1、考点测试16导数的应用(二)高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值5分、12分，中、高等难度考纲研读1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3会用导数解决实际问题一、基础小题1函数f(x)xln x的单调递增区间为()A(，0) B(0,1)C(1，) D(，0)(1，)答案C解析函数的定义域为(0，)f(x)1，令f(x)0，得x
2、1.故选C.2已知奇函数f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，若x0时，f(x)0，则()Af(0)f(log32)f(log23)Bf(log32)f(0)f(log23)Cf(log23)f(log32)f(0)Df(log23)f(0)f(log32)答案C解析因为f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数所以f(log23)f(log23)，而log23log221,0log321，所以0log320时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以f(log23)f(log32)f(0)，所以f(log23)f(log32)f(0)3若曲线f(x)，g(x)x在点P(1,1)处的切
3、线分别为l1，l2，且l1l2，则实数的值为()A2 B2 C D答案A解析f(x)，g(x)x1，所以曲线f(x)，g(x)在点P处的切线斜率分别为k1，k2，因为l1l2，所以k1k21，所以2，选A.4函数y的图象大致为()答案C解析因为y，所以y，令y0，则x0，令y0，令y0，则x0，所以函数y在(，0)上为增函数，在(0，)上为减函数，且x0是函数的极大值点，结合4个函数的图象，故选C.5若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，) BC1,2) D答案B解析因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x
4、)0，得x.据题意得解得1k.故选B.6已知定义在(0，)上的函数f(x)，满足f(x)f(2) Be2f(1)f(2)C9f(ln 2)4f(ln 3) D9f(ln 2)4f(ln 3)答案A解析令h(x)，则h(x)h(2)，即，所以e2f(1)f(2)，ln 2h(ln 3)，即，所以9f(ln 2)4f(ln 3)故选A.7已知函数f(x)ax3bx2cx17(a，b，cR)的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于98，则a的值是()A B C2 D5答案C解析由题意，f(x)3ax22bxc，因为f(x)0的解集为x|2x3，所以a0，且23，23，
5、则3a2b，c18a，又f(x)的极小值为f(3)27a9b3c1798，解得a2，b3，c36，故选C.8已知函数f(x)的导函数为f(x)5cosx，x(1,1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)0，则实数x的取值范围为_答案(1，)解析导函数f(x)是偶函数，且f(0)0，原函数f(x)是奇函数，且定义域为(1,1)，又导函数值恒大于0，原函数在定义域上单调递增，所求不等式变形为f(1x)f(x21)，11xx211，解得1x0恒成立，当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1时，f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立设g(x)，则g(x).令g(x)0，得xe，且当1
6、xe时，g(x)e时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a的取值范围是0ae，即0，e故选C.10(2017山东高考)若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中具有M性质的是()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cosx答案A解析当f(x)2x时，exf(x)x.1，当f(x)2x时，exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，故函数f(x)具有M性质易知B，C，D不具有M性质，故选A.11(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(
7、x0)0，则a的取值范围是()A. BC. D答案D解析由f(x0)0，即ex0(2x01)a(x01)0，得a(x01)当x01时，得e1，则a .令g(x)，则g(x).当x时，g(x)0，g(x)为增函数，要满足题意，则x02，此时需满足g(2)ag(3)，得3e2ae3，与a1矛盾，所以x01.因为x01，所以a0，g(x)为增函数，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，要满足题意，则x00，此时需满足g(1)ag(0)，得a1(满足a2；a0，b2；a1，b2.答案解析设f(x)x3axb.当a3，b3时，f(x)x33x3，f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1；令
8、f(x)0，得1x2时，f(x)x33xb，易知f(x)的极大值为f(1)2b0，极小值为f(1)b20，x时，f(x)，故方程f(x)0有且仅有一个实根，故正确当a0，b2时，f(x)x32，显然方程f(x)0有且仅有一个实根，故正确当a1，b2时，f(x)x3x2，f(x)3x210，则f(x)在(，)上为增函数，易知f(x)的值域为R，故f(x)0有且仅有一个实根，故正确综上，正确条件的编号有.三、模拟小题14(2019河南豫南九校联考)设定义在(0，)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1，则()Af(2)f(1)ln 2 Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)(
9、ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，则F(x)在(0，)上单调递增，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.15(2019安阳模拟)已知函数f(x)与g(x)6xa的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是()A. BC. D答案B解析原问题等价于函数h(x)6x的图象与直线ya有三个不同的交点h(x)x2x6(x2)(x3)，当x(，3)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(3,2)时，h(x)0，h(x)单调递增函数h(x)的图象如图所示又h(3)，h(2)，数形结合可得a的取值范围是.故选B.16(2019沈阳质量监测(三)已知函数f
10、(x)aln x2x，若不等式f(x1)ax2ex在x(0，)上恒成立，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2 Ca0 D0a2答案A解析由函数f(x)aln x2x，得f(ex)aln ex2exax2ex.f(x1)ax2ex，即f(x1)f(ex)，因为x0时，1x11时，f(x)20恒成立，即a2x在(1，)上恒成立，所以a2，故选A.17(2019徐州模拟)已知函数f(x)，g(x)，若函数yfg(x)a有三个不同的零点x1，x2，x3(其中x1x20)，所以函数g(x)在(e，)上单调递减，在(0，e)上单调递增，所以g(x)maxg(e)，作出函数g(x)的大致图象如图2所示f.
