 培 养 人 的 道 德 与 技 能 的 基 本 知 识 六 艺（礼、乐、射、御、书、数）之 一，它 的 作 用
35、在 于“通 神 明、顺 性 命，经 世 务、类 万 物”，所 以 中 国 传 统 数 学 总 是 被 打 上 中 国 哲 学 与 古 代 学 术 思 想 的 烙印，往 往 与 术 数 交 织 在 一 起 同 时，数 学 教 育 与 研 究 往 往 被 封 建 政 府 所 控 制，如 唐 宋 时 代 的 数 学 教 育 与 科 举 制 度、历 代 数学 家 往 往 是 政 府 的 天 文 官 员，这 些 事 例 充 分 反 映 了 这 一 事 实 直 线 和 圆 的位 置 关 系相 离相 切相 交图 形公 共 点 个 数公 共 点 名 称无直 线 名 称无圆 心 到 直线 的 距 离犱 与 半
36、径狉 的 大 小关 系 圆 的 切 线 的 性 质 和 判 定：（）性 质：如 图，犆 犇 为 犗 的 切 线，犅 犃 为 直 径，犃 为 切 点 犅 犃 犆 犇，即 圆 的 切 线 于 过 切 点 的 半 径（）判 定：经 过 半 径 的 外 端 并 且 这 条 半 径 的 直 线是 圆 的 切 线 如 图，犗 犃 为 犗 的 半 径，犆 犇 犗 犃 直 线 犆 犇 是 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 圆 的 ，则 这 条 直 线 是 该 圆的 切 线 如 图，犗 犃 犆 犇，犗 犃 狉 犆 犇 是 三、三 角 形 的 外 接 圆、内 切 圆 三 角 形 的 外 接 圆：经 过 三
37、角 形 的 可 以 做 一 个 圆，这个 圆 叫 做 三 角 形 的 外 接 圆，外 接 圆 的 圆 心 叫 做 这 个 三 角 形 的 外 心 与 三 角 形 各 边 都 的 圆 叫 做 三 角 形 的 内 切 圆，内切 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 内 心 四、切 线 长 与 反 证 法 切 线 长：经 过 圆 外 一 点 作 圆 的 ，这 点 和 切 点 之 间 的 长，叫 做 这 点 到 圆 的 切 线 长 切 线 长 定 理：从 圆 外 一 点 可 以 引 圆 的 两 条 ，它 们的 相 等，这 一 点 和 圆 心 的 连 线 这 两 条 切 线 的夹 角 反 证 法：首
38、先 假 设 命 题 的 结 论 ，由 此 经 过 推 理 得出 ，由 矛 盾 断 定 所 作 假 设 ，从 而 得 到 原 命 题 成立，这 种 方 法 叫 做 反 证 法 五、圆 和 圆 的 位 置 关 系位 置外 离外 切相 交内 切内 含图 形公 共 点个 数犱 与犚、狉 的数 量关 系 易 混 点 剖 析 利 用 垂 径 定 理 进 行 证 明 或 计 算，通 常 利 用 半 径、弦 心 距 和弦 的 一 半 组 成 的 直 角 三 角 形 求 解 由 于 圆 中 一 条 弦 对 应 的 弧 以及 圆 内 的 两 条 平 行 弦 与 圆 心 的 位 置 关 系 有 两 种 情 况，所
39、以 利 用垂 径 定 理 计 算 时，不 要 漏 解 证 明 直 线 与 圆 的 相 切，一 般 有 两 种 情 况：（）已 知 直 线 与 圆 有 公 共 点，这 时 连 结 圆 心 与 公 共 点 的 半径，证 明 该 半 径 与 已 知 直 线 垂 直（）不 知 直 线 与 圆 有 公 共 点，这 时 过 圆 心 作 与 已 知 直 线 垂 直的 线 段，证 明 此 线 段 的 长 与 半 径 相 等 在 解 决 两 圆 相 交 问 题 时，常 添 连 心 线，公 共 弦 等 辅 助 线，使 两 圆 半 径、圆 心 距、公 共 弦 长 的 一 半 集 中 于 直 角 三 角 形 中，利用
40、 三 角 形 的 有 关 知 识 加 以 解 决 等 弧 的 弧 长 一 定 相 等，但 弧 长 相 等 的 弧 不 一 定 是 等 弧 易 错 题 警 示【例 】（山 东 聊 城）如 图，犗 是 犃 犅 犆 的 外 接圆，犃 犅 犃 犆 ，犅 犆 ，犘 是 犅 犆 上 的 一 个 动 点，过 点 犘 作 犅 犆的 平 行 线 交 犃 犅 的 延 长 线 于 点 犇（）当 点 犘 在 什 么 位 置 时，犇 犘 是 犗 的 切 线？请 说 明 理 由（）当 犇 犘 为 犗 的 切 线 时，求 线 段 犇 犘 的 长【解 析】此 题 主 要 考 查 了 切 线 的 判 定 与 性 质 以 及 勾
41、 股 定 理和 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质，根 据 已 知 得 出 犃 犅 犈 犃 犇 犘 是解 题 关 键 对 切 线 的 判 定 与 性 质 定 理 混 淆 是 解 题 的 误 区（）根 据 当 点 犘 是 犅 犆 的 中 点 时，得 出 犘 犅 犃 犘 犆 犃，得 出 犘 犃是 犗 的 直 径，再 利 用 犇 犘 犅 犆，得 出 犇 犘 犘 犃，问 题 得 证（）利 用 切 线 的 性 质，由 勾 股 定 理 得 出 半 径 长，进 而 得 出 犃 犅 犈 犃 犇 犘，即 可 得 出 犇 犘 的 长【答 案】（）当 点 犘 是 犅 犆 的 中 点 时，犇 犘 是 犗 的
42、切 线 理由 如 下：犃 犅 犃 犆，犃 犅 犃 犆 又 犘 犅 犘 犆，犘 犅 犃 犘 犆 犃 犘 犃 是 犗 的 直 径 犘 犅 犘 犆，又 犃 犅 犃 犆，犘 犃 犅 犆 又 犇 犘 犅 犆，犇 犘 犘 犃 犇 犘 是 犗 的 切 线（）连 结 犗 犅，设 犘 犃 交 犅 犆 于 点 犈 寓 理 于 算，理 论 高 度 概 括 由 于 中 国 传 统 数 学 注 重 解 决 实 际 问 题，再 加 上 中 国 人 的 综 合、归 纳 思 维，所 以 中 国 传 统 数 学 不 关 心 数 学 理 论 的形 式 化，但 这 并 不 意 味 着 中 国 传 统 数 学 仅 停 留 在 经 验
43、 层 次 而 无 理 论 建 树 其 实，中 国 古 代 数 学 的 算 法 中 蕴 涵 着 建 立这 些 算 法 的 理 论 基 础，中 国 古 代 数 学 家 习 惯 把 数 学 概 念 与 方 法 建 立 在 少 数 几 个 不 证 自 明、形 象 直 观 的 数 学 原 理 之上，如 代 数 中 的“率”的 理 论、平 面 几 何 中 的“出 入 相 补”原 理、立 体 几 何 中 的“阳 马 术”等 由 垂 径 定 理，得 犅 犈 犈 犆 在 犃 犅 犈 中，由 勾 股 定 理，得犃 犈 犃 犅 犅 犈槡 槡 设 犗 的 半 径 为 狉，则 犗 犈 狉 在 犗 犅 犈 中，由 勾 股
