1、课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练）A卷大题保分练1.(2018洛阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD2，且平面PAD平面ABCD.(1)求证：平面AEF平面PCD；(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：由题意知，PAPDAD，F为PD的中点，可得AFPD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD.又AF平面PAD，CDAF，又CDPDD，AF平面PCD，又AF平面AEF，平面AEF平面PCD.(2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，
2、OG，PAPDAD，OPAD.平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，OP平面ABCD.分别以OA，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(1,2,0)，E，F，(0,1,0)设平面AEF的法向量为m(x，y，z)，则即可取m(1,0，)，为平面AEF的一个法向量同理，可得平面ACE的一个法向量为n(，1)cosm，n.平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.2.(2018山西八校联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，CC1底面ABC，ACBCCC12，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点(1)
3、当为何值时，平面CDG平面A1DE?(2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值解：(1)当，即G为BB1的中点时，平面CDG平面A1DE.证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点，所以DEAC且DEAC，又ACA1C1，ACA1C1，所以DEA1C1，DEA1C1，故D，E，C1，A1四点共面如图，连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中，tanC1EC2，tanBCG，故CHE90，即CGC1E.因为A1C1平面CBB1C1，CG平面CBB1C1，所以DECG，又C1EDEE，所以CG平面A1DE，故平面CDG平面A1DE.(2)由(1)知，当G为BB1的中点时，平面A
4、1DE的一个法向量为.三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，CC1底面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示因为ACBCCC12，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，所以C(0,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，E(0,1,0)，B(0,2,0)，F(0,1,2)，G(0,2,1)，(2,2，2)，(2,1,0)，(0,2,1)由CD知为平面A1DE的一个法向量设平面A1BF的法向量为n(x，y，z)，则即令x1得n(1,2,1)，为平面A1BF的一个法向量设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为，则
5、cos ，所以平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为.3如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF平面D1AE；(2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值解：(1)如图，取D1E的中点，记为L，连接AL，FL，则FLEC，又ECAB，FLAB，且FLAB，M，F，L，A四点共面，且平面D1AE平面AMFLAL，若MF平面D1AE，则MFAL，四边形AMFL为平行四边形，AMFLAB.(2)取AE的中点O，过点O作OGAB于G，
6、OHBC于H，连接OD1.AD1D1E，D1OAE，D1O平面ABCE，D1OOG，D1OOH，又易得OGOH，故OG，OH，OD1两两垂直，以O为坐标原点，OG，OH，OD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则B(1,3,0)，C(1,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0，)故(1，3，)，(1，3，)，(0，2,0)设平面CD1E的一个法向量为m(x，y，z)，则即取x，得m(，0，1)设直线BD1与平面CD1E所成的角为，则sin |cosm，|.即直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为.4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形， BAD60，四
7、边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，H是CF的中点(1)求证：AC平面BDEF；(2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；(3)求二面角HBDC的大小解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD.又平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD，AC平面BDEF.(2)设ACBDO，取EF的中点N，连接ON，四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，ONED.ED平面ABCD，ON平面ABCD.由ACBD，得OB，OC，ON两两垂直以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系底面ABCD是边
