1、高考资源网（） 您身边的高考专家单元检测（九） 直线、平面、简单几何体(满分:150分 时间:150分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.平面平面的一个充分条件是( )A.存在一条直线l,l,l B.存在一个平面,C.存在一个平面, D.存在一条直线l,l,l解析:若l,l,则,A不正确;若,则,B不正确;若,则与平行或相交,C不正确.故选D.答案:D2.在空间四边形ABCD中,已知ABAD,则BCCD是ACBD的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:取BD中点O,连结AO、CO,则BD面AOC,ACBD;若ACBD,则
2、BDOC,则OC是BD的垂直平分线.BCCD.答案:C3.直线l平面,经过外一点A与l、都成30角的直线有且只有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:线面角是斜线与平面内任意直线成角中最小的角.如图,直线AB与平面成角30,则直线AB可在圆锥表面旋转.当直线AB旋转到直线BC、直线BD的位置时,它与平面和直线l都成30角.当直线AB在其他位置时,由线面角是斜线与平面内任意直线成角中最小的角可知,都不符合题意.答案:B4.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )A.1 B. C. D.2解析:依题意有示意图截面示意图为其中
3、AH为公共弦长的一半,OA为球半径,.故选C.答案:C5.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题:若l与m为异面直线,l,m,则;若,l,m,则lm;若l,m,n,l,则mn.其中真命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析:由线面关系知、可能相交,故错;由线面关系知l、m还可能异面,故错;三个平面两两相交,由线面平行关系知mn,正确.综上所述,正确命题只有1个.故选C.答案:C6.如图,点P在正方形ABCD所在的平面外,PD平面ABCD,PDAD,则PA与BD所成角的度数为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析:如图,把符合题意的空间几何体补成正方体,可知
4、C成立.答案:C7.正方体ABCDABCD的棱长为a,EF在AB上滑动,且|EF|b(ba),Q点在DC上滑动,则四面体AEFQ的体积( )A.与E、F位置有关 B.与Q位置有关C.与E、F、Q位置都有关 D.与E、F、Q位置均无关,是定值解析:VAEFQVQAEF.答案:D8.如图,在正三棱锥PABC中,E、F分别是PA、AB的中点,CEF90,若ABa,则该三棱锥的全面积为( )A. B. C. D.解析:EFPB,CEEF,CEPB.三棱锥PABC为正三棱锥,PBAC.PB平面PAC.PBPA,PBPC.PAPC.答案:B9.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦
5、值是( )A. B. C. D.解析:如图,O为底面正三角形ABC的中心,则OP平面ABC,PCO即为所求角.设AB1,则PC2,.答案:A10.在ABC中,ABAC5,BC6,PA平面ABC,PA8,则P到BC的距离为( )A. B. C. D.解析:取BC的中点E,连结AE、PE,由AEBC,知PEBC,即PE为点P到BC的距离.答案:D11.如图,动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M、N,设BPx,MNy,则函数yf(x)的图象大致是( )解析:由已知条件可知,线段MN(含收缩为点的情况)运动成平面图形.当点P
6、运动到BD1的中点O时,.当点P与B、D1重合时,(MN)min0.易见,点P在由BO的运动过程中,与x成正比例关系,结合考察选项可知,选B.答案:B12.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是( )A.点H是A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成角为45解析:AH与BB1所成的角即AH与AA1所成的角,可知.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在正四面体ABCD中,O为底面BCD的中心,M是线段AO上一点,且使得BMC90,则_.解析:如图,设正四面
7、体ABCD的棱长为2,由BMC90,得.又可得,在RtBOM中,由勾股定理,得,所以.答案:114.一个正方体内接于一个球,过球心作截面,则下图中截面的可能图形是_,其中过正方体对角面的截面图形为_.(把正确的图形的序号全填在横线上)解析:过球心平行于正方体一面作截面,则如图,过对角面作截面则如图,斜切正方体作图可以为截面,但不能作出图形.答案: 15.由图(1)有面积关系:,则图(2)有体积关系:_.解析:设C到平面PAB的距离为h,C到平面PAB的距离为h,则.又,.答案:16.设球O的半径为R,A、B、C为球面上三点,A与B、A与C的球面距离为,B与C的球面距离为,则球O在二面角B-OA