44、 定 理，得狉 （狉）解 得 狉 犇 犘 犅 犆，犃 犅 犈 犇 又 ，犃 犅 犈 犃 犇 犘 犅 犈犇 犘 犃 犈犃 犘，即犇 犘 解 得 犇 犘 【例 】（浙 江 金 华）如 图，已 知 犃 犅 是 犗 的 直 径，点 犆、犇 在 犗 上，点 犈 在 犗 外，犈 犃 犆 犇 （）求 犃 犅 犆 的 度 数；（）求 证：犃 犈 是 犗 的 切 线；（）当 犅 犆 时，求 劣 弧 犃 犆 的 长 【解 析】本 题 主 要 考 察 了 切 线 的 判 定；圆 周 角 定 理；弧 长 的计 算 对 公 式 及 定 义 的 记 忆 不 牢 或 不 准 是 学 生 最 常 见 得 错 误 在圆 周 角
45、 定 理 要 强 调“同 弧”的 重 要 性【答 案】（）犃 犅 犆 与 犇 都 是 弧 犃 犆 所 对 的 圆 周 角，犃 犅 犆 犇 （）犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犆 犅 犅 犃 犆 犃 犅 犆 ，犅 犃 犈 犅 犃 犆 犈 犃 犆 ，即 犅 犃 犃 犈 犃 犈 是 犗 的 切 线（）如 图，连 结 犗 犆 犗 犅 犗 犆，犃 犅 犆 ，犗 犅 犆 是 等 边 三 角 形 犗 犅 犅 犆 ，犅 犗 犆 犃 犗 犆 劣 弧 犃 犆 的 长 为 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （东 阿 县 一 模）如 图，在 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 犆 ，犃 犅 ，点 犘 在 犃
46、 犆 上，犃 犘 ，若 犗 的 圆 心 在 线 段 犅 犘 上，且 犗 与 犃 犅、犃 犆 都 相 切，则 犗 的 半 径 是（）（第 题）（第 题）（聊 城 一 模）如 图，顺 次 连 结 圆 内 接 矩 形 各 边 的 中 点，得 到菱 形 犃 犅犆 犇，若 犅 犇 ，犇 犉 ，则 菱 形 犃 犅犆 犇 的 边 长 为（）槡 槡 （山 东 实 验 中 学 模 拟）将 半 径 为 的 圆 形 铁 皮，做成 四 个 相 同 的 圆 锥 容 器 的 侧 面（不 浪 费 材 料，不 计 接 缝 处 的 材料 损 耗），那 么 每 个 圆 锥 容 器 的 底 面 半 径 为（）（滨 州 模 拟）如
47、图，将 一 个 半 径 为 ，圆 心 角 为 的 扇形 犃 犗 犅，如 同 放 置 在 直 线 犾 上（犗 犃 与 直 线 犾 重 合），然 后 将 这个 扇 形 在 直 线 犾 上 无 摩 擦 滚 动 至 犗犃犅 的 位 置，在 这 个 过 程中，点 犗 运 动 到 点 犗 的 路 径 长 度 为（）（第 题）（海 阳 模 拟）如 图，把 正 犃 犅 犆 的 外 接 圆 对 折，使 点 犃与 劣 弧 犅 犆 的 中 点 犕重 合，折 痕 分 别 交 犃 犅、犃 犆 于 点 犇、犈，若对 博 弈 问 题 的 研 究 可 以 追 溯 到 世 纪 甚 至 更 早，但 都 是 零 星 的、片 断 的
48、 研 究，带 有 很 大 的 偶 然 性，很 不 系 统 世 纪初，塞 梅 鲁、鲍 罗 和 冯 诺 伊 曼 已 经 开 始 研 究 博 弈 的 准 确 的 数 学 表 达 冯 诺 依 曼 是 生 于 匈 牙 利 的 天 才 数 学 家 他 不 仅 创 立了 经 济 博 弈 论，还 发 明 了 计 算 机 年，冯 诺 依 曼 和 摩 根 斯 特 恩 的 博 弈 论 与 经 济 行 为 一 书 中 提 出 的 标 准 型、扩 展 型 和合 作 型 博 弈 模 型 解 的 概 念 和 分 析 方 法，标 志 着 现 代 系 统 博 弈 理 论 的 初 步 形 成 然 而 诺 依 曼 的 博 弈 论
49、过 于 抽 象，使 应 用 范 围受 到 很 大 限 制，因 此 影 响 力 很 有 限 犅 犆 ，则 线 段 犇 犈 的 长 为（）（第 题）槡 槡二、填 空 题 （聊 城 一 模）已 知 两 圆 的 圆 心 距 犱 ，两 圆 的 半 径 长 是 方 程狓 狓 的 两 根，则 这 两 圆 的 位 置 关 系 是 （山 东 实 验 中 学 模 拟）已 知 犗 与 犗 两 圆 内 含，犗 犗 ，犗 的 半 径 为 ，那 么 犗 的 半 径 狉 的 取 值 范 围 是 （济 宁 模 拟）如 图，王 虎 使 一 长 为 ，宽 为 的 长方 形 木 板，在 桌 面 上 做 无 滑 动 的 翻 滚（顺
50、时 针 方 向）木 板 上 点犃 位 置 变 化 为 犃 到 犃 到 犃 ，其 中 第 二 次 翻 滚 被 桌 面 上 一 小木 块 挡 住，使 木 板 与 桌 面 成 角，则 点 犃 翻 滚 到 犃 时 共 走过 的 路 径 长 为 （结 果 保 留 ）（第 题）（日 照 模 拟）圆 锥 的 底 面 半 径 为 ，侧 面 积 为 ，则 圆 锥的 高 线 长 为 （济 南 模 拟）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃 犅，连结 犗 犆、犃 犇，犗 犆 犇 ，则 犃 （第 题）三、解 答 题 （聊 城 一 模）如 图 所 示，犃 犅 是 犗 的 直 径，犅 犇 是 犗的 弦，延 长
51、 犅 犇 到 点 犆，使 犇 犆 犅 犇，连 结 犃 犆，过 点 犇 作 犇 犈 犃 犆 于 犈（）求 证：犃 犅 犃 犆；（）求 证：犇 犈 为 犗 的 切 线（第 题）（德 州 一 模）已 知 如 图（），犗 的 直 径 犃 犅 ，犃 犕 和 犅 犖是 它 的 两 条 切 线，犇 犈 切 犗 于 点 犈，交 犃 犕 于 点犇，交 犅 犖 于 点 犆（）设 犃 犇 犿，犅 犆 狀，若 犿，狀 是 方 程 狓 狓 犪 的 两个 根，求 犿，狀（）如 图（），连 结 犗 犇、犅 犈，求 证：犗 犇 犅 犈（第 题）（德 州 模 拟）如 图，犃 犅 为 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃 犅 于点 犈
52、（）当 犃 犅 ，犆 犇 时，求 犗 犈 的 长；（）犗 犆 犇 的 平 分 线 交 犗 于 点 犘，当 点 犆 在 上 半 圆（不 包括 点 犃、犅）上 移 动 时，对 于 点 犘，下 面 三 个 结 论：到 犆 犇 的 距 离 保 持 不 变；平 分 下 半 圆；等 分 犇 犅 其 中 正 确 的 为 ，请 予 以 证 明（第 题）（临 沂 模 拟）如 图 所 示，菱 形 犃 犅 犆 犇 的 顶 点 犃、犅 在 狓轴 上，点 犃 在 点 犅 的 左 侧，点 犇 在 狔 轴 的 正 半 轴 上，犅 犃 犇 ，点 犃 的 坐 标 为（，）（）求 线 段 犃 犇 所 在 直 线 的 函 数 表
