1、第五节 数列求和 基础梳理 数列求和的常用方法(1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式 掌握一些常见的数列的前n项和 123n_；135(2n1)_.(1)2n n n2 (2)倒序相加法 如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项 和就可用倒序相加法，如_数列的前n项和就 是用此法推导的 等差 (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法 来求，如_数列的前n项和就是用此法推导的 等比 (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消
2、，从而求得其和 常见的拆项公式有：11n n _；111nn 121 21nn _；111()2 2121nn 11nn _.1nn(5)分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数 列，即先分别求和，然后再合并，形如：anbn，其中an是等差数列，bn是等比数列；an ,21,*,2,*.f n nkkg n nk k NN基础达标 1.(原创题)数列1,0，3，n22n，的前n项和为 _ 解析：Sn10(3)n22n(32)(44)(58)(n22n)(345n2)(2482n)n(n5)2n12.122.(必修5P40引例
3、改编)若x1x21，且f(x1)f(x2)1,21n2n1nn则f f f _.解析：x1x21，f(x1)f(x2)12又 11221,nnnnnn 111()(),2nffnn221()(),.2nffnn令S 121()()(),nfffnnnS 121()()(),nnfffnnn2S 112211()()()()()()nnnffffffnnnnnn(n1)12 1,2n S 1.4n 3.(必修5P62复习题7改编)数列an的前n项和为Sn，若an 1,1n n 则S5_.解析：an 111,(1)1n nnn S5 1111115(1)()()1.2235666 4.(必修5P5
4、4例3改编)22111()()()nnxxxyyy_.(x0，y1，x1)解析：x0，x1，y1，2222111111()()()()()nnnnxxxxxxyyyyyy111(1)(1)(1)1.1111nnnnnnyxxxxyyxxyyy5.(必修5P58习题6改编)求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，(a0)的前n项和 解析：当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，Sn1357(2n1)2(121).2nnn当a1时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，令，得 SnaSn12a2a22a32a42an1(2n1)an，即
5、(1a)Sn12 (2n1)an.1a0，Sn 1(1)1naaa21(21)2().1(1)nnnaaaaa经典例题 题型一 利用错位相减法求和 【例1】(2011扬州中学高三上学期期中考试)已知数列 an的前n项和Snn22n，设数列bn满足anlog2bn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn;(3)设Gna1b1a2b2anbn，求Gn.分析(1)由Sn与an的关系求出an的通项公式；(2)可证数列bn是等比数列，直接用等比数列的前n项和公式 求解；(3)由Gna1b1a2b2anbn的特点可知，应用错位相 减法求和 解：(1)Snn22n，当n2时，anSnSn
6、12n1；当n1时，a1S13，也满足上式，综上所述，an2n1.(2)由anlog2bn得bn2an22n1，2312124,2nnnnbb数列bn是等比数列，其中b18，q4.Tn232522n1 8(14)8(41).143nn(3)Gn323525(2n1)22n1，4Gn325527(2n1)22n1(2n1)22n3，两式相减得：3Gn323(225227222n1)(2n1)22n3；24 (2n1)22n3 164(14)14n即3Gn24(262822n2)(2n1)22n3 8(488)4,3nn(488)48.9nnnG变式11 (2010四川)已知等差数列an的前3项和
7、为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)设an的公差为d，由已知得 11336,8284,adad 解得a13，d1.故an3(n1)4n.(2)由(1)的解答可得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2 nqn1，若q1，将上式两边同乘以q有qSn1q12q2(n 1)qn1nqn，两式相减得(q1)Snnqn1q1q2qn1 nqn 11(1)1,11nnnqnqnqqq于是Sn 12(1)1;(1)nnnqnqq 若q1，则Sn123n (1).2n n 所以Sn 12(1),1,2(1)1,1
