1、第六章立体几何考点测试40空间几何体的结构特征及三视图和直观图高考概览本考点是高考常考知识点，题型为选择题、填空题；分值为5分，中等难度考纲研读1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图一、基础小题1下列说法中，正确的是()A棱柱的侧面可以是三角形B若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C正方体的所有棱长都相等D棱柱的所有棱长都相等答案C解析对于A，棱柱的侧面都是四边形，故A不正确；对于B，四棱柱有两
2、个相对的侧面是矩形，其他侧面也可以不是矩形，故B不正确；对于C，正方体的所有棱长都相等，故C正确；对于D，棱柱的侧棱长都相等，并不一定所有的棱长都相等，故D不正确故选C.2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱答案A解析圆柱的正视图是长方形或圆或平行四边形或椭圆，故A符合题意；直立着的圆锥正视图为三角形，故B不符合题意；因为四面体的侧面为三角形，所以正视图可能是三角形，故C不符合题意；三棱柱有两个面是三角形，所以正视图可能为三角形，故D不符合题意3某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A B
3、C D答案A解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故正确4如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案D解析先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确5用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2 B4 cm2C8 cm2 D8 cm2答案C解析依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.6如图，网格纸上小正方形的边
4、长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是()A2 B3 C4 D5答案C解析由三视图知，可将该几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥PABCD，易知四棱锥PABCD的四个侧面都是直角三角形，所以该几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.7如图1是一个棱长为2的正方体被削去一个角后得到的几何体的直观图，其中DD11，ABBCAA12.若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()答案C解析由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D；在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A，选
5、C.8一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A8 B4 C4 D4答案D解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA平面ABC，DB平面ABC，ABAC，PAABAC4，DB2，则易得SPACSABC8，SCPD12，S梯形ABDP12，SBCD424，故选D.9已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 Ba2 Ca2 Da2答案D解析根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，其中O为AB的中点，再按照斜二测画法画出其直观图，如图2所示易知，ABABa，OCOCa.作CDAB于点D，则CDOCa.SA
6、BCABCDaaa2.10若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案D解析A的正视图、俯视图不符合要求；B的正视图、侧视图不符合要求；C的俯视图不符合要求；通过观察，D满足要求，故选D.11给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都
7、是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥PBCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为()A1 BC D2答案D解析正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知：设正方体的棱长为a，则正视图的面积Sa2；设A1C1的中点为O
8、，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，俯视图的面积就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大；当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，俯视图的面积Sa2，所以三棱锥PBCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为2.二、高考小题13. (2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.14(2018全
9、国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2 C3 D2答案B解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为2，故选B.15(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析由三视图得四棱锥的直观图如图所示其中SD底面ABCD，ABAD，ABCD，SDAD
10、CD2，AB1.由SD底面ABCD，AD，DC，AB底面ABCD，得SDAD，SDDC，SDAB，故SDC，SDA为直角三角形，又ABAD，ABSD，AD，SD平面SAD，ADSDD，AB平面SAD，又SA平面SAD，ABSA，即SAB也是直角三角形，从而SB3，又BC.SC2，BC2SC2SB2，SBC不是直角三角形，故选C.16. (2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12 C14 D16答案B解析由多面体的三视图还原直观图如图
11、该几何体由上方的三棱锥ABCE和下方的三棱柱BCEB1C1A1构成，其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为212.故选B.17(2017北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3 B2 C2 D2答案B解析根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥PABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD2.故选B. 18(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形
12、围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_答案261解析先求面数，有如下两种方法解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826(个)面解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式)由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由VFE2，得面数F2EV2482426.再求棱长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH
13、，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNFx.又AMMNNF1，即xxx1.解得x1，即半正多面体的棱长为1.三、模拟小题19(2019临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A三棱锥 B四棱锥C四棱台 D三棱台答案A解析由正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥故选A.20(2019山东省实验中学模拟)某几何体的三视图如图，则其最长棱的长是()A2 B C2 D3答案D解析由三视图可得几何体的直观图如图所示有PB平面ABC，PB2，在AB
14、C中，ABAC，BC2，BC边上的高为2，所以ABAC，PA3，PC2，所以该三棱锥最长棱的长为3.21. (2019银川模拟)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1平面A1B1C1，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为()A2 BC D1答案C解析由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为，长为1的长方形，所以其面积S1.故选C.22. (2019合肥市高三二检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()答案C解析用过点E，
15、F，G的平面截正方体，得到的截面为正六边形，即如图所示的正六边形EFHGMN，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为选项C.23(2019深圳模拟)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为()A B C D答案C解析依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e ，选C.24(2019石河子模拟)如图，点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的_(要求把可能的序号都填上)答案解析其中可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影25(2019济南模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为_答案11解析根据题意，三棱锥PBCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为11.本考点在近三年高考中未涉及此题型