53、达 式；（）动 点 犘 从 点 犃出 发，以 每 秒 个 单 位 长 度 的 速 度，按 照犃 犇 犆 犅 犃 的 顺 序 在 菱 形 的 边 上 匀 速 运 动 一 周，设 运 动 时 间 为 狋 秒 求 狋 为 何 值 时，以 点 犘 为 圆 心、以 为 半 径 的 圆 与 对 角 线 犃 犆 相 切？（第 题）布 丰 投 针 问 题（）是 第 一 个 用 几 何 形 式 表 达 概 率 问 题 的 例 子 这 个 问 题 是 世 纪 法 国 数 学 家 布丰 和 勒 克 莱 尔 提 出 的，并 记 载 于 布 丰 年 出 版 的 著 作 中 “在 一 平 面 上 画 有 一 组 间 距
54、为 犱 的 平 行 线，将 一 根 长 度 为 犔（犔 犱）的 针 任 意 投 掷 到 这 个 平 面 上，求 此 针 与 任 意 平 行 线 相 交 的 概 率”布 丰 证 明 了 该 针 与 任 意 平 行 线 相 交 的 概 率 为 犘 犔犱 利 用 这 公 式，将 这 一 试 验 重 复 进 行 多 次，并 记 下 相 交 的 次 数，便 得 到 犘 的 经 验 值，即 可 算 出 圆 周 率 的 近 似 值 年 全 国 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （浙 江 丽 水 一 模）如 图，犃 犅 为 犗 的 直 径，点 犆、犇 在 犗 上，犅 犃 犆 ，则 犃 犇 犆 （）（第 题
55、）（第 题）（四 川 泸 县 春 期 福 集 镇 青 龙 中 学 中 考 模 拟）将 量 角 器 按如 图 所 示 的 方 式 放 置 在 三 角 形 纸 板 上，使 点 犆 在 半 圆 上 点犃、犅 的 读 数 分 别 为 ，则 犃 犆 犅 的 大 小 为（）（北 京 西 城 区 初 三 一 模）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犅 ，犃 犆 是 弦，犃 犆 槡，犃 犗 犆 为（）（第 题）（第 题）（安 徽 马 鞍 山 六 中 中 考 一 模）如 图，两 正 方 形 彼 此 相 邻且 内 接 于 半 圆，若 小 正 方 形 的 面 积 为 ，则 该 半 圆 的 半 径为（）（槡）槡
56、槡 （安 徽 淮 南 市 洞 山 中 学 第 四 次 质 量 检 测）如 图，犃 犅 是 犗的 直 径，犆、犇 为 圆 上 两 点，犃 犗犆 ，则 犇 等 于（）（第 题）（第 题）（浙 江 金 华 一 模）如 图，犃 犅 犆 内 接 于 犗，犃 犇 是 犗的 直 径，犃 犅 犆 ，则 犆 犃 犇 的 度 数 是（）（福 建 福 州 模 拟 卷）一 条 排 水 管 的 截 面 如 图 所 示，已 知排 水 管 的 截 面 半 径 犗 犅 ，截 面 圆 圆 心 犗 到 水 面 的 距 离 犗 犆是 ，则 水 面 宽 犃 犅 是（）（第 题）（第 题）（浙 江 衢 州）一 个 圆 形 人 工 湖
57、如 图 所 示，弦 犃 犅 是 湖 上的 一 座 桥，已 知 桥 犃 犅 长 ，测 得 圆 周 角 犃 犆 犅 ，则这 个 人 工 湖 的 直 径 犃 犇 为（）槡 槡 槡 槡 （湖 南 娄 底）若 犗 的 半 径 为 ，点 犃 到 圆 心 犗 的 距离 为 ，那 么 点 犃 与 犗 的 位 置 关 系 是（）点 犃 在 圆 外 点 犃 在 圆 上 点 犃 在 圆 内 不 能 确 定二、填 空 题 （上 海 金 山 区 中 考 模 拟）已 知 两 圆 的 圆 心 距 为 ，其 中一 个 圆 的 半 径 长 为 ，那 么 当 两 圆 内 切 时，另 一 圆 的 半 径 为 （广 东 深 圳 龙
58、城 中 学 质 量 检 测）如 图，点 犃、犇 在 犗上，犅 犆 是 犗 的 直 径，犇 ，则 犗 犃 犆 （第 题）（第 题）（河 南 省 阳 市 二 中 模 拟）如 图，犃 犅 切 犗 于 点 犃，犅 犗交 犗 于 点 犆，点犇是 犆 犕 犃 上 异 于 点 犆、犃的 一 点，若 犃 犅 犗 ，则 犃 犇 犆 的 度 数 是 （江 苏 通 州 兴 仁 中 学 一 模）如 图，犃 犅 是 半 圆 犗的 直径，犗 犇 犃 犆，犗 犇 ，则 弦 犅 犆 的 长 为 （第 题）（北 师 大 昆 明 附 中）两 圆 的 半 径 分 别 为 和 ，圆 心 距 为 那 么 这 两 圆 的 位 置 关 系
59、 是 （第 题）（北 京 大 兴 区 模 拟）如 图，在 犗中，犆 犇 是 直 径，犃 犅 是 弦，犃 犅 犆 犇 于 犕，犆 犇 ，犇 犕 犆 犕 ，则 弦 犃 犅 的长 为 熊 庆 来（），字 迪 之，云 南 弥 勒 人，岁 考 入 云 南 省 高 等 学 堂，岁 赴 比 利 时 学 采 矿，后 到 法 国 留 学，并 获 博 士 学 位 他主 要 从 事 函 数 论 方 面 的 研 究，定 义 了 一 个“无 穷 级 函 数”，国 际 上 称 为 熊 氏 无 穷 数 熊 庆 来 热 爱 教 育 事 业，为 培 养 中 国 的 科 学 人 才，做 出 了 卓 越 的 贡 献 年，他 在 清
60、 华 大 学 任 数 学 系 主 任 时，从 学 术 杂 志 上 发 现 了华 罗 庚 的 名 字，了 解 到 华 罗 庚 的 自 学 经 历 和 数 学 才 华 以 后，毅 然 打 破 常 规，请 只 有 初 中 文 化 程 度 且 年 仅 岁 的 华 罗 庚 到 清 华 大 学 在熊 庆 来 的 培 养 下，华 罗 庚 后 来 成 为 著 名 的 数 学 家 我 国 许 多 著 名 的 科 学 家 都 是 他 的 学 生 在 多 岁 高 龄 时，他 虽 已 半 身 不 遂，还 抱 病指 导 两 个 研 究 生，他 们 就 是 青 年 数 学 家 杨 乐 和 张 广 厚 （浙 江 泰 顺 七
61、 中 模 拟）如 图，犃 犅 是 犗 的 弦，犃 犅 ，犗 的 半 径 ，半 径 犗 犆 犃 犅 于 点 犇，则 犗 犇 的 长 是 （第 题）三、解 答 题 （上 海 金 山 区 中 考 模 拟）在 平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，以点 犃 为 圆 心，犃 犅 为 半 径 的 圆，交 犅 犆 于 点 犈（）求 证：犃 犅 犆 犈 犃 犇；（）如 果 犃 犅 犃 犆，犃 犅 ，犅 ，求 犈 犆 的 长（第 题）（江 苏 徐 州 市 模 拟）如 图，平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，以 犃为 圆 心，犃 犅 为 半 径 的 圆 分 别 交 犃 犇、犅 犆 于 点 犉、犌，延 长 犅