8、,(1)nnn nqnqnqqq题型二 利用裂项相消法求和【例2】(2010山东)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn 21,1na(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.分析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟悉数列的基础知识是解答好本题的关键 解：(1)设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有 1127,21026,adad解得a13，d2，所以an32(n1)2n1；Sn3n 2n22n.(1)2n n(2)由(1)知an2n1，所以bn 22111(21)1nan11111(
9、).4(1)41n nnn所以Tn 11111111(1)(1).42231414(1)nnnnn变式21 已知在等比数列an中，a12，公比q2，又在等差数 列bn中，b2a1，b8a3.(1)求数列bn的通项公式bn及前n项和Sn；(2)若cn 12,nnb b 求数列cn的前n项和Tn.解析：(1)由已知a3a1q28，则 282,8.bb设bn的首项为b1，公差为d，则 112,78.bdbd解得b11，d1，故bn1(n1)1n，Snn1 (1)2n n 1 2.2nn(2)由(1)知cn 2112(),(1)1n nnnTnc1c2cn2 11111(1)()()2231nn122
10、(1).11nnn题型三 倒序相加法求和 的图象上有两点P1(x1，y1)，【例3】设函数f(x)333xx P2(x2，y2)，若P为P1P2的 中点，且P点的横坐标为 1.2(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；12()()()nfffnnn(2)求 的值 分析(1)由已知函数图象上两点P1，P2，可得 12121233,3333xxxxyy设P(x，y)，根据中点坐标公 式去求y 12.2yy(2)根据(1)的结论：若x1x21，则由f(x1)f(x2)1，可以得到 利用倒序相加法求解 11()()1,nffnn解：(1)点P为P1P2的中点，x1x21，yP 12,2yy又y1
11、y2 12121233331133333333xxxxxx 121263(33)22 11,63(33)xxxx yP 121.22yy(2)由x1x21，得 y1y2f(x1)f(x2)1，f(1)33,2设Sn 121()()()().nnffffnnnn又Sn 121()()()().nnnffffnnnn2Sn 2f(1)(1)11 1 1 11 1n 个n2 3,即Sn 23.2n 变式31 如果函数f(x)满足：对任意的实数m、n都有f(m)f(n)f(mn)且f(1005)2，求f(2)f(4)f(6)f(2008)的值 解析：由f(x)对任意实数m、n都有f(m)f(n)f(m
12、n)，得 f(1005)f(1005)f(2010)224；f(2)f(2008)f(2010)4；f(1004)f(1006)4.令Sf(2)f(4)f(6)f(2008)，又Sf(2008)f(2006)f(2)，所以2Sf(2)f(2008)f(4)f(2006)f(2008)f(2)41 0044016，故S 40162008.12题型四 分组法求和【例4】(2011南京师大附中模拟)各项均为正数的数列an 的前n项和为Sn，Sn 14 an2 an(nN*)12(1)求an的通项公式；(2)令bn 2,nnanb n为奇数，为偶数，cnb2n4(nN*)，求cn的前n项和Tn.分析(
13、1)根据an与Sn的关系求解(2)n3时，cn2n12，故求cn的前n项和使用分组法求和 解：(1)a1S1 a1 a10，a10，a12；当n2时，anSnSn1 an an1，(anan1)0，即(anan1)(anan12)0 an0，anan12，an为等差数列，an2n(nN*)2114 a122114 a12214na12122114na 2211()4nnaa(2)c1b6b3a36，c2b8b4b2b1a12，n3时，cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12，此时，Tn8(222)(232)(2n12)2n2n；Tn *6,1,8,2,22,3.nnnn nN且n变式
14、41 求和：Sn 22222111()()().nnxxxxxx22222111()()()nnnSxxxxxx解析：当x1时，242242111(2)(2)(2)nnxxxxxx242242111()2()nnxxxnxxx222222(1)(1)211nnxxxxnxx22222(1)(1)2;(1)nnnxxnxx当x1时，Sn4n.链接高考(2010重庆)已知an是首项为19，公差为2的等 差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求 数列bn的通项公式及其前n项和Tn.知识准备：1.要熟悉等差数列、等比数列的通 项公式与前n项和公式；2.熟悉数列求和的分组法求和(1)因为an是首项为a119，公差d2的等差数列，所以an192(n1)2n21，Sn19n (2)n220n.(1)2n n(2)由题意bnan3n1，所以bn3n12n21，所以 TnSn(133n1)n220n 31.2n
