1、高二理数试题第 1 页共 4 页高二理数试题第 2 页共 4 页陈州高中 2018-2019（下）第一次月考高二理数试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目.1已知 a(3，2，5)，b(1，5，1)，则 a(a3b)A(0，34，10)B(3，19，7)C44D.232经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程为Ay2x 或 x28yBy2x 或 y28xCy28xDx28y3在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBCCC1 D1C1 等于A.AD1B.AC1C.ADD.AB4已知 P(8，a)在抛物线 y24px(p0
2、)上，且 P 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为A2B4C8D165.如图所示，在几何体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，且 ABBC1，CD2，点 E 为 CD 中点，则 AE 的长为A.2B.3C2D.56已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为A34B1C54D747.如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是A90B60C45D.308过抛物线 y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y
3、2)，则y1y2x1x2为A4B4Cp2Dp29有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是A2 3pB4 3pC6 3pD8 3p10如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB90，2ACAA1BC2，D 为 AA1 上一点若二面角 B1DCC1 的大小为 60，则 AD 的长为A.2B.3C2D.2211.与直线 2xy40 平行的抛物线 yx2 的切线方程为A2xy30B2xy30C2xy10D2xy1012如图，已知抛物线的焦点为 F，过点 F 的直线 AB 交抛物线于点 A，B，交抛物线的准线于点 C，若，则A4B5C6D7二、填
4、空题：（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分).13.已知双曲线x2my21 的右焦点恰好是抛物线 y28x 的焦点，则 m_14.已知直线 l1 的方向向量为 a(2，4，x)，直线 l2 的方向向量为 b(2，y，2)，若|a|6，且ab，则 xy 的值是_15.直角三角形 ABC 的两条直角边 BC3，AC4，PC平面 ABC，PC95，则点 P 到斜边AB 的距离是_16已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 M，若AMF 与AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 31，则点 A 的坐标为_高二理数试题第
5、 3 页共 4 页高二理数试题第 4 页共 4 页三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10 分)根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|518（12 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上，PDA60.(1)求异面直线 DP 与 CC所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小19.（12 分）已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1)相交于 A，B 两点(1)求证：OAOB；(2)当AOB 的
6、面积等于 10时，求 k 的值20.（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP=（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APD=，求二面角 APBC 的余弦值21.（12 分）已知抛物线 C：y24x，F 是抛物线 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于A，B 两点，O 为坐标原点(1)如果 l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程；(2)若|FA|2|BF|，求直线 l 的方程22（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G 是
7、DF 的中点(1)设 P 是CE上的一点，且 APBE，求CBP 的大小；(2)当 AB3，AD2 时，求二面角 EAGC 的大小11陈州高中 2018-2019（下）第一次月考理数答案一选择题：1-5CAABB6-10CBBBA 11-12DB二填空题：13.314.1 或-315.316.(2，2 2)三解答题：17.解：(1)由双曲线方程得x29y2161，其左顶点为(3，0)因此抛物线的焦点为(3，0)设其标准方程为 y22px(p0)，则p23所以 p6因此抛物线的标准方程为 y212x(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得92p
8、x0，x0p25.解得 p1，或 p9当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得92px0，p2x05.解得 p1 或 p9综上所述，所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y218x18.解：如图，以 D 为坐标原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz.则DA(1，0，0)，CC(0，0，1)连接 BD，BD，在平面 BBDD 中，延长 DP 交 BD于点 H.设DH(m，m，1)(m0)，由DH，DA 60及DH DA|DH|DA|cosDH，DA，可得 2m2m21，解得 m 22，所以DH 22，22，1.(1)因为 cosDH，CC
9、11 2 22，所以DH，CC 45，即异面直线 DP 与 CC所成的角为 45.(2)平面 AADD 的一个法向量是DC(0，1，0)因为 cosDH，DC 22 0 22 1101 212，所以DH，DC 60，即 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.2219.(1)证明：如图，由方程组y2x，yk（x1），消去 x 并整理，得 ky2yk0设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知 y1y21k，y1y21因为 kOAkOBy1x1y2x2 y1y21 y2y22 1y1y21，所以 OAOB(2)设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0令 y0，则 x1，即点 N
10、(1，0)所以 SOABSOANSOBN12|ON|y1|12|ON|y2|12|ON|y1y2|121（y1y2）24y1y2121k24 10，所以 k16（2）在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为 F，由（1）可知，AB 平面 PAD，故 ABPF，可得 PF 平面 ABCD以 F 为坐标原点，FA 的方向为 x 轴正方向，|AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C 所以22(,1,)22PC=，(2,0,0)CB=，22(,0,)22PA=，(0,1,0)AB=设(,)x y
11、z=n是平面 PCB 的法向量，则0,0,PCCB=nn即220,2220,xyzx+=可取(0,1,2)=n设(,)x y z=m是平面 PAB 的法向量，则0,0,PAAB=mm即220,220.xzy=可取(1,0,1)=m则3cos,|3=n mn mn m，所以二面角 APBC的余弦值为333321.解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)因为 y24x，所以 F(1，0)，准线为 x1又直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 yx1代入 y24x，得 x26x10由根与系数的关系，得x1x26x1x21，易得 AB 的中点，即所求圆的圆心的坐标为(3，2)又由抛物线
12、的定义，知|AB|x1x228，所以所求圆的半径r4，所以以 AB 为直线的圆的方程为(x3)2(y2)216(2)因为|FA|2|BF|，所以FA2BF又FA(x11，y1)，BF(1x2，y2)，所以x112（1x2）y12y2易知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，代入 y24x，得 k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系，得x1x22k24k2x1x21又 x112(1x2)所以x11x21或x12x212，所以 k2 2，此时0，所以直线 l 的方程为 y2 2(x1)或 y2 2(x1)22.解：(1)因为 APBE
13、，ABBE，AB，AP平面 ABP，ABAPA，所以 BE平面 ABP，又 BP平面 ABP，所以 BEBP，又EBC120，因此CBP30.(2)法一：44取EC的中点 H，连接 EH，GH，CH.因为EBC120，所以四边形 BEHC 为菱形，所以 AEGEACGC 3222 13.取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，则 EMAG，CMAG，所以EMC 为所求二面角的平面角又 AM1，所以 EMCM 1312 3.在BEC 中，由于EBC120，由余弦定理得 EC22222222cos12012，所以 EC2 3，因此EMC 为等边三角形，故所求的角为 60.法二：以 B 为坐标原
14、点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得 A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3，3)，C(1，3，0)，故AE(2，0，3)，AG(1，3，0)，CG(2，0，3)，设 m(x1，y1，z1)是平面 AEG 的一个法向量由mAE0，mAG 0，可得2x13z10，x1 3y10.取 z12，可得平面 AEG 的一个法向量 m(3，3，2)设 n(x2，y2，z2)是平面 ACG 的一个法向量由nAG 0，nCG 0，可得x2 3y20，2x23z20.取 z22，可得平面 ACG 的一个法向量 n(3，3，2)所以 cosm，n mn|m|n|12.因此所求的角为 60.