62、 犃交 圆 于 犈 求 证：犈 犉 犉 犌（第 题）（江 西 南 昌 十 五 校 联 考）如 图，犅 犇 是 犗 的 直 径，犃、犆是 犗 上 的 两 点，且 犃 犅 犃 犆，犃 犇 与 犅 犆的 延 长 线 交 于 点犈（）求 证：犃 犅 犇 犃 犈 犅；（）若 犃 犇 ，犇 犈 ，求 犗 半 径 的 长（第 题）已 知，如 图 所 示，犅 犆 与 犃 犇 的 度 数 之 差 为 ，弦 犃 犅 与 犆 犇交于 点 犈，犆 犈 犅 ，则 犆 犃 犅 等 于（）（第 题）（第 题）如 图，犃 犅 犅犆，犃 犅 犅犆 ，弧 犗 犃 与 弧 犗犆 关 于 点 犗 中 心 对称，则 犃 犅、犅犆、弧
63、犆犗、弧 犗 犃 所 围 成 的 面 积 是 两 圆 内 切，其 中 一 个 圆 的 半 径 为 ，两 圆 的 圆 心 距 为 ，则 另 一个 圆 的 半 径 是 （第 题）如 图 所 示，已 知 在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犆 ，犅 犃 犆 ，犃 犅 槡 ，将 犃 犅 犆 绕 顶 点 犆顺 时 针 旋 转 至 犃犅犆 的 位 置，且 犃、犆、犅 三 点 在 同 一 条 直 线上，则 点 犃 经 过 的 最 短 路 线 的长 度 是 在 一 次 数 学 探 究 性 学 习 活 动 中，某 学 习 小 组 要 制 作 一 个 圆 锥体 模 型，操 作 规 则 是：在 一 块 边 长 为 的 正
64、方 形 纸 片 上 剪出 一 个 扇 形 和 一 个 圆，使 得 扇 形 围 成 圆 锥 的 侧 面 时，圆 恰 好 是该 圆 锥 的 底 面 他 们 首 先 设 计 了 如 图 所 示 的 方 案 一，发 现 这 种方 案 不 可 行，于 是 他 们 调 整 了 扇 形 和 圆 的 半 径，设 计 了 如 图 所示 的 方 案 二（两 个 方 案 中，圆 与 正 方 形 相 邻 两 边 及 扇 形 的 弧 均相 切，方 案 一 中 扇 形 的 弧 与 正 方 形 的 两 边 相 切）（）请 说 明 方 案 一 不 可 行 的 理 由；（）判 断 方 案 二 是 否 可 行；若 可 行，请 确
65、 定 圆 锥 的 母 线 长 及 其底 面 圆 半 径；若 不 可 行，请 说 明 理 由（第 题）张 宇 同 学 是 一 名 天 文 爱 好 者，他 通 过 查 阅 资 料 得 知：地 球、火 星的 运 行 轨 道 可 以 近 似 地 看 成 是 以 太 阳 为 圆 心 的 两 个 同 心 圆，且这 两 个 同 心 圆 在 同 一 平 面 上（如 图 所 示）由 于 地 球 和 火 星 的 运动 速 度 不 同，所 以 二 者 的 位 置 不 断 发 生 变 化 当 地 球、太 阳 和 火星 三 者 处 在 同 一 条 直 线 上，且 太 阳 位 于 地 球、火 星 中 间 时，称 为“合”
66、；当 地 球、太 阳 和 火 星 三 者 处 在 同 一 条 直 线 上，且 地 球 位 于太 阳、火 星 中 间 时，称 为“冲”另 外，从 地 球 上 看 火 星 与 太 阳，当两 条 视 线 互 相 垂 直 时，分 别 称 为“东 方 照”和“西 方 照”已 知 地球 距 太 阳 千 万 千 米，火 星 距 太 阳 千 万 千 米（）分 别 求“合”“冲”“东 方 照”“西 方 照”时，地 球 与 火 星 的 距离；（结 果 保 留 准 确 值）（）如 果 从 地 球 上 发 射 宇 宙 飞 船 登 上 火 星，为 了 节 省 燃 料，应选 择 在 什 么 位 置 时 发 射 较 好？说
67、 明 你 的 理 由（注：从 地 球 上 看 火 星，火 星 在 地 球 左、右 两 侧 时 分 别 叫 做“东 方 照”“西 方 照”）（第 题）如 图，犗 的 内 接 正 五 边 形 犃 犅 犆 犇 犈 的 对 角 线 犃 犇 与 犅 犈 相 交于 点 犕（）请 直 接 写 出 图 中 所 有 等 腰 三 角 形；（）求 证：犅 犕 犅 犈 犕 犈（第 题）解 析 过 点 犗 向 犃 犅 作 垂 线 犗 犇，垂 足 为 犇，连 结 犗 犃，则 犃 犇 犃 犅槡 根 据 勾 股 定 理 得 犗 犇 又 犃 犆 犃 犅 槡，所 以 犆 犇 犃 犇 犃 犆 槡 在 直 角 三 角 形犗 犇 犆
68、中，利 用 勾 股 定 理 得 犗 犆 的 长 是 槡（）槡槡 槡 解 析 如 图，连 结 犗 犗 、犗 犗 图 形 既 关 于 犗 犗 所 在 直 线 对 称，又 关 于 犗 犗 所 在直 线 对 称，犗 犗 犗 犗 ，犗、犗 、犗 共 线，犗、犗 、犗 共 线 犗 ，犗，犗 的 半 径 均 为 ，犗 ，犗 的 半径 均 为 ，犗 的 直 径 为 ，犗 的 直 径 为 犗 犗 ，犗 犗 犛 四 边 形 犗 犗 犗 犗 犗 犗 犗 犗 （）解 析 点 犘 坐 标 为（，），犗 犘 槡槡 点 犃、犘 均 在 以 点 犗 为 圆 心，以 犗 犘 为 半 径 的 圆 上，犗 犃 犗 犘槡 ，槡 点
69、犃 在 狓 轴 的 负 半 轴 上，点 犃 的 横 坐 标 介 于 和 之 间 解 析 犃 犅 是 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃 犅，垂 足 为犕，犕 为 犆 犇 的 中 点，即 犆 犕 犇 犕 犅 为 犆 犇 的 中 点，即 犆 犅 犇 犅 故 选 项 、成 立 在 犃 犆 犕 和 犃 犇 犕 中，犃 犕 犃 犕，犃 犕 犆 犃 犕 犇 ，犆 犕 犇 犕，犃 犆 犕 犃 犇 犕（）犃 犆 犇 犃 犇 犆 故 选 项 成 立 而 犗 犕 与 犕 犇 不 一 定 相 等，选 项 不 成 立 解 析 如 图，连 结 犃 犈、犗 犈、犗 犇（第 题）犃 犅 是 直 径，犃 犈 犅 又 犅 犈 犇
70、，犃 犈 犇 犃 犗 犇 犃 犈 犇 犗 犃 犗 犇，犃 犗 犇 是 等 边 三 角 形 犅 犃 犆 点 犈为 犅 犆的 中 点，犃 犈 犅 ，犃 犅 犃 犆 犃 犅 犆 是 等 边 三 角 形，犈 犇 犆 也 是 等 边 三 角 形，且犈 犆 犅 犆 犅 犗 犈 犈 犗 犇 犅 犈 和 弦 犅 犈 围 成 的 部 分 的 面 积 犇 犈 和 弦 犇 犈 围 成 的部 分 的 面 积 阴 影 部 分 的 面 积 犛 犈犇 犆 槡 槡 解 析 因 为 两 圆 的 半 径 之 和 等 于 两 圆 的 圆 心距 所 以 根 据 两 圆 位 置 关 系 的 判 定，可 知 两 圆 外 切 解 析 连