8、-C内的这部分球面的面积是_.解析:如图所示.A与B,A与C的球面距离都为,OAOB,OAOC.从而BOC为二面角BOAC的平面角.又B与C的球面距离为,.这样球O在二面角BOAC的部分球面的面积等于.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,A1A平面ABCD,AB4,AD2.若B1DBC,直线B1D与平面ABCD所成的角等于30,求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.解:连结BD,B1B平面ABCD,B1DBC,BCBD.在BCD中,BC2,CD4,.又直线B1D与平面ABCD所成的角等于30,B1DB30.于是
9、.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1.18.(本小题满分12分)如图,在ABC中,ACBC1,ACB90,点D在斜边AB上,BCD(0).把BCD沿CD折起到BCD的位置,使平面BCD平面ACD.(1)求点B到平面ACD的距离(用表示);(2)当ADBC时,求三棱锥BACD的体积.解:(1)作BECD于点E.平面BCD平面ACD,BE平面ACD.BE的长为点B到平面ACD的距离.BEBCsinsin.(2)BE平面ACD,CE为BC在平面ACD内的射影.又ADBC,ADCD(CE).ACBC1,ACB90,D为AB中点,且.VBACD.19.(本小题满分12分)如图,
10、正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,点M在边BC上,AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.(1)求证:点M为边BC的中点;(2)求点C到平面AMC1的距离;(3)求二面角M-AC1-C的大小.(1)证明:AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,AMC1M且AMC1M.在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC.C1M在底面内的射影为CM,AMCM.底面ABC为边长为a的正三角形,点M为BC边的中点.(2)解:过点C作CHMC1,由(1)知AMC1M且AMCM,AM平面C1CM.CH在平面C1CM内,CHAM.CH平面C1AM.由(1)知,AMCM,且CC1BC,.点C到平
11、面AMC1的距离为.(3)解:过点C作CIAC1于点I,连结HI,CH平面C1AM,HI为CI在平面C1AM内的射影.HIAC1,CIH是二面角M-AC1-C的平面角.在RtACC1中,CIH45.二面角M-AC1-C的大小为45.20.(本小题满分12分)如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB4,点E在C1C上且C1E3EC.(1)证明A1C平面BED;(2)求二面角A1-DE-B的大小.解法一:(1)证明:以D为空间直角坐标系的坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),B(2,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),C
12、(0,2,0),则(-2,2,-4),(2,2,0),(0,2,1).设平面BED的法向量为n1(x1,y1,z1),则有此时,令y11,则那么n1(-1,1,-2).而(-2,2,-4)可知2n1,也就是与n1共线.那么必有A1C平面BED.(2)设平面A1DE的法向量为n2(x2,y2,z2),(0,2,1),(2,0,4),则有此时,令y21,则那么n2(4,1,-2).设二面角的平面角为,则,依图形可知该角为arccos.解法二:(1)证明:如图,连结B1C交BE于点F,连结AC交BD于点O.由题知B1C是A1C在面BCC1B1内的射影,在矩形BCC1B1中,B1BC1C4,BCB1C
13、12,C1E3,EC1.因为且B1BCBCC190,所以BB1CBCE.所以BB1CCBE.所以由互余可得BFC90.所以BEB1C.所以BEA1C;由四边形ABCD为正方形,所以BDAC.所以BDA1C且BDBEB.所以A1C平面BDE.(2)连结OE,由对称性知必交A1C于G点,过G点作GHDE于点H,连结A1H.由(1)的结论,及三垂线定理可得,GHA1就是所求二面角的平面角,根据已知数据,计算,在RtDOE中,所以.故二面角A1DEB的大小为.21.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面A1BC侧面A1ABB1.(1)求证:ABBC;(2)(理)若直线AC与平面