8、长为2的菱形，BAD60，BF3，A(0，0)，B(1,0,0)，D(1，0,0)，E(1,0,3)，F(1,0,3)，C(0，0)，H.AC平面BDEF，平面BDEF的法向量(0,2，0)设直线DH与平面BDEF所成角为，sin |cos，|，直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为.(3)由(2)，得，(2,0,0)设平面BDH的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(0，1)由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量为(0,0，3)，则cosn，由图可知二面角HBDC为锐角，二面角HBDC的大小为60.B卷深化提能练1.(2019届高三辽宁五校联考)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD
9、为直角梯形，其中CDAB，BCAB，侧面ABE平面ABCD，且ABAEBE2BC2CD2，动点F在棱AE，且EFFA.(1)试探究的值，使CE平面BDF，并给予证明；(2)当1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值解：(1)当时，CE平面BDF.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF(图略)，CDAB，AB2CD，EFFA，GFCE，又CE平面BDF，GF平面BDF，CE平面BDF.(2)如图，取AB的中点O，连接EO，则EOAB，平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCDAB，EO平面ABCD，连接DO，BOCD，且BOCD1，四边形BODC为平行四边形，BCDO，又BCAB，ABO
10、D，则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，D(1,0,0)，C(1，1，0)，E(0,0，)当1时，有，F，(1,1,0)，(1,1，)，.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，则有即令z，得y1，x1，则n(1，1，)为平面BDF的一个法向量，设直线CE与平面BDF所成的角为，则sin |cos，n|，故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.2.(2018山东潍坊模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA平面ABCD，P
11、AAC2，E是PC的中点，DACAOB.(1)求证：BE平面PAD；(2)若二面角PCDA的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解：(1)证明：DACAOB，ADOB.E为PC的中点，O为圆心，连接OE，OEPA，又OBOEO，PAADA，平面PAD平面EOB，BE平面EOB，BE平面PAD.(2)四边形ABCD内接于圆O且AC为直径，ADCD，又PA平面ABCD，PACD，又PAADA，CD平面PAD，CDPD，PDA是二面角PCDA的平面角，tanPDA2，PA2，AD1，如图，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建
12、立空间直角坐标系Dxyz.PAAC2，AD1，延长BO交CD于点F，BOAD，BFCD，BFBOOF，BF1，又CD，DF，P(1,0,2)，B，C(0，0)，(1，2)，(0，0)，设平面PCD的法向量n(x，y，z)，即令z1，则x2，y0.n(2,0,1)是平面PCD的一个法向量，又，|cos，n|，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.3.(2018合肥一模)如图，已知平行四边形ABCD与EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直，且BAD60，ABMN2AD2，EMEN，F为MN的中点(1)求证：MNAD；(2)若直线AE与平面ABCD所成的角为60，求二面角MABC的余弦值解：
13、(1)证明：在ABD中，BAD60，AB2，AD1，由余弦定理可得BD2AB2AD22ABADcosBAD2212221cos 603，所以BD，AD2BD2AB2，所以ADBD.又平面ABCD平面BDEF，平面ABCD平面BDEFBD，所以AD平面BDEF.在EMN中，EMEN，F为MN的中点，所以MNEF，又平面EMN平面BDEF，平面EMN平面BDEFEF，所以MN平面BDEF.所以MNAD.(2)在矩形BDEF中，EDBD，又平面ABCD平面BDEF，平面ABCD平面BDEFBD，所以ED平面ABCD.所以EAD为直线AE与平面ABCD所成的角，故EAD60.在RtEAD中，EDADt
14、anEAD1tan 60.如图，以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，E(0,0，)，F(0，)，M(1，)，(0，)，(1，0)因为DE平面ABCD，所以(0,0，)为平面ABCD的一个法向量设平面MAB的法向量为n(x，y，z)，所以即整理得令y1，则x，z1，所以n(，1，1)是平面MAB的一个法向量所以cos ，n.设二面角MABC的大小为，由图可知为钝角，所以cos cos，n.4已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，CD2，AD，AB1，如图所示，将ABD沿BD折起到PBD的位置
15、得三棱锥PBCD，如图所示(1)求证：BDPC；(2)当平面PBD平面PBC时，求二面角PDCB的大小解：(1)证明：在图中，连接AC，交BD于点G，因为CDADAB90，所以tanCAD，tanDBA，所以CADDBA，因为CADBAG90，所以DBABAG90，所以BDAC.所以将ABD沿BD折起到PBD的位置后，仍有BDPG，BDCG，如图所示，又PGCGG，所以BD平面PCG，又PC平面PCG，所以BDPC.(2)因为平面PBD平面PBC，PBPD，平面PBD平面PBCPB，PD平面PBD，所以PD平面PBC，因为PC平面PBC，所以PDPC，又BDPC，BDPDD，所以PC平面PBD，所以BPCP.以P为坐标原点，PC，PB，PD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，D(0,0，)，(0，1，)，(，1,0)，易知平面PCD的一个法向量为m(0,1,0)，设n(x，y，z)为平面BCD的法向量，则即令x1，则y，z1，得n(1，1)是平面BCD的一个法向量则cosm，n，易知二面角PDCB为锐角，所以二面角PDCB的大小为45.