71、结 犗 犃，设 犗 的 半 径 为 狉，由 于 犃 犅 垂 直 平 分半 径 犗 犆，犃 犅槡，则 犃 犇 犃 犅 槡，犗 犇 狉，再 利 用 勾股 定 理 即 可 得 出 结 论 解 析 连 结 犗 犃，则 在 犃 犗 犘中，犗 犃 犘 犃 犃 犘 犗槡 槡 槡 解 析 由 半 径 为 的 小 圆 在 半 径 为 的 大 圆 内 滚 动，且 始 终 与 大 圆 相 切，即 可 求 得 空 白 处 的 圆 的 半 径 为 （）即 可 求 得 阴 影 部 分 的 面 积：解 析 此 题 可 转 化 为 求 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 由 勾股 定 理 可 得 斜 边 为 ，设 内 切 圆
72、 半 径 为 狉，则 利 用 面 积 法可 得：狉（），解 得 狉 从 而 管 道为 （）解 析 本 题 直 接 告 诉 了 两 圆 的 半 径 及 圆 心 距，根 据 数量 关 系 与 两 圆 位 置 关 系 的 对 应 情 况 便 可 直 接 得 出 答 案 外 离，则 犘 犚 狉；外 切，则 犘 犚 狉；相 交，则 犚 狉 犘 犚 狉；内 切，则 犘 犚 狉；内 含，则 犘 犚 狉（犘 表 示 圆心 距，犚，狉 分 别 表 示 两 圆 的 半 径）解 析 如 图，设 半 圆 犃 犆 的 圆 心 为 犇，犈 犎与 半 圆 相切 于 点 犕，连 结 犇 犕，并 延 长 犕 犇 交 犅 犆 于
73、 点 犖，交 犉 犌 于点 犘，则 有 犇 犕 犈 犎，犕 犘 犉 犌（第 题）犕 犘 犈 犉，且 犕 犘 犈 犉 犈 犉 犃 犅，犕 犘 犃 犅 犃 犇 犇 犆，犅 犖 犆 犖，即 点 犖为 半 圆 犅 犆的 圆 心 点 犘 是 切 点 犃 犅 ，犅 犆 ，犃 犆 犇 犕 ，犇 犖 ，犖 犘 ，即犈 犉 犕 犘 同 理 可 得 犈 犎 矩 形 犈 犉 犌 犎 的 周 长 是 解 析 在 优 弧 犃 犇 犆 上 取 点 犇，连 结 犃 犇，犆 犇 犃 犗 犆 ，犃 犇 犆 犃 犗 犆 犃 犅 犆 犃 犇 犆 ，犃 犅 犆 犃 犇 犆 解 析 连 结 犃 犇，则 犃 犇 犆 犇 犃 犅 因 为
74、犅 犈是 犗 的 直 径，则 犇 犈 犅 犇 犅 犈 因 为 同 弧 所 对的 圆 周 角 相 等，所 以 犇 犃 犅 犇 犈 犅，则 犃 犇 犆 犇 犅 犈 所 以 犇 犈 犃 犆 （第 题）解 析 如 图：犃 犅 犆 为 正 三 角 形，犃 犅 犆 ，犃 犅 犃 犆 犅 犆 犃 犅 犅 犆 犃 犆 根 据 题 意 可 知 凸 轮 的 周 长 为 三 个弧 长 的 和，即 凸 轮 的 周 长 犃 犅 犅 犆 犃 犆 解 析 连 结 犗 犅 犃 犅 与 犗 相 切 于 点 犅，圆 年 考 题 探 究 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练 解 析 解 一 元 二 次 方 程 狓 狓 ，得 狓
75、或 狓 ，可 知 两 圆 的 半 径 分 别 为 狉 、犚 ，而 犗 犗 ，所 以 犚 狉 犗 犗 ，所 以 两 圆 的 位 置 关 系 是 外 切 犃 犅 犗 犃 犅 犆 ，犗 犅 犆 犗 犅 犗 犆，犗 犆 犅 犅 犗 犆 犅 犆 的 长 解 析 圆 锥 的 底 面 圆 的 周 长 ，所 以 圆 锥 的 侧 面 积 犪 解 析 由 已 知，两 圆 半 径 之 差 为 ，故两 圆 内 含 其 圆 心 距 犪 即 犪 答 案 不 唯 一，如 狓 槡 狓 解 析 如 图 连 结 犃 犇、犅 犇、犗 犇，由 犃 犅 为 直 径 与 四 边 形 犇 犆 犉 犈是 正 方 形，可 证得 犃 犆 犇 犇
76、 犆 犅，则 可 求 得 犃 犆 犅 犆 犇 犆 ；又 在 犗 犆 犇 中，犆 犇 ，犗 犆 ，由 勾 股 定 理 犗 犆 犆 犇 犗 犇 得 犗 犇 槡，即 犃 犆 犅 犆 犃 犅槡 因 此 根 据 一元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 可 得 以 犃 犆 和 犅 犆 的 长 为 两根 的 一 元 二 次 方 程 是 犫 解 析 连 结 犗 犃，则 由 切 线 的 性 质 知 犘 犃 犗 是 直 角三 角 形，根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 是 圆 心 角 一 半 的 关 系，即可 求 得 犘 犗 犃 犃 犅 犆 ，从 而 根 据 三 角 形 内 角 和定 理 可 得 犘
77、 犘 犗 犃 解 析 连 结 犗 犇，过 点 犗 作 犗 犉 犇 犆 于 犉 犃 犈 ，犅 犈 ，犗 犇 犗 犃 犆 犇槡 ，犇 犉槡 在 犗 犇 犉中，犗 犉犗 犇 犇 犉槡 （槡 ）槡 在 犈 犉 犗 中，犗 犈 犃 犈 犃 犗 ，犗 犉 犃 犈 犇 犗 犉犗 犈 犃 犈 犇 （第 题）犘 犃、犘 犅 分 别 切 犗 于 点 犃、犅，犃 犆 是 犗 的 直 径，犘 犃 犆 ，犘 犃 犘 犅 犘 犃 犅 犘 犅 犃 又 犘 ，犘 犃 犅 犘 犅 犃 犅 犃 犆 犘 犃 犆 犘 犃 犅 （）连 结 犗 犆 如 图：（第 题）犆 犈 犃 犅，犆 犉 犃 犉，犆 犈 犆 犉，犃 犆 平 分 犅 犃
78、 犉，即 犅 犃 犉 犅 犃 犆 犅 犗 犆 犅 犃 犆，犅 犗 犆 犅 犃 犉 犗 犆 犃 犉 犆 犉 犗 犆 犆 犉 是 犗 的 切 线（）犃 犅 是 犗 的 直 径，犆 犇 犃 犅，犆 犈 犈 犇 犛 犆犅 犇 犛 犆犈 犅，犅 犃 犆 犅 犆 犈 犃 犅 犆 犆 犅 犈 犛 犆犅 犈犛 犃犅 犆 犅 犆（）犃 犅（犅 犃 犆）（）犛 犆犅 犇犛 犃犅 犆 （）证 明：因 为 弧 犈 犇 所 对 的 圆 周 角 相 等，所 以 犈 犅 犇 犈 犆 犇 又 犃 犃，所 以 犃 犅 犇 犃 犆 犈（）因 为 犛 犅犈 犆 犛 犅犆 犇，犛 犃犆 犈 犛 犃犅 犆 犛 犅犈 犆，犛 犃犅 犇
79、犛 犃犅 犆 犛 犅犆 犇，所 以 犛 犃犆 犈 犛 犃犅 犇 又 由（）知 犃 犅 犇 犃 犆 犈，所 以 对 应 边 之 比 等 于 所 以 犃 犅 犃 犆，即 三 角 形 犃 犅 犆 为 等 腰 三 角 形 （）犗 犇 犅 犆，犗 犇 犅 犆 证 明：犗 犇 犃 犆，犃 犇 犇 犆 犃 犅 是 犗 的 直 径，犗 犃 犗 犅 犗 犇 是 犃 犅 犆 的 中 位 线 犗 犇 犅 犆，犗 犇 犅 犆（）如 图，连 结 犗 犆，设 犗 犘 与 犗 交 于 点 犈（第 题）犗 犇 犃 犆，犗 犇 经 过 圆 心 犗，犃 犈 犆 犈，即 犃 犗 犈 犆 犗 犈 在 犗 犃 犘 和 犗 犆 犘 中，
