1、2.3等比数列23.1等比数列自主学习 知识梳理1如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式：_.3等比中项的定义如果x、G、y成等比数列，那么G叫做x与y的_，且G2_.4对于正整数m，n，p，q，若mnpq，则等比数列中am，an，ap，aq的关系是_5证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即_(用数学式子表示) 自主探究首项为a1，公比为q的等比数列在各条件下的单调性如下表：a1a10a10q范围0q10q1an的单调性对点讲练知识点一等比数列通项公式的应用例1已知an
2、为等比数列，a32，a2a4，求an的通项公式总结等比数列的通项公式ana1qn1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”变式训练1已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.知识点二等比数列性质的应用例2已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值总结在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq，利用这一性质可以化繁为简变式训练2设an是由正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30215，求a2a5a8a29的值知识点三等比数
3、列的判断与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1) (nN*)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列总结利用等比数列的定义q (q0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法变式训练3设Sn为数列an前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数(1)求a1及an；(2)若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q (与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2 (nN*)2如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an01，an02，使a2n01an0an02，也可以用反证
4、法3等比数列an的通项公式ana1qn1共涉及an，a1，q，n四个量，已知其中三个量可求得第四个. 课时作业一、选择题1如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac92在等比数列an中，an0，且a21a1，a49a3，则a4a5的值为()A16 B27 C36 D813在由正数组成的等比数列an中，若a4a5a63，log3a1log3a2log3a8log3a9的值为()A. B. C2 D34一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为()A. B. C. D.5已知数列an是公差为2的等差数列，且a1，a2，
5、a5成等比数列，则a2为()A2 B3 C2 D3二、填空题6在等比数列an中，a11，a516，则a3_.7首项为3的等比数列的第n项是48，第2n3项是192，则n_.8一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是_三、解答题9等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项23.1等比数列知识梳理12比公比2ana1qn13等比中项xy4amanapaq5.q, (nN*)自主探究递减常数列递增递增常数列递减对点讲练例1解设等比数列an的公比为q，则q0.a2，a4a3q2q，2q.解得q1，q23.当q时，a118，an18n1233n.当q3时，a1，an3n
6、123n3.综上，当q时，an233n；当q3时，an23n3.变式训练1解由等比数列的定义知a2a1q，a3a1q2代入已知得，将a1代入得2q25q20，解得q2或q.由得或当a11，q2时，an2n1；当a14，q时，an23n.例2解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79.a1a2a9a10(a5a6)595.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log3955log3910.变式训练2解a1a2a3a30(a1a30)(a2a2
7、9)(a15a16)(a1a30)15215，a1a302.a2a5a8a29(a2a29)(a5a26)(a8a23)(a11a20)(a14a17)(a2a29)5(a1a30)52532.例3(1)解由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得，又，所以an是首项为，公比为的等比数列变式训练3解(1)由Snkn2n，得a1S1k1，anSnSn12knk1(n2)a1k1也满足上式，所以an2knk1，nN*.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mkk1)2(2kmk1)(
8、8kmk1)，将上式化简，得2km(k1)0，因为mN*，所以m0，故k0或k1.课时作业1Bb2(1)(9)9且b与首项1同号，b3，且a，c必同号2B由已知a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍)，a4a5(a3a4)q27.3Aa4a6a，a4a5a6a3，得a53.a1a9a2a8a，log3a1log3a2log3a8log3a9log3(a1a2a8a9)log3alog33.4A设这个数为x，则(50x)2(20x)(100x)，解得x25，这三个数为45,75,125，公比q为.5D因为a1，a2，a5成等比数列，所以aa1a5，即a(a22)(a26)解得a23.64解析q416，q24，a3a1q24.75解析设公比为q，则q24，得q2.由(2)n116，得n5.8.解析设三边为a，aq，aq2 (q1)，则(aq2)2(aq)2a2，q2.较小锐角记为，则sin .9解由题意可列关系式：得：q(1q)，q，a196.又a6a1q5963，a5，a7的等比中项为3.
