1、福建省晋江市平山中学 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数 y=3x+9 的零点个数为（）A0B1C2D32.已知抛物线2:4C yx，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若 AB 中点 P 的坐标为(2,1)，则原点O 到直线l 的距离为（）A1B 7717C.22D 3553.已知，复数，则（）A.B.1C.0D.24.将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）A.1
2、50 种B.180 种C.240 种D.540 种5.已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递减区间是（）A.B.C.D.6.如图所示，在边长为 的正方形中任取一点，则点 恰好取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.7.已知 是离散型随机变量，则（）A.B.C.D.8.已知直线 1l：x-2y-1=0，直线 2l：ax-by+1=0，其中 a，b1,2,3，4,5,6则直线 1l 与 2l的交点位于第一象限的概率为（）A1/6B1/4C1/3D1/29.奇 函数 f x 定 义域 为,00,，其导 函数 是 fx.当 0 x时，有 sincos0fxxf xx，则关于 x 的不等式 2sin4
3、fxfx的解集为（）A,4 B,44C,00,44D,0,44 10.若 y(sin tcos tsin t)dt，则 y 的最大值是()A1B2C72D011.已知点 P 是曲线sinlnyxx=+上任意一点，记直线OP（O 为坐标系原点）的斜率为 k，则（）A至少存在两个点 P 使得1k=-B对于任意点 P 都有0k C对于任意点 P 都有1k D存在点 P 使得1k 12.已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分）13.用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为的样本,其中高一年级抽人,高三年级抽人,已
4、知该校高二年级共有学生人,则该校学生总数为_14.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为_15.已知R，设命题 P：；命题 Q：函数只有一个零点.则使“PQ”为假命题的实数的取值范围为_.16.已知为抛物线的焦点，为其标准线与轴的交点，过的直线交抛物线 于，两点，为线段的中点，且，则_三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12 分）已知数列的前 项和为，且满足，.（）求数列的通项公式；（）令，记数列的前 项和为，证明：.18.（12 分）已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值 10，求的值;（
5、3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.19.（12 分）某中学一位高三班主任对本班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性不高61925合计242650（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的 7 名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有 1 名男生的概率是多少？（3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由.附：0.100.050.02
6、50.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，BAD=60，PB=PD=2，ACBD=O（）证明：PCBD（）若 E 是 PA 的中点，且ABC 与平面 PAC 所成的角的正切值为，求二面角 AECB 的余弦值21.（12 分）已知过点的椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上的任意一点，且，成等差数列.（）求椭圆 的标准方程；（）直线交椭圆于，两点，若点 始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用 2B
7、铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点 为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，直线与曲线 交于，两点.（1）求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若点 的极坐标为，求的面积.23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 f（x）=|xa|+|x1|（）当 a=2，求不等式 f（x）4 的解集；（）若对任意的 x，f（x）2 恒成立，求 a 的取值范围晋江市平山中学 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（理）答案一、选择题1-5：CDBAA6-10:C
8、DADB11-12:CB二、填空题13、90014、12015、16、8三、简答题17.（I）当时，有，解得.当时，有，则整理得：数列是以为公比，以为首项的等比数列即数列的通项公式为：（II）由（I）有，则故得证.18.(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，即恒成立，解得（2），由题或当时，无极值，舍去.所以（3）由对任意的 x1，x21，1，有|f(x1)f(x2)|2 恒成立，得 fmax(x)fmin(x)2且|f(1)f(0)|2，|f(1)f(0)|2，解得 m1，1，当 m=0 时，f(x)0，f(x)在1，1上单调递增，fmax(x)fmin(x)=|f(1)f(1)|
9、2 成立当 m(0，1时，令 f(x)0，得 x(m，0)，则 f(x)在(m，0)上单调递减；同理 f(x)在(1，m)，(0，1)上单调递增，f(m)=m3+m2，f(1)=m2+m+1，下面比较这两者的大小，令 h(m)=f(m)f(1)=m3m1，m0，1，h(m)=m210，则 h(m)在(0，1 上为减函数，h(m)h(0)=10，故 f(m)f(1)，又 f(1)=m1+m2m2=f(0)，仅当 m=1 时取等号.所以 fmax(x)fmin(x)=f(1)f(1)=2 成立同理当 m1，0)时，fmax(x)fmin(x)=f(1)f(1)=2 成立综上得 m1，119.20.
10、证明：（）因为底面是菱形，所以 BDAC又 PB=PD，且 O 是 BD 中点，所以 BDPOPOAC=O，所以 BD面 PAC又 PC面 PAC，所以 BDPC（）由（）可知，OE 是 BE 在面 PAC 上的射影，所以OEB 是 BE 与面 PAC 所成的角在 RtBOE 中，BO=1，所以在 RtPEO 中，所以所以，又，所以 PO2+AO2=PA2，所以 POAO又 POBD，BDAO=O，所以 PO面 ABCD如图，以建立空间直角坐标系，B（0，1，0），设面 BEC 的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即又面 AEC 的一个法向量为，所以，所以二面角 AECB 的余弦值为21.（
11、1），成等差数列，由椭圆定义得，；又椭圆：（）过点，；，解得，；椭圆 的标准方程为；（2）设，联立方程，消去得：；依题意：恒过点，此点为椭圆的左顶点，由方程的根与系数关系可得，；可得；由，解得，；由点 在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，；即，整理得，解得：或.实数的取值范围是或.22.（1）因为直线的参数方程为，得，故直线的普通方程为，又曲线 的极坐标方程为，即，因为，即，故曲线 的直角坐标方程为.（2）因为点 的极坐标为，点 的直角坐标为，点 到直线的距离.将，代入中得，的面积.23.（）当 a=2 时，不等式 f（x）4，即|x2|+|x1|4，可得，或或，解得：x，所以不等式的解集为x|x（）|xa|+|x1|a1|，当且仅当（xa）（x1）0 时等号成立，由|a1|2，得 a1 或 a3，即 a 的取值范围为（，13，+）