80、犗 犃 犗 犆，犗 犘 犗 犘，犃 犗 犈 犆 犗 犈，犗 犃 犘 犗 犆 犘 犗 犆 犘 犗 犃 犘 犘 犃 是 犗 的 切 线，犗 犃 犘 犗 犆 犘 ，即 犗 犆 犘 犆 犘 犆 是 犗 的 切 线 （）证 明：连 结 犃 犇 犆 犓 犉 是 圆 内 接 四 边 形 犃 犇 犆 犓的 外 角，犆 犓 犉 犃 犇 犆 犃 犅 为 犗 的 直 径，弦 犆 犇 犃 犅，犃 犇 犃 犆 犃 犇 犆 犃 犓 犇 犃 犓 犇 犆 犓 犉（）连 结 犗 犇 犃 犅 为 犗 的 直 径，犃 犅 ，犗 犇 弦 犆 犇 犃 犅，犆 犇 ，犇 犈 （第 题）在 犗 犇 犈 中，犗 犈 犗 犇 犇 犈槡 ，犃
81、犈 在 犃 犇 犈 中，犃 犇 犈 犃 犈犇 犈 犆 犓 犉 犃 犇 犈，犆 犓 犉 （）如 图，连 结 犗 犆（第 题）在 犗 犆 犈 中，犗 犆 犗 犃 ，犗 犈 犗 犃 犃 犈 ，犆 犈 犗 犆 犗 犈槡槡槡 犆 犇 犃 犅，犆 犇 犆 犈槡 （）犅 犉 是 犗 的 切 线，犉 犅 犃 犅 又 犆 犇 犃 犅，犆 犈 犉 犅 犃 犆 犈 犃 犉 犅 犆 犈犅 犉 犃 犈犃 犅，即槡 犅 犉 犅 犉槡 （）点 犆 是 犗 犃 的 中 点，犗 犆 犗 犃 犗 犇 犆 犇 犗 犃，犗 犆 犇 在 犗 犆 犇 中，犆 犗 犇 犗 犆犗 犇 ，犆 犗 犇 ，即 犃 犗 犇 （）连 结 犗 犈 点
82、犈 是 犅 犇弧 的 中 点，犇 犈 犅 犈 犅 犗 犈 犇 犗 犈 犇 犗 犅 （犆 犗 犇）犗 犃 犗 犈，犈 犃 犗 犃 犈 犗 又 犈 犃 犗 犃 犈 犗 犈 犗 犅 ，犈 犃 犗 犘 犇 犃 犈，犘 犈 犃 犗 由（）知 犃 犗 犇 ，犘 犇 犗 （犘 犘 犗 犇）（）犘 犇 是 圆 犗 的 切 线 （）证 明：连 结 犗 犆 犃 犆 犆 犇，犃 犆 犇 ，犃 犇 犗 犃 犗 犆，犃 犗 犆 犇 犃 犆 犇 犆 犇 是 犗 的 切 线（第 题）（）犃 ，犃 犛 扇 形 犗犅 犆 在 犗 犆 犇 中，犆 犇 犗 犆 槡 犛 犗犆 犇 犗 犆 犆 犇 槡槡 图 中 阴 影 部 分 的 面
83、 积 为 （）犃 犇 为 直 径，犃 犇 犅 犆，犅 犇 犆 犇 犅 犇 犆 犇（）犅、犈、犆 三 点 在 以 犇 为 圆 心，以 犇 犅 为 半 径 的 圆 上 理 由：由（）知：犅 犇 犆 犇，犅 犃 犇 犆 犅 犇 犇 犅 犈 犆 犅 犇 犆 犅 犈，犇 犈 犅 犅 犃 犇 犃 犅 犈，犆 犅 犈 犃 犅 犈，犇 犅 犈 犇 犈 犅 犇 犅 犇 犈 由（）知：犅 犇 犆 犇 犇 犅 犇 犈 犇 犆 犅、犈、犆 三 点 在 以 犇 为 圆 心，以 犇 犅 为 半 径 的 圆 上 （）连 结 犗 犆，设 犗 犆 狉 犃 犆 与 犗 相 切，犗 犆 犃 犆 犃 犗 犆犗 犃，犗 犃 狉 犃 犆
84、 犗 犃 犗 犆 狉 狉 狉 ，即 犗 的 半 径 为 （）连 结 犆 犇 犗 犇 犅 犇，犗 犆 犅 犇，犆 犇 犗 犇 犗 犆 犆 犗 犇 犅 犇槡 犗 犆槡 犛 阴 影 犛 犗犆 犅 犛 扇 形 犗犆 犇 槡 槡 （）连 结 犗 犈 犃 犅 犃 犆 且 犇 是 犅 犆 中 点，犃 犇 犅 犆 犃 犈 平 分 犅 犃 犇，犅 犃 犈 犇 犃 犈 犗 犃 犗 犈，犗 犃 犈 犗 犈 犃，则 犗 犈 犃 犇 犃 犈 犗 犈 犃 犇 犗 犈 犅 犆 犅 犆 是 犗 的 切 线（）犃 犅 犃 犆，犅 犃 犆 ，犅 犆 ，犃 犇 犅 犆，犈 犗 犃 犇 犅 犃 犇 犈 犗 犅 且 犃 犈 平 分 犅
85、 犃 犇 犈 犃 犗 犈 犃 犌 又 犈 犉 犌 与 犇 犃 犈 都 对 应 弧 犌 犈，犈 犉 犌 犈 犃 犗（同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等）犈 犉 犌 年 全 国 中 考 真 题 演 练 解 析 因 为 犃 犗 犆 犅 ，犆 犗 犘 犃 犗 犆 解 析 犃 犆 犅 犃 犗 犅 解 析 连 结 犗 犅，过 犗 作 犗 犎 犃 犅，交 犃 犅 于 点 犎 在 犗 犅 犎 中，由 勾 股 定 理 可 知，犗 犎 ，同 理 可 作 犗 犈 犆 犇，犗 犈 ，且 易 证 犗 犘 犈 犗 犘 犎，所 以 犗 犘槡 解 析 同 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 圆 心 角 的 一 半 解 析
86、 圆 锥 形 礼 帽 的 侧 面 积 （）解 析 这 五 个 圆 没 有 内 切 关 系 解 析 连 结 犅 犇，则 犃 犇 犅 犃 犆 犅 ，又 犃 犇 为 直 径，犃 犅 犇 犃 犇 犃 犅 犅 犇槡 槡槡 （）解 析 连 结 犗 犅、犗 犆 在 犗 犅 犃 中，犗 犅 犗 犃 犃 犅槡槡 由 犃 犗 犅犃 犅 槡，得 犃 犆 犅 犗 犅 犗 犃 ，犆 犗 犅 犅 犆 狀犚 槡 槡 解 析 犅 犆 狀犚 解 析 若 两 圆 相 交，则 圆 心 距 狉 狉 犗 犗 狉 狉 ，选 槡 解 析 扇 形 的 弧 长 为 ，从 而 计 算 出 圆 锥 的 底 面半 径 为 解 析 利 用 圆 锥 的
87、 侧 面 积 公 式 计 算 解 析 利 用 弧 长 公 式 计 算 解 析 曲 线 犆 犇 犈 犉 的 长 是 （）解 析 犃 犇 ，在 犃 犆 犅 中，犃 犅 犅 犆 解 析 连 结 犗 犅，在 犗 犅 犃 中，犃 犗 犅 犃 ，犃 犆 犅 犃 犗 犅 解 析 由 题 意 知 犕 犗 犖 ，所 以 犕 犃 犖 （）犃 犅 是 直 径，犃 犇 犅 即 犃 犇 犅 犆 又 犃 犅 犃 犆，犇 是 犅 犆 的 中 点（）在 犅 犈 犆 与 犃 犇 犆 中，犆 犆，犆 犃 犇 犆 犅 犈，犅 犈 犆 犃 犇 犆（）犅 犈 犆 犃 犇 犆，犃 犆犆 犇 犅 犆犆 犈 又 犇 是 犅 犆 的 中 点，
88、犅 犇 犆 犇 犅 犆 犃 犆犅 犇 犅 犇犆 犈则 犅 犇 犃 犆 犆 犈 在 犅 犘 犇 与 犃 犅 犇 中，有 犅 犇 犘 犅 犇 犃，又 犃 犅 犃 犆，犃 犇 犅 犆，犆 犃 犇 犅 犃 犇 又 犆 犃 犇 犆 犅 犈，犇 犅 犘 犇 犃 犅 犅 犘 犇 犃 犅 犇 犅 犇犘 犇 犃 犇犅 犇 则 犅 犇 犘 犇 犃 犇 由 ，得 犃 犆 犆 犈 犅 犇 犘 犇 犃 犇 犃 犅 犆 犈 犇 犘 犃 犇 （）连 结 犗 犇，在 犗 中，犇 犃 犅 ，犇 犗 犅 犇 犃 犅 又 犃 犅槡 ，犗 犅槡 犾 犅犇 槡 槡（）犃 犅 为 犗 的 直 径，犃 犇 犅 又 犇 犃 犅 ，犃 犅槡
