1、第 36题 正弦定理和余弦定理的综合运用I题源探究黄金母题【例1】一块四边形土地的形状如图所示，它的三边长分别是50m，60m，70m，两个内角是127和132求这个四边形的面积是多少？（精确到01m）【解析】在四边形中，=132，=127，连接，根据余弦定理得，=141206971，=1188305，由正弦定理知，=04378，为锐角，259636这个四边形的面积为 =447642（）答：这个四边形的面积为447642精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第18页练习2【母题评析】本题考查利用正余弦定理解平面图形及利用面积公式求平面图形的面积【思路方法】对多边形的面积问题，先将多边形分割成若干
2、个三角形，再用正余弦定理求出这些的两边与夹角，再用三角形面积公式求出各三角形的面积，从而求出多边形的面积【变式】如图，一架飞机以326km/h的速度，沿北偏东75的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？（人教版A版必修5第20页习题12A组第9题）【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高CD【解析】在ABC中，根据正弦定理得，=7524（km），=1
3、047（m）答：山的高约为1047米【试题来源】人教版A版必修5第14页例5【母题评析】本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题【思路方法】先根据图形和已知条件得到A，B，DBC的度数和AB的长度，再利用正弦定理求出BC的长度，利用解直角三角形BCD即可求出山高CD【变式】一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在高空测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27和39，计算这个海岛的宽度（人教版A版必修5第19页习题A组第4题)II考场精彩真题回放【例3】【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆
4、术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， 【答案】【解析】试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则【例4】【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是 【答案】（，）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范围为
5、（，）【例5】【2017课标3，理17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 ，a=2，b=2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；(2)利用题意首先求得ABD面积与ACD面积的比值，然后结合ABC的面积可求得ABD的面积为 试题解析：（1）由已知得 ，所以 在 ABC中，由余弦定理得 ，即 解得： (舍去)， (2)由题设可得 ，所以 故ABD面积与ACD面积的比值为 又ABC的面积为 ，所以ABD的面积为【例6】【2017江苏，18】如
6、图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线AC的长为10cm，容器的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一根玻璃棒l，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度； （2）将放在容器中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度【答案】（1）16（2）20【解析】（1）解法一：由正棱柱的定义，平面，平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm）解法
7、二：记玻璃棒与交点为H，则，没入水中的部分为(cm)（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，OO1平面 EFGH， 平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG同理，平面 E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处过G作GKE1G，K为垂足， 则GK =OO1=32EG = 14，E1G1= 62，KG1= ，从而设则在中，由正弦定理可得，解得，于是记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2EG，Q2为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm(如果将“没入水中部分”理解为“水
8、面以上部分”，则结果为20cm)【例7】【2015高考四川，理19】 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角（1）证明：（2）若求的值【解析】（1）（2）由，得由（1），有 连结BD，在中，有，在中，有，所以 ，则，于是连结AC，同理可得，于是所以【命题意图】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，