11、因为fg(x)a0有三个不同的零点，所以yfg(x)的图象与直线ya有三个不同的交点，所以a，即a.令g(x)t，则问题等价于方程a0，即t2(a1)t1a0有两个解t1，t2，不妨设t10；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(
12、x)ax.因此，a的取值范围是(，02(2019天津高考)设函数f(x)ln xa(x1)ex，其中aR.(1)若a0，讨论f(x)的单调性；(2)若0ax0，证明3x0x12.解(1)由已知，f(x)的定义域为(0，)，且f(x)aexa(x1)ex.因此当a0时，1ax2ex0，从而f(x)0，所以f(x)在(0，)内单调递增(2)证明：由(1)知，f(x).令g(x)1ax2ex，由0a0，且g1a2120，故g(x)0在(0，)内有唯一解，从而f(x)0在(0，)内有唯一解，不妨设为x0，则1x00，所以f(x)在(0，x0)内单调递增；当x(x0，)时，f(x)1时，h(x)11时，
13、h(x)h(1)0，所以ln xx1，从而fln aeln ln ln 1hf(1)0，所以f(x)在(x0，)内有唯一零点又f(x)在(0，x0)内有唯一零点1，从而，f(x)在(0，)内恰有两个零点由题意，即从而ln x1ex1x0，即ex1x0.因为当x1时，ln xx01，故ex1x0x，两边取对数，得ln ex1x0ln x，于是x1x02ln x02.3(2019江苏高考)设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数(1)若abc，f(4)8，求a的值；(2)若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3,1,3中，求f(x)的极小值；(3)
14、若a0,0b1，c1，且f(x)的极大值为M，求证：M.解(1)因为abc，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3.因为f(4)8，所以(4a)38，解得a2.(2)因为bc，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.因为a，b，都在集合3,1,3中，且ab，所以1，a3，b3.此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x3或x1.列表如下：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232.(3)证明：因为a
15、0，c1，所以f(x)x(xb)(x1)x3(b1)x2bx，f(x)3x22(b1)xb.因为0b1，所以4(b1)212b(2b1)230，则f(x)有2个不同的零点，设为x1，x2(x1x2)由f(x)0，得x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值Mf(x1)证法一：Mf(x1)x(b1)xbx13x2(b1)x1bx1()3()3.因此M.证法二：因为0b1，所以x1(0,1)当x(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)2.令g(x)x(x1)2，x(0,1)，则g(x)3(x1)令g(x)0，得x
16、.列表如下：xg(x)0g(x)极大值所以当x时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)maxg.所以当x(0,1)时，f(x)g(x).因此M.二、模拟大题4(2019吉林省长春市高三第二次模拟)已知函数f(x)exbx1(bR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)ln x有两个实数根，求实数b的取值范围解(1)由题可得，f(x)exb，当b0时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；当b0时，若xln (b)，则f(x)0，f(x)在ln (b)，)上单调递增；若xln (b)，则f(x)0，f(x)在(，ln (b)上单调递减(2)令g(x)exbx1ln x，则g(x
17、)exb，易知g(x)单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g(x0)0，即ex0b0，bex0，故若g(x)有两个零点，需满足g(x0)0，即ex0bx01ln x0ex0x01ln x0ex0ex0x0ln x00.令h(x)exexxln x，h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上单调递减，由h(1)0，得ex0ex0x0ln x00的解集为(1，)，由bex0，得b1e.当b1e时，exbx1ln xxbxln x，有g(eb)ebbebln eb(b1)ebb，令(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，由于x1e，所以x12e0，ex1，故(x)(x1)exx0，所以g(
18、eb)0，故g(eb)g(x0)0，g(x)在(0，x0)上有唯一零点，另一方面，在(x0，)上，当x时，由ex增长速度大，所以有g(x)0，即g(x)在(x0，)上有唯一零点故当bx1.解(1)f(x)a(x0)若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增若a0，f(x)在上单调递增；当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减综上可知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0)，所以g(x)在(0，)上单调递增又g(1)a10，gln 24a0，故g(x)存在零点x2，且g(x)在区间(0，x2)上单调递减，在区间(x2，)上单调递增，x2即为g(x)的极小值点，故x2x1.由g(x1)0知，ln x1a0，所以f(x1)ln x1ax1ln x1x1(1x1)ln x1，又x1x2，所以f(x1)(1x1)ln x1x1.