89、，犅 犇槡，犃 犇 犃 犅 又 犃 犆 犃 犅，犆 犃 犅 犆 犃 犇 犇 犃 犅 又 犃 犇 犅 ，犇 犃 犅 犅 犆 犃 犇 犅 又 犇 犈 犆 犇，犆 犇 犈 犆 犇 犃 犃 犇 犈 又 犃 犇 犈 犈 犇 犅 ，犆 犇 犃 犈 犇 犅 犆 犇 犃 犈 犇 犅 犃 犆犅 犈 犃 犇犅 犇 又 犃 犆 ，犅 犈 槡 犅 犈 槡（）（）犇 与 犃 犅 相 切 于 点 犃，犃 犅 犃 犇 犃 犇 犅 犆，犇 犈 犅 犆，犇 犈 犃 犇 犇 犃 犅 犃 犇 犈 犇 犈 犅 四 边 形 犃 犅 犈 犇 为 矩 形（）四 边 形 犃 犅 犈 犇 为 矩 形，犇 犈 犃 犅 犇 犆 犇 犃，点 犆 在
90、 犇 上 犇 为 圆 心，犇 犈 犅 犆，犆 犉 犈 犆 犃 犇犅 犆 ，设 犃 犇 犽（犽 ），则 犅 犆 犽 犅 犈 犽，犈 犆 犅 犆 犅 犈 犽 犽 犽，犇 犆 犃 犇 犽 由 勾 股 定 理，得 犇 犈 犈 犆 犇 犆 ，即 犽 （犽）犽 犽 ，犽槡 犆 犉 犈 犆槡 （）犅 犉 是 犗 的 切 线，犃 犅 犅 犉 犃 犅 犆 犇，犆 犇 犅 犉（）连 结 犅 犇 犃 犅 是 直 径，犃 犇 犅 犅 犆 犇 犅 犃 犇，犅 犆 犇 ，犅 犃 犇 犃 犇犃 犅 又 犃 犇 ，犃 犅 犗 的 半 径 为 （）犇 犃 犈 犃 犈犃 犇 ，犃 犇 ，犃 犈 犈 犇 （）槡槡 犆 犇 犈 犇
91、槡 （）过 点 犗 作 犗 犇 犘 犅 于 点 犇，连 结 犗 犆 犘 犃 切 圆 犗 于 点 犆，犗 犆 犘 犃 又 点 犗 在 犃 犘 犅 的 平 分 线 上，犗 犆 犗 犇 犗 犇 犘 犅 犘 犅 与 圆 犗 相 切（）过 点 犆 作 犆 犉 犗 犘，垂 足 为 点 犉 在 犘 犆 犗 中，犘 犆 ，犗 犆 ，犗 犘 犗 犆 犘 犆槡 ，犗 犆 犘 犆 犗 犘 犆 犉 犛 犘犆 犗，犆 犉 在 犆 犗 犉 中，犗 犉 犗 犆 犆 犉槡 犈 犉 犈 犗 犗 犉 犆 犈 犈 犉 犆 犉槡 槡（第 题）年 模 拟 提 优 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 设 犃 犆 与 犗 相
92、切 于 点 犇，连 结 犗 犇，犃 犗 在 直角 三 角 形 犃 犅 犆 中，根 据 勾 股 定 理，得 犅 犆 ，再 证 明 犅 犆 犘 犆，所 以 可 求 犅 犘 犆 设 犗 的 半 径 是 狉，根 据 三 角形 犃 犅 犘 的 面 积 的 两 种 表 示 方 法，得 狉 狉 ，解 方 程即 可 求 解 解 析 由 菱 形 犃 犅 犆 犇，得 到 犃 犆 犅 犇，由 勾 股 定 理 求 出犃 犇，再 根 据 勾 股 定 理 即 可 求 出 答 案 解 析 每 个 圆 锥 的 侧 面 扇 形 的 弧 长 是 圆 的 周 长 的 ，据 此 即 可 求 得 扇 形 展 开 图 中 的 弧 长，即
93、 圆 锥 的 底 面 圆 的 周长，根 据 圆 周 长 计 算 公 式 即 可 求 得 底 面 半 径 长 解 析 可 以 视 为 以 点 犃 为 圆 心 以 犗 犃长 为 半 径，圆 心角 为 ，所 经 历 的 弧 长 的 倍，即 点 犗 到 点 犗 的 路 径 长为 解 析 连 结 犃 犕交 犇 犈于 点 犉，交 犅 犆 于 点 犌，则 犃 犕 犅 犆，则 犃 犉犃 犌 犇 犉犅 犌 犃 犉犃 犌 犇 犉 犅 犌 犇 犈 犇 犉 外 切 解 析 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得 到 两 圆 半 径 之 和，再与 圆 心 距 比 较 即 可 知 道 这 两 圆 的 位 置 关 系 是
94、外 切 狉 或 狉 解 析 首 先 由 题 意 知 犗 与 犗 两 圆内 含，则 知 两 圆 圆 心 距 犱 犚 狉，分 两 种 情 况 进 行 讨 论 解 析 第 一 次 转 动 是 以 点 犅 为 圆 心，犃 犅 为 半 径，圆心 角 是 度；第 二 次 转 动 是 以 点 犆 为 圆 心，犃 犆 为 半 径 圆心 角 为 度 槡 解 析 由 侧 面 积 公 式 知 母 线 犾 ，圆 锥 的 高 槡槡 解 析 犅 犗 犆 犗 犆 犇 ，犃 犅 犗 犆 （）连 结 犃 犇 犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犇 犅 又 犇 犆 犅 犇，犃 犇 是 犅 犆 的 中 垂 线 犃 犅 犃 犆（）连 结
95、 犗 犇 犃 犅 犃 犆，犃 犇 犅 犆，犈 犃 犇 犅 犃 犇 又 犗 犃 犗 犇，犅 犃 犇 犗 犇 犃 犈 犃 犇 犗 犇 犃 犗 犇 犃 犆 又 犇 犈 犃 犆，犗 犇 犈 犃 犈 犇 犇 犈 为 犗 的 切 线 （）如 图（），过 犇 作 犇 犉 犆 犅，交 犆 犅 于 点 犉 犇 犃 与 犇 犆 都 为 犗 的 切 线，犇 犃 犇 犈 又 犆 犅 与 犆 犈 都 为 犗 的 切 线，犆 犅 犆 犈，又 犇 犃 犅 犃 犅 犉 犅 犉 犇 ，四 边 形 犃 犅 犉 犇 为 矩 形 犇 犃 犉 犅，犇 犉 犃 犅 犃 犇 犿，犅 犆 狀，犃 犅 ，犆 犇 犆 犈 犈 犇 犇 犃 犆 犅
96、 犿 狀，犇 犉 犃 犅 ，犆 犉 犆 犅 犉 犅 狀 犿 在 犇 犉 犆 中，根 据 勾 股 定 理，得 犆 犇 犇 犉 犆 犉 ，即（犿 狀）（狀 犿），化 简，得 犿 狀 犿，狀 是 方 程 狓 狓 犪 的 两 个 根，根 据 韦 达 定 理 知，犿 狀 犪，即 犪 原 方 程 为 狓 狓 ，解 得犿 ，狀 ，或犿 ，狀 犿 狀，犿 ，狀 （）如 图（），连 结 犗 犈 犃 犕、犇 犈 是 犗 的 切 线，犇 犃 犇 犈，犗 犃 犇 犗 犈 犇 又 犗 犇 犗 犇，在 犃 犗 犇 和 犈 犗 犇 中，犇 犃 犇 犈，犗 犃 犇 犗 犈 犇 ，犗 犇 犗 犇烅烄烆，犃 犗 犇 犈 犗 犇（
97、）犃 犗 犇 犈 犗 犇 犃 犗 犈（全 等 三 角 形 的 对 应 角相 等）犃 犅 犈 犃 犗 犈（同 弧 所 对 的 圆 周 角 是 圆 心 角 的一 半），犃 犗 犇 犃 犅 犈（等 量 代 换）犗 犇 犅 犈（同 位 角 相 等，两 直 线 平 行）（第 题）（）直 径 犃 犅 弦 犆 犇，犃 犅 平 分 弦 犆 犇，即 犆 犈 犆 犇 在 犗 犆 犈 中，由 勾 股 定 理，得 犗 犈 犗 犆 犆 犈槡 槡 （）（第 题）证 明：连 结 犗 犘 犗 犆 犗 犘，又 ，犆 犇 犗 犘 犆 犇 犃 犅，犗 犘 犃 犅 犃 犗 犘 犅 犗 犘 犃 犘 犅 犘 即 点 犘 平 分 下 半