9、考查基础知识的识记与理解【难点中心】解答此类问题的关键是分析图形特点，通过中间量将未知、已知集中到一个三角形内，再列关系式III理论基础解题原理考点一 利用正（余）弦定理解决平面几何问题若平面图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系KS5UKS5U.KS5U考点二 仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a
10、)考点三 方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)考点四 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力【技能方法】1. 对利用正余弦定理解平面多边形问题，常通过连接多边形的对角线将多边形分割成若干个三角形，分割的原则是使尽量多的已知条件落在同一个三角形内，便于利用正余弦定理解三角形2. 三角形的外角定理是沟通两个相邻三角形角之间关系的重要手段3. 在平面图形
11、中注意角的分拆，两角和与差的三角公式是架起已知角与未知角之间关系的重要手段4. 在处理利用正余弦定理解平面多边形问题时，常要设未知量利用正余弦定理将未知与已知集中到同一个三角形内，以便于利用正余弦定理5. 对涉及到角的平分线问题常用三角形面积公式构建关系，涉及到中线问题或三角形一顶点与其对边上一点的连线问题，常利用在同一直线上两个角互补利用余弦互为相反数，利用余弦定理构建相邻两个三角形边的关系【易错指导】在处理利用正余弦定理解平面多边形问题时，要认真分析图形特点，把握图形中边角关系，合理选择正余弦定理和有关三角公式建立其边角关系，为了避免出现增解的问题，求角时尽量避免利用正弦定理，除非角是锐角
12、或钝角可以判断V举一反三触类旁通考向 1 利用正弦定理或余弦定理求平面图形中的长度【例8】【2018年湖北八校联考】如图，在平面四边形中，KS5UKS5U（）求；（）求的长ACDB(第17题图)【解析】（）在中，由余弦定理得：，即，解得：，或（舍）， 由正弦定理得： 【方法总结】对平面图形中求边长问题，先确定三角形中的已知和所求角，在图形中标出来，然后确定转化的方向，再根据条件和所求合理选择正弦定理或余弦定理，最后理清思路，选用公式求解，注意有时通过参数把不同在一个三角形内的边角关系通过参数集中到一个三角形内，再利用正弦定理或余弦定理建立所求边的关系【跟踪练习】【2017陕西安康第三次联考】如
13、图，在四边形中，（1）求；（2）求及的长【解析】（1）考向2 求平面图形中角或角的三角函数式的值【例9】【2017届山东泰安一第一次月考】如图，在四边形中，（1）求的值；（2）若，求的面积【解析】（1）由，可设，又，由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得 【方法总结】对平面图形中求角或求角的三角函数式的值问题，先确定三角形中的已知和所求角，在图形中标出来，然后确定转化的方向，再根据条件和所求合理选择正弦定理或余弦定理，最后理清思路，选用公式求解【跟踪练习】KS5UKS5U1【2018辽宁凌源三校联考】如图，在中， ， ，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段长度的最大值为（ ）A B
14、C D【答案】D【解析】在中，设 ，由余弦定理，可得 ，由正弦定理，可得 ， 所以当时，BD取得最大值，故选D点睛:本题考查的是三角形中的正余弦定理和三角函数式的化简，三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等2【河南省许平汝2017-2018学年高二上学期第一次联考】如图，为了测量河对岸两点间的距离，在河的这边测定， ，则两点间的距离是
15、（ ）A B C D【答案】B点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等3【2017湖北七教研协作体4月联考】如图，在中，垂足为，且（1）求的大小；（2）若在上，且，已知的面积为15，求的长（2）设，则，由已知得，则，故，KS5UKS5U，在中，由余弦定理得考向3 平面图形中的面积问题【例10】【2017河南洛阳模拟】在平面四边形中，（1）求的长；（2）
16、若，求的长和四边形的面积【解析】（1）在中，由正弦定理知，（2）在中，由余弦定理知，KS5UKS5U，四边形的面积【方法总结】对平面图形的面积问题，常化为若干个三角形面积的和，在利用正弦定理或余弦定理求计算各三角形面积所需要的边之积和其夹角的正弦值【跟踪练习】【2017邯郸一中高三第十研】如图，在中，分别是上一点，满足，若，则的面积为_考向 4平面图形中的最值问题或范围问题【例11】【2018河北衡水二调】已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为_【答案】【解析】 ，的取值范围为答案： KS5UKS5UKS5U点睛：本题考查平面向量数量积的运算，解题时先由正弦定理把ABC的边a，c用含有
17、A的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角A的范围，把向量的数量积利用三角变换转化为关于A的三角函数，最后利用三角函数的取值范围求解【跟踪练习】1【2017福建福州三中模拟】如图，点在内，设（）用表示的长；（）求四边形面积的最大值，并求出此时的值（）四边形的面积，因为， 7分， 9分所以， 10分所以当，即时， 11分四边形的面积的最大值为 12分【方法总结】对平面图形中的最值问题或取值范围问题，常利用正弦定理或余弦定理转化为关于边的最值问题或角的三角函数最值问题，关于边的最值问题常用基本不等式求最值；关于角的最值问题常用三角公式化为一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值；若是图形
