1、20 届（高三）12 月联考理科数学试题参考答案第卷 （选择题，共 60 分）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A C B B C A D C C 第卷 （非选择题，共 90 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13.43;14.216;15.41 3，;16.三解答题：本大题共 6 小题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(1)证明：因为112321nnnnnaSSSn+=，所以 12(21)21nnnSSn+=，所以122121nnSSnn+=+又11a=，所以1101S=数列 21nSn
2、是以 1 为首项，2 为公比的等比数列6 分(2)由(1)知，1221nnSn=，所以1(21)2nnSn=所以 211 3 25 2(21)2nnTn=+，故 2321 23 25 2(21)2nnTn=+-，得211 2(222)(21)2nnnTn=+221 2(21)2(32)231 2nnnnn=+=，所以(23)23nnTn=+12 分 18.解：（1）当2 2PB=时，平面 PAD 平面 ABCD，1 分 证明如下：在 PAB中，因为2,2 2ABPAPB=，所以 ABPB2 分 又 ABAD，ADPAA=，所以 AB 平面 PAD，3 分 又AB 平面ABCD，所以平面PAD
3、平面ABCD；4 分 764（2）分别取线段,AD BC 的中点,O E，连接,PO OE，因为 ADP为等边三角形，O 为 AD 的中点，所 以 POAD，,O E 为,AD BC 的中点，所以/OEAB,又 ABAD，所以OEAD，故POE为二面角 PADB的平面角，所以150POE=，6 分如图，分别以,OA OE 的方向以及垂直于平面 ABCD向上的方向作为,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz，因为3OP=，150POE=，所以33(0,)22P，(1,0,0)A，(1,2,0)B，(1,1,0)C.可得(0,2,0)AB=，7353(1,),(1,)2222PBPC
4、=,，8 分设(,)x y z=n为 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量，则 有0,0PBPC=nn，即7302253022xyzxyz+=+=，令1x=，来源:学+科+网可得(1,2,4 3)=n，10 分设 AB 与平面 PBC 所成角为，则有|sin|ABAB=nn22242 1(2)(4 3)=+253=所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为2 5353.12 分19.解：(1)依题设12(,0),(,0)AaA a，则1(1,0)FAa=，2(1,0)FAa=由121FA FA=，得：(1)(1)1aa=，解得22a=，又因为1c=，所以2222 1 1bac=所以椭圆C 的方
5、程为2212xy+=4 分(2)圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形依题意设直线 l 的方程为(1)yk x=，设1122(,),(,)A x yB x y，弦 AB 的中点为00(,)M x y，联立22(1)12yk xxy=+=，得：2222(21)4220kxk xk+=，则2212122242(1),2121kkxxx xkk+=+，所以212022221xxkxk+=+，002(1)21kyk xk=+，则直线 MD 的方程为22212()2121kkyxkkk+=+，令0y=，得2221Dkxk=+，则22(,0)21kDk+，若四边形 ADBE 为菱形，则0022
6、EDEDxxxyyy+=+=，所以2023221EDkxxxk=+，022221EDkyyyk=+，若点 E 在椭圆C 上，则22222132()()142121kkkk+=+，即4222982(21)kkk+=+，整理得42k=，解得4 2k=，所以椭圆C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形12 分20.解：(1)由已知频数表得：()=35 5200+45 30200+55 40200+65 50200+75 45200+85 20200+95 10200=65,()=(35 65)2 0.025+(45 65)2 0.15+(55 65)2 0.2+(65 65)2 0.25+(7
7、5 65)2 0.225+(85 65)2 0.1+(95 65)2 0.05=210,由196 2 225,则14 210,所以 14,则 X 服从正态分布(65,14),所以(51 93)=(+2)=(2+2)+(+)2=0.9545+0.68272=0.8186；6 分(2)显然,(0)=1；4 分（2）()xfxeax=由,得 2对一切 0恒成立,当 =1 时,可 得 ,所 以 若 存 在,则 正 整 数a的 值 只 能 取1,26 分下 面 证 明 当 =2 时,不 等 式 恒 成 立,设()22lnxeg xxxx=，由()2+1 2 ,0(0),当0 2时,即()在(0,2)上是
8、减函数,在(2,+)上是增函数,()(2)=14(2 4 42)14(2.72 4 42)14(3 16)0,当=2时,不等式恒成立,所以 a 的最大值是 212 分 22解：(1)由 32sin=+得22 sin3+=，将222sinxyy=+=代入上式中，得曲线C 的普通方程为22230 xyy+=4 分(2)将l 的参数方程2cos,1sin,xtyt=+=+(t 为参数)代入曲线C 的普通方程，消去,x y 得得24(sincos)40tt+=因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以216(sincos)160=，因为22sincos1+=，所以sincos0，又0，所以 2，设方
9、程的两根为 12,t t，则 121 24(cossin)0,40ttt t+=，所以 120,0tt，所以1212|()4(sincos)4 2 sin()4AMANtttt+=+=+=，由 2得，3444，所以2sin()124，从而44 2 sin()4 24，即|AMAN+的取值范围是(4,4 2 10 分23解：（1）(1)(1)|1|1|1ffaa+=+，若1a 时，则111aa+，即21，即1a 时恒成立；若 11a 时，则1(1)1aa+，解得12a ，所以112a ；若1a 时，则 1(1)1aa+，即 21 不成立，此时不等式无解综上所述，a 的取值范围是1(,)2 5 分（2）由 题 意 知，不 等 式 对 于,(,)x ya 恒 成 立，等 价 于maxmin5()(|)4f xyya+，当(,)xa 时，222()()24aaf xxaxx=+=+，所以2max()()24aaf xf=，又因为555|()()|444yyayyaa+=+，当且仅当5()()04yya+即54ya时，等号成立，所以min55(|)44yyaa+=+，所以2544aa+，解得 15a，结合0a，所以a 的取值范围是(0,510 分