98、圆 （）点 犃 的 坐 标 为（，），犅 犃 犇 ，犃 犗 犇 ，犗 犇 犗 犃 槡 点 犇 的 坐 标 为（，槡 ）设 直 线 犃 犇 的 函 数 表 达 式 为 狔 犽狓 犫 由 题 意，得 犽 犫 ，犫槡 ，解 得犽槡，犫槡 直 线 犃 犇 的 函 数 表 达 式 为 狔槡 狓槡 （）四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 菱 形，犇 犆 犅 犅 犃 犇 犃 犇 犇 犆 犆 犅 犅 犃 如 图 所 示：点 犘 在 犃 犇上 与 犃 犆 相 切 时，犃 犘 狉 ，狋 点 犘 在 犇 犆 上 与 犃 犆 相 切 时，犆 犘 狉 ，犃 犇 犇 犘 狋 点 犘 在 犅 犆 上 与 犃 犆 相 切 时，犆
99、 犘 狉 ，犃 犇 犇 犆 犆 犘 狋 点 犘 在 犃 犅 上 与 犃 犆 相 切 时，犃 犘 狉 ，犃 犇 犇 犆 犆 犅 犅 犘 狋 当 狋 ，时，以 点 犘 为 圆 心、以 为 半 径 的圆 与 对 角 线 犃 犆 相 切（第 题）年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析 连 结 犅 犆，则 犃 犇 犆 犃 犅 犆 解 析 犃 犆 犅 （）解 析 过 点 犗 向 犃 犆 作 垂 线 即 可 解 析 小 正 方 形 边 长 是 ，设 大 正 方 形 边 长 是 狓，则 圆的 半 径 可 表 示 为 槡 狓，由 勾 股 定 理 列 出 方 程：（狓）（槡 狓）求 得 狓 ，即 圆 的 半
100、径 是槡 解 析 犇 犅 犗 犆 解 析 直 径 所 对 的 圆 周 角 等 于 ，同 弧 所 对 的 圆 周 角相 等 解 析 利 用 勾 股 定 理 求 得 犅 犆 ，所 以 犃 犅 解 析 连 结 犗 犅，则 犃 犗 犅 ，在 等 腰 犃 犗 犅 中由 勾 股 定 理 得 犗 半 径 犗 犃 犗 犅槡 ，则 犗 直 径犃 犇槡 解 析 犱 狉 即 点 犃 在 圆 内 解 析 两 圆 内 切 时，另 一 圆 的 半 径 减 去 等 于 圆 心 距 解 析 犃 犗 犆 犇 ，所 以 犗 犃 犆 犗 犆 犃 （）解 析 犃 犗 犅 犃 犅 犗 ，所 以 犃 犇 犆 的度 数 是 犃 犗 犅 度
101、 数 的 一 半 解 析 犃 犇 犗 犃 犆 犅 相 交 解 析 解 析 由 犇 犕 犆 犕 ，且 犆 犇 ，得 犇 犕 ，犆 犕 犗 犕 再 连 结 犗 犃，则犃 犅 犃 犕 犗 犃 犗 犕槡 槡 解 析 连 结 犗 犃，得 犗 犇 犗 犃 犃 犇槡 槡 （）四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 平 行 四 边 形，犃 犇 犅 犆，犃 犇 犅 犆 犃 犈 犅 犈 犃 犇 犃 犅 与 犃 犈 为 圆 的 半 径，犃 犅 犃 犈 犃 犈 犅 犅 犅 犈 犃 犇 犃 犅 犆 犈 犃 犇（）犃 犅 犃 犆，犅 犃 犆 在 犃 犅 犆 中，犅 犃 犅犅 犆 犅 ，犃 犅 ，犅 犆 过 圆 心 犃 作 犃 犎
102、 犅 犆，犎 为 垂 足 犅 犎 犎 犈 在 犃 犅 犎 中，犅 犅 犎犃 犅 犅 犎 犅 犎 犅 犈 犈 犆 犅 犆 犅 犈 连 结 犃 犌 犃 为 圆 心，犃 犅 犃 犌 犃 犅 犌 犃 犌 犅 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 平 行 四 边 形 犃 犇 犅 犆，犃 犌 犅 犇 犃 犌，犈 犃 犇 犃 犅 犌 犇 犃 犌 犈 犃 犇 犈 犉 犉 犌 （）犃 犅 犃 犆，犃 犅 犃 犆 犃 犅 犆 犃 犇 犅 又 犅 犃 犈 犇 犃 犅，犃 犅 犇 犃 犈 犅（）犃 犅 犇 犃 犈 犅，犃 犅犃 犈 犃 犇犃 犅 犃 犇 ，犇 犈 ，犃 犈 犃 犅 犃 犇 犃 犈 犃 犅 犅 犇 是 犗 的
103、 直 径，犇 犃 犅 在 犃 犅 犇 中，犅 犇 犃 犅 犃 犇 ，犅 犇槡 犗 的 半 径 为 槡 考 情 预 测 解 析 设 犅 犆 与 犃 犇 的 度 数 分 别 为 狓 和 狔，则 犆 犃 犅 狓，犃 犆 犇 狔 在 犃 犆 犈 中，犅 犈 犆 狓 狔，有 狓 狔，狓 狔 烅烄烆，解 得狓 ，狔 犆 犃 犅 狓 解 析 所 围 成 的 面 积 恰 是 直 角 三 角 形 犃 犅 犆 的 面 积 或 解 析 当 为 大 圆 的 半 径 时，小 圆 的 半 径 是 ；当 为 小 圆 的 半 径 时，大 圆 的 半 径 是 解 析 点 犃 经 过 最 短 路 线 是 以 点 犆 为 圆 心，
104、半径 为 犆 犃，圆 心 角 为 的 弧 长，即 犾 （）理 由 如 下：假 设 方 案 一 可 行 扇 形 的 弧 长 ，圆 锥 底 面 周 长 狉，则 圆 的 半 径 为 由 于 所 给 正 方 形 纸 片 的 对 角 线 长 为槡 ，而 制 作 这样 的 圆 锥 实 际 需 要 正 方 形 纸 片 的 对 角 线 长 为槡 槡 （）槡 ，假 设 不 成 立，故 方 案 一 不 可 行（）方 案 二 可 行，求 解 过 程 如 下：设 圆 锥 底 面 周 长 的 半 径 为 狉 ，圆 锥 的 母 线 长 为 犚 ，则（槡 ）狉 犚槡 ，狉 犚，烅烄烆由 ，可 得 犚 槡 槡 槡 ，狉 槡
105、槡 槡 故 所 求 圆 锥 的 母 线 长 为槡 ，底 面 圆 的 半 径 为槡 （）依 题 意 可 知“合”“冲”“东 方 照”“西 方 照”时 分 别 如 下 图 所 示，（第 题）设 犗、犃、犅 三 点 分 别 代 表 太 阳、地 球、火 星“合“时，地 球 与 火 星 之 间 的 距 离 为 犃 犅 犗 犃 犗 犅 （千 万 千 米），“冲“时，地 球 与 火 星 之 间 的 距 离 为 犃 犅 犗 犅 犗 犃 （千 万 千 米），“东 方 照“时，地 球 与 火 星 之 间 的 距 离 为犃 犅 犗 犅 犗 犃槡（）槡 槡（千 万 千米），同 理 可 求“西 方 照“时，地 球 与 火 星 之 间 的 距 离 为 犃 犅 槡（千 万 千 米）（）从 地 球 上 发 射 宇 宙 飞 船 到 火 星，应 选 择 在“冲”位 置 时，发 射 较 好 因 为 由（）中 的 计 算 可 知，此 时 地 球 离 火 星 最 近 （）等 腰 三 角 形 有：犃 犅 犈，犃 犈 犇，犕 犃 犈，犃 犅 犕，犇 犕 犈（）犈 犃 犇 犈 犅 犃 ，又 犕 犈 犃 犃 犈 犅，犈 犃 犕 犈 犅 犃 犃 犅犃 犕 犅 犈犃 犈 又 犃 犈 犃 犅 犅 犕，犃 犕 犕 犈，犅 犕犕 犈 犅 犈犅 犕 即 犅 犕 犅 犈 犕 犈