14、A1BC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为,试判断与的大小关系,并予以证明.(文)若AA1ACa,直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为,求证:+.证明:(1)过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D,则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B,得AD平面A1BC.又BC平面A1BC,所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC.所以A1ABC.又AA1ADA,所以BC侧面A1ABB1.又AB侧面A1ABB1,所以ABBC.(2)(理)连结CD,则由(1)知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,ABA1是
15、二面角A1-BC-A的平面角,即ACD,ABA1.于是在RtADC中,在RtADB中,因为ABAC,所以sinsin.又0,所以.(文)连结CD,则由(1)知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,ABA1就是二面角A1BCA的平面角,即ACD,ABA1.于是在RtADC中,在RtADA1中,所以sinsinAA1D.由于与AA1D都是锐角,所以AA1D.又由RtA1AB知,AA1D+AA1B+,故+.22.(本小题满分12分)在正ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AEEBCFFACPPB12如图(1).将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面
16、角,连结A1B、A1P如图(2).(1)求证:A1E平面BEP;(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(3)求二面角B-A1P-F的大小.(用反三角函数值表示)解法一:不妨设正ABC的边长为3.(1)证明:在图(1)中,取BE的中点D,连结DF.AEEBCFFA12,AFAD2.而A60,ADF是正三角形.又AEDE1,EFAD.在图(2)中,A1EEF,BEEF,A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.由题设条件知此二面角为直二面角,A1EBE.又BEEFE,A1E平面BEF,即A1E平面BEP.(2)在图(2)中,A1E不垂直于A1B,A1E是平面A1BP的斜线.又A1E平面BEP
17、,A1EBP.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理).设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角,且BPA1Q.在EBP中,BEBP2,EBP60,EBP是等边三角形.BEEP.又A1E平面BEP,A1BA1P.Q为BP的中点,且.又A1E1,在RtA1EQ中,EA1Q60.直线A1E与平面A1BP所成的角为60.(3)在图(3)中,过F作FMA1P于点M,连结QM、QF.(3)CFCP1,C60,FCP是正三角形.PF1.又PQBP1,PFPQ.A1E平面BEP,EQEF,A1FA1Q.A1FPA1QP.
18、从而A1PFA1PQ.由及MP为公共边知FMPQMP,QMPFMP90,且MFMQ.从而FMQ为二面角B-A1P-F的平面角.在RtA1QP中,A1QA1F2,PQ1,.MQA1P,.在FCQ中,FC1,QC2,C60,由余弦定理得.在FMQ中,.二面角B-A1P-F的大小为.解法二:不妨设正ABC的边长为3.(1)同解法一.(2)如图(1),由解法一,知A1E平面BEF,BEEF.建立如图(4)所示的空间直角坐标系Oxyz,则E(0,0,0)、A1(0,0,1)、B(2,0,0)、F(0,0).(4)在图(1)中,连结DP,AFBP2,AEBD1,AB,FEAPDB,PDEF.由图(1)知P
19、FDE且PFDE1,P(1,0).(2,0,-1),(-1,0).对于平面A1BP内任一非零向量a,存在不全为零的实数、,使得.又(0,0,-1),cos,a.直线A1E与平面A1BP所成的角是与平面A1BP内非零向量夹角中最小者,可设0,从而cos,a.又的最小值为4,cos,a的最大值为,即与a夹角中最小的角为60.直线A1E与平面A1BP所成的角为60.(3)如图(4),过点F作FMA1P于点M,过点M作MNA1P交BP于点N,则FMN为二面角B-A1P-F的平面角.设M(x,y,z),则(-x,-z).,.又(1,-1),.A1、M、P三点共线,存在R,使得.(x,y,z-1),(x,y,z-1)(1,-1).从而代入得,M().同理可得N(,0),从而(),().cos,.二面角B-A1P-F的平面角的大小为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 18 - 版权所有高考资源网
