1、第21章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点知识点1：二次函数的图象与系数的关系.二次函数中图象与系数的关系:（1）二次项系数的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小 a0时，开口向上，a0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，图象交于y轴正半轴, 当bO时向上无限伸展； 当aO时开口向上； 当aO时，当x=时，y有最小值为；aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；当aO时，当x时，y随x的增大而增大； aO时，当x时，y随x的增大而减小二次函数的图像和性质0yxO0图 象开 口 向上 向下对 称 轴x=hx=h顶点坐标(
2、h,k)(h,k)最 值当x h 时，y有最 小值当x h 时，y有最 大 值增减性在对称轴左侧即当xh时y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()二次函数图像与性质口诀:二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域， 图像叫做抛物线。二次函数抛物线，图象对称是关键；两边单调正相反, 增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点坐标最重要, 横标即为对称轴, 纵标函数最值现。开口、大小由a断,c与y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；y轴作为参考线，左同右异
3、中为0，牢记心中莫混乱；的符号最简便，x轴上数交点.一般、顶点、交点式，不同表达能互换。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。知识点5：有关抛物线的平移问题由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如y=ax2，y=ax2+k，y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定平移方式如下图：任意抛物线y=ax2+bx+c可以由抛物线y=a
4、x2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示：数形结合法： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（抓住顶点） 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处。公式法（结论法）：概括成八个字“左加右减，上加下减” y=ax2+bx+c沿 x轴向左平移h个单位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c y=ax2沿 x轴向左（右）平移h个单位得y=a(x+h)2y=a(x+h)2+k沿 x轴向左（右）平移m个单位得y=a(x+h+m)2+k （或y=a(x+h-m)2+k） y=ax2+bx+c 沿 y 轴向上（下）平移k个单位得 y=ax2+bx+c+k （或y=ax2+bx+c-k）y=ax2沿
5、 y轴向上（下）平移k个单位得y=ax2 +k （或y=ax2-k）y=a(x+h)2+k沿 y轴向上（下）平移n个单位得y=a(x+h)2+k+n（或y=a(x+h)2+k+n）注：对于一般式抓住与y轴的交点或顶点，对于顶点式抓住顶点。函数图像的移动规律口诀: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左加右减须牢记,上加下减错不了”知识点6：.二次函数三种表示方法及解析式求法：（1）一般式：（，为常数，）；（2）顶点式：（，为常数，）；（3）交点式（两根式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐
6、标）求二次函数解析式的方法.(1)利用待定系法求二次函数关系式时，一般先设函数关系式，然后通过解方程（组）来求待定的系数。有3种设法。顶点未知时，设一般式：（） 已知顶点坐标为(h,k),设顶点式：（）已知抛物线与轴两交点的坐标为（x1 ,0）与 (x2,0),设交点式（）注：以下4种是以上3种的特例：已知顶点在原点，可设y=ax2 （）对称轴是y轴或顶点在y轴上，可设y=ax2+c（）顶点在x轴上，可设y=a(x-h)2（）抛物线过原点，可设y=ax2+bx （）另外选择一般式时, 把三点或三对、的值代入外,有时通过对称轴方程或顶点坐标公式列方程.(2)根据抛物线间的关系求二次函数解析式.解
7、这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。(3)已知抛物线与x轴两交点间的距离求二次函数解析式当已知二次函数与x轴两交点间的距离时，常用一般式、韦达定理和关系式：(4) 根据根与系数的关系求二次函数关系式。知识点7：求抛物线的顶点、对称轴的方法（1） 公式法：，顶点是，对称轴是直线.
8、 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：设A(x1，ya），B (x2，yb）是抛物线上的两点，且ya=yb，则抛物线的对称轴为直线 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 知识点8：直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交
9、点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离： 其它补充知识点；知识点1：中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y如图：点A坐标为（x1，y
10、1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 A 0 x 两点间距离公式： 同轴两点求距离，大减小数就为之。 与轴等距两个点，间距求法亦如此。 平面任意两个点，横纵标差先求值。 差方相加开平方，距离公式要牢记。 知识点2：不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）口诀助记：X轴上y为0,x为0在Y轴
11、。3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数口诀助记：对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。6、点到坐标轴及原点
12、的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于知识点3：抛物线的对称问题（不须记忆，只要理解即可）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式