18、中边长的取值范围，要分析图像的特点，找出极限位置，再利用正弦定理或余弦定理求解2【2018河北邯郸一中一模】如图，在中，是边上一点（1）求的面积的最大值；（2）若的面积为4，为锐角，求的长（2）设，在中，因为的面积为，为锐角， 所以，所以，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，所以，所以，此时，所以所以的长为考向5 正弦定理与余弦定理的综合应用【例12】【2017辽宁东北育才】已知为的角平分线，则 【答案】【解析】在中，由余弦定理可得， ，由正弦定理可得，因为为的角平分线，所以，在中，由正弦定理可得【方法点睛】先由余弦定理求出边BC的长，利用角平分线性质求出CD，利用正弦定理求出C角，再在AC
19、D中运用正弦定理求出AD【跟踪练习】1【2018河南林州第一中10月调研】已知ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为_【答案】【解析】设三个内角所对的边分别为，则，又，根据正弦定理得： ，则， ， ， ，所以2【2017河南三门峡外高考前模拟3】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=，则AC=_【答案】考向6 距离测量问题 【例13】 【2016江西吉安一中高三三模】如图，为了测量、两点间的距离，选取同一平面上、两点，测出四边形各边的长度（单位：km），且与互补，则的长为 km【答案】【解析】在三角形中，分别根据余弦定理可得，因与互补，所以，解得【方法总结】对与距离测量问题，根据题意画
20、出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程，要注意方位角、方向角与图形内角的关系 【跟踪练习】【2017合肥模拟】隔河可以看到对岸两目标、，但不能到达，现在岸边取相距的、两点，测得，（、在同一平面内），求两目标、间的距离由正弦定理知： 在中，由余弦定理知答：两目标、间的距离为考向7 高度测量问题【例14】【2017海南师大附中第九次月考】已知在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午 时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到时分又测得该船在岛北偏西，俯角为的处小船沿B
21、C行驶一段时间后，船到达海岛的正西方向的 处，此时船距岛有 千米【方法总结】对与高度测量问题，根据题意画出空间图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程，要注意仰角、俯角与图形内角的关系【跟踪练习】【2017湖北武汉华中师大一附5月月考】为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距100米，在地听到弹射声音的时间比地晚秒，在地测得该仪器至
22、最高点处的仰角为（1）求两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为340米/秒）（）在中，米，由正弦定理，可得，即所以（米），故这种仪器的垂直弹射高度为米考向8 航行问题【例15】【2017四川双流中学高一下期中】如图，某观测站在港口的南偏西方向的处，测得一船在距观测站海里的处，正沿着从港口出发的一条南偏东的航线上向港口开去，当船走了海里到达处，此时观测站又测得等于海里，问此时船离港口处还有多远？在中， 由正弦定理得：（海里）答：此时船离港口处还有15海里【方法总结】对与航行问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过
23、作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程，要注意方位角、方向角与图形内角的关系【跟踪练习】【2016湖南师大附中高三下学期高考模拟三】如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在处南偏西30且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（ ）A B C D【答案】A【解析】在中，由余弦定理，得，所以由正弦定理，得选考向9 最优化问题【例16】【2017河北正定中学高一下第一次月考】甲船在岛的正南处，甲船以的速度向正北航行，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近
24、时，它们的航行时间是（ ）A B C D【答案】AABCD【方法总结】对正余弦定理应用中的最值问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后根据分析将所求的量表示为某个量如角或时间的函数关系式，再利用函数求最值的方法求出最值【跟踪练习】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由（2）设小艇与轮船在处相遇则，故，即，解得，又时，故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